侯曉磊，周康博，劉 勇，潘 泉

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

微型固體推進(jìn)器陣列是一種近年來在皮納衛(wèi)星位姿控制中常用的新型推進(jìn)器，具有體積小、重量輕、推力大、功耗低等特點(diǎn)[1-3]。微型固體推進(jìn)器陣列的控制精度取決于單個(gè)推進(jìn)器單元的推力大小，而整體推進(jìn)能力取決于推進(jìn)器的單元推力及陣列規(guī)模。當(dāng)單個(gè)推進(jìn)器推力較大時(shí)，姿態(tài)控制精度將無法保證；而推進(jìn)器推力較小時(shí)，在完成大角度機(jī)動或多次機(jī)動任務(wù)中，需要的推進(jìn)器規(guī)模龐大，難以達(dá)到功耗、質(zhì)量以及體積等方面的限制。因此單獨(dú)采用微型固體推進(jìn)器陣列進(jìn)行姿態(tài)控制無法滿足很多實(shí)際飛行任務(wù)的需求。

為充分利用微型固體推進(jìn)器的優(yōu)勢，需探索與其他姿態(tài)控制器聯(lián)合的組合姿態(tài)控制方法。Vatankhahghadim和Damaren[4]提出的一種以脈沖動力作為輔助控制用以消除純磁控[5-8]的增益局限和逐點(diǎn)不可控問題。本文以此為基礎(chǔ)，通過設(shè)計(jì)優(yōu)化點(diǎn)火模型并設(shè)置微型固體推進(jìn)器陣列補(bǔ)償控制時(shí)間，對聯(lián)合控制算法進(jìn)行改進(jìn)，針對大角速度阻尼問題和大角度姿態(tài)捕獲問題，提出了以磁力矩器作為主執(zhí)行器，以微型固體推進(jìn)器陣列作為輔助控制執(zhí)行器的皮納衛(wèi)星姿態(tài)聯(lián)合控制算法[9-11]。本文所提算法充分利用微型固體推進(jìn)器陣列大推力的特點(diǎn)，將微型固體推進(jìn)器陣列作為高機(jī)動狀態(tài)下的速度控制以及磁控能力較弱時(shí)的姿態(tài)輔助控制，在保證衛(wèi)星姿態(tài)控制精度的前提下，提高了姿態(tài)控制的響應(yīng)速度，擴(kuò)大了控制器在不同空間環(huán)境條件下的適用性。

1 優(yōu)化點(diǎn)火模型

為輸出參考控制力矩而對指定位置的推進(jìn)單元進(jìn)行點(diǎn)火的組合點(diǎn)火算法是基于固體脈沖式推進(jìn)器陣列的皮納衛(wèi)星的姿態(tài)控制系統(tǒng)的核心問題。本文采用0-1規(guī)劃[12]建立微型固體推進(jìn)器陣列優(yōu)化點(diǎn)火模型，并解決推進(jìn)器陣列的組合選擇問題。

圖1 衛(wèi)星表面陣列配置示意圖Fig.1 Distribution of MEMS solid propellant thruster array on satellite surface

本文采用解耦方法，按照相對的兩個(gè)陣列為一組的方式將6個(gè)推力器陣列分為3組，按照力偶的形式提供控制沖量矩，且要求每組力偶僅在一軸的方向上產(chǎn)生作用，每個(gè)面上微型固體微推進(jìn)器陣列形心與所在衛(wèi)星表面形心相重合。表1給出了三組控制量的分配方式。

以Z軸控制為例介紹點(diǎn)火方案。圖2為10×10的A面微型固體推進(jìn)器陣列，相鄰兩個(gè)推進(jìn)器之間的距離均為lmin，分別沿Y軸正方向和Z軸負(fù)方向?qū)Ⅻc(diǎn)火點(diǎn)編號，每個(gè)推進(jìn)器為單粒裝藥。根據(jù)表1結(jié)果，A面陣列控制星體系Z軸方向，以中軸線為界將陣列分為兩部分，圖2中6～10列控制Z軸正方向，1～5列控制Z軸負(fù)方向。為了避免產(chǎn)生通過星體質(zhì)心的推力，應(yīng)使C面點(diǎn)火點(diǎn)與A面的點(diǎn)火點(diǎn)同排，使得產(chǎn)生的力偶方向與Z軸方向重合。

表1 控制量分配表Table 1 Control allocation

圖2 A面陣列控制方向示意圖Fig.2 Attitude control via A-side

在此前提下，提出了微型固體推進(jìn)器陣列優(yōu)化點(diǎn)火模型設(shè)計(jì)：

1) 使用的推進(jìn)器組合數(shù)量最少。

2) 同行不同列的推進(jìn)器的優(yōu)先級相同。

3) 同列不同行的推進(jìn)器的優(yōu)先級取決于該行剩余推進(jìn)器數(shù)量。剩余數(shù)量越多，優(yōu)先級越高。

下文以X軸為例介紹微型固體推進(jìn)器陣列優(yōu)化點(diǎn)火算法。

(1)

(2)

(3)

根據(jù)上述定義，第k次點(diǎn)火后的狀態(tài)矩陣表示為：

(4)

定義Sk為第k次點(diǎn)火時(shí)的目標(biāo)函數(shù)，滿足上述約束條件，則微型固體推進(jìn)器陣列優(yōu)化點(diǎn)火模型目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

式中:|x|表示向量x中元素的個(gè)數(shù)。

綜上，微型固體推進(jìn)器陣列的優(yōu)化點(diǎn)火問題可以描述為：

i∈[1,N]，j∈[1,N]

(6)

上述問題是典型的0/1規(guī)劃問題，由于計(jì)算機(jī)性能限制，為簡化計(jì)算，本文采用貪心算法[15]進(jìn)行模型求解，即可得到具體的推進(jìn)器組合。

2 微型固體推進(jìn)器陣列補(bǔ)償控制時(shí)間設(shè)置

由于磁力矩器輸出力矩在軌道中不同位置的差異導(dǎo)致采用純磁力矩器的皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)在特定軌道時(shí)間內(nèi)存在控制能力缺陷，導(dǎo)致姿態(tài)控制響應(yīng)慢、指向精度差等問題。在磁力矩器控制能力較差的軌道時(shí)間內(nèi)，采用微型固體推進(jìn)器陣列進(jìn)行補(bǔ)償控制，可以有效的提高皮納衛(wèi)星在此時(shí)段內(nèi)的控制能力，從而保證姿態(tài)控制響應(yīng)速度以及指向精度。

本文通過計(jì)算小時(shí)間窗的寬度Δt跨越總旅行時(shí)間的可控性來評估皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)中磁力矩器的控制性能。

(7)

Wj若是非奇異的，則系統(tǒng)是可控的。Wj的值主要根據(jù)軌道傾角以及軌道高度的不同產(chǎn)生變化。通過確定該矩陣的最小特征值到達(dá)每軌的局部最小值來選擇微型固體推進(jìn)器陣列進(jìn)行補(bǔ)償控制的時(shí)間。

圖3 Gramian矩陣的最小特征值[4]Fig.3 The minimum eigenvalue of Gramian matrix

3 速度阻尼聯(lián)合控制律設(shè)計(jì)

3.1 控制律設(shè)計(jì)流程圖

根據(jù)微型固體推進(jìn)器陣列以及磁力矩器各自的力矩輸出特點(diǎn)，在皮納衛(wèi)星聯(lián)合速度阻尼控制過程中，首先利用微型固體推進(jìn)器陣列的大機(jī)動能力，使衛(wèi)星角速度狀態(tài)迅速變化到既定閾值以內(nèi)，再根據(jù)B-dot控制律[16]利用磁力矩器進(jìn)行微調(diào)，此外，在磁力矩器控制能力較弱的區(qū)域，利用微型固體推進(jìn)器進(jìn)行補(bǔ)償控制，從而大幅度提高控制響應(yīng)速度、縮短控制周期。微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合速度阻尼控制流程如圖4所示。

圖4 微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合速度阻尼控制流程圖Fig.4 Flow chart of joint velocity damping control for MEMS solid propellant thruster array and magnetic torquer

3.2 微型固體推進(jìn)器陣列大角速度阻尼控制律

3.3 微型固體推進(jìn)器陣列輔助速度阻尼控制律

作用在衛(wèi)星上的總力矩由磁力矩器輸出力矩和微型固體推進(jìn)器陣列的輸出力矩共同輸出，假設(shè)微型固體推進(jìn)器陣列作用時(shí)間為tk，k∈{1,2,…,M}。忽略其他干擾力矩，衛(wèi)星的動力學(xué)方程為：

(8)

用δ(t-tk)描述微型固體推進(jìn)器陣列用以描述脈沖輸出的特性，因此選取衛(wèi)星相對于慣性系的旋轉(zhuǎn)能量作為Lyapunov函數(shù)V(x)，可以表示為：

(9)

(10)

忽略其他干擾力矩，作用于星體上的力矩全部由磁力矩器和推進(jìn)器產(chǎn)生，則式可以整理為：

(11)

(12)

式中:S(ε)為斜對稱矩陣，表示為:

(13)

綜上，則連續(xù)/脈沖混合系統(tǒng)速度阻尼控制律為：

(14)

4 基于混合系統(tǒng)模型的姿態(tài)捕獲聯(lián)合控制律設(shè)計(jì)

4.1 控制律設(shè)計(jì)流程圖

在皮納衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)捕獲過程中，由于微推進(jìn)器陣列無法避免空間環(huán)境力矩干擾，且控制精度有限，因此仍采用磁力矩器作為主要執(zhí)行器，而微型固體推進(jìn)器陣列作為輔助執(zhí)行器；在磁力矩器控制能力較弱時(shí)，則采用連續(xù)/脈沖結(jié)合的聯(lián)合控制方案增強(qiáng)控制性能，從而縮短姿態(tài)捕獲周期，提高控制精度。微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合姿態(tài)捕獲控制流程如圖5所示。

圖5 微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合姿態(tài)捕獲控制流程圖Fig.5 Flow chart of joint attitude acquisition control for MEMS solid propellant thruster array and magnetic torquer

4.2 姿態(tài)捕獲聯(lián)合控制律設(shè)計(jì)

1)連續(xù)/脈沖的混合系統(tǒng)模型

對于一個(gè)連續(xù)/脈沖的混合系統(tǒng)，脈沖施加在tk，tk∈N時(shí)刻，可以表示為y=ζhu，其中，u={uc(t),udk}同時(shí)包含連續(xù)和離散的控制輸入，同理，y={yc(t),ydk}同時(shí)包含連續(xù)和離散系統(tǒng)的輸出。假設(shè)uc和yc,udk和ydk分別具有相同的維數(shù)。

設(shè)初始狀態(tài)量x(t0)=x0，可以得到在t≠tk的連續(xù)函數(shù)表達(dá)式為

(15)

同理，得到在t=tk的離散函數(shù)表達(dá)式為：

(16)

式中:x(t):R+→Rn×1為狀態(tài)矢量，uc(t):R+→Rmc×1和udk:N+→Rmd×1為控制輸入，yc(t):R+→Rmc×1和ydk:R+→Rmd×1為控制輸出。且連續(xù)狀態(tài)空間函數(shù)Ac，Bc，Cc和Dc以及離散狀態(tài)空間函數(shù)Adk，Bdk，Cdk和Ddk維數(shù)相同。

根據(jù)姿態(tài)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程，得到如下所示的混合系統(tǒng)的線性模型

(17)

2)控制律設(shè)計(jì)與證明

系統(tǒng)輸入表示為：

(18)

令P=[P1,P2]，將系統(tǒng)輸入帶入混合系統(tǒng)線性模型，得到：

(19)

(20)

(21)

為了方便討論，令

k∈{1,2,…,M}，t∈[tk-1,tk)

(22)

若矩陣Ψk對所有k

5 仿真校驗(yàn)

不考慮其他干擾力矩的影響，衛(wèi)星軌道高度為682 km，軌道傾角為97°，慣性矩陣J=diag(1.5×10-1,1.8×10-1,1.1×10-1) kg·m2，初始姿態(tài)角為[60°, 60°, 60°]，磁力矩器最大輸出磁矩0.2 Am2，固體微推進(jìn)器單位推力為42.6 N·m。

5.1 速度阻尼聯(lián)合控制律校驗(yàn)

根據(jù)初始角速度大小，設(shè)計(jì)兩組仿真對比實(shí)驗(yàn)。磁控增益系數(shù)矩陣K1=diag(1.2×105,1.2×105,1.2×105)，控制律為K2=diag(0.91×10-2,1.08×10-2,0.62×10-2)。大角速度阻尼實(shí)驗(yàn)的初始角速度為[5 °/s, 5 °/s, 5 °/s]，小角速度阻尼實(shí)驗(yàn)的初始角速度為[1 °/s, 1 °/s, 1 °/s]。

大角速度阻尼實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6 (a)、(b)所示，微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合速度阻尼方法的穩(wěn)定周期為1602 s，1752 s和1643 s，后控制精度可以達(dá)到5×10-3°/s, 0.017°/s和0.013°/s。由仿真結(jié)果可以看出，聯(lián)合控制方法所需的角速度收斂時(shí)間與輸出磁矩明顯低于其他傳統(tǒng)算法；輔助控制方法的角速度收斂速度和所需的輸出磁矩在290 s之后三軸角速度的收斂速度都明顯快于純磁控方法，所需磁矩也明顯降低。從表2中結(jié)果可以看出，微型固體推進(jìn)器陣列共進(jìn)行了3次點(diǎn)火，三軸消耗的推進(jìn)器數(shù)量分別為12，15和7。

純磁控方法三軸穩(wěn)定周期為3045 s，3815 s和3351 s，三軸穩(wěn)定精度為0.015 °/s，0.013 °/s和8×10-3°/s。對比表明，聯(lián)合控制方法相較于傳統(tǒng)磁控方法在相同的控制精度的前提下，控制角速度周期縮短了48%，54%和51%，且大幅度降低了振蕩幅度；同時(shí)降低了系統(tǒng)的能量輸出。

表2 大角速度聯(lián)合阻尼控制微型固體推進(jìn)器陣列點(diǎn)火位置表Table 2 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under large angular velocity using joint velocity damping control

純微型固體推進(jìn)器陣列控制雖能快速降低衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)，但是控制精度受限于本身推進(jìn)器的性能以及敏感器誤差。仿真結(jié)果顯示其三軸控制精度僅有0.3325°/s，0.2823°/s和0.3143°/s，無法滿足實(shí)際任務(wù)需求和姿態(tài)捕獲任務(wù)的初始精度要求，且可靠性無法得以保證。

圖6 大角速度阻尼Fig.6 Large angular velocity damping

圖7 小角速度阻尼Fig.7 Small angular velocity damping

本文同時(shí)對只采用微型固體推進(jìn)器陣列輔助控制的方案進(jìn)行驗(yàn)證，其控制精度與純磁控方法以及聯(lián)合控制方法相近，約為0.011°/s,0.012°/s和0.015°/s?？刂茣r(shí)長處于兩者之間，約為2103 s，2245 s和1986 s。表3中結(jié)果表明，微型固體推進(jìn)器陣列共進(jìn)行了4次點(diǎn)火，三軸消耗的推進(jìn)器數(shù)量分別為5，15和7對，略小于聯(lián)合控制所需要的微推進(jìn)器數(shù)量。

小角速度阻尼實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7 (a)、(b)所示，純磁控方法角速度控制周期平均約為3102 s，而聯(lián)合控制方法周期平均僅有722 s，相比純磁控方法提高了76.72%。表4結(jié)果表明，聯(lián)合控制方法僅需兩次脈沖，三軸共消耗4對微推進(jìn)器陣列。因此在初始角速度較小時(shí)，在保證控制精度相同的前提下，聯(lián)合控制律僅需消耗較少的微推進(jìn)器組合，能有效縮短控制周期，降低振蕩幅度。

表3 大角速度輔助阻尼控制微型固體推進(jìn)器陣列點(diǎn)火位置表Table 3 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under large angular velocity using auxiliary velocity damping control

綜上所述，微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合速度阻尼控制方法在保證角速度的精度的前提下，能夠有效縮短控制周期，同時(shí)降低系統(tǒng)的振蕩幅度。

表4 小角度微型固體推進(jìn)器陣列點(diǎn)火位置表Table 4 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under small angel

5.2 姿態(tài)捕獲聯(lián)合控制律校驗(yàn)

將本文提出的聯(lián)合控制方法與傳統(tǒng)的純磁控方法以及純微型固體推進(jìn)器陣列控制方法進(jìn)行比較。旋轉(zhuǎn)角速度為[0.05°/s, 0.05°/s, 0.05°/s]。純磁控方法角速度增益系數(shù)矩陣為K1=diag(3.11×102,3.11×102,3.11×102)，歐拉角增益系數(shù)矩陣為K2=K2/1000；微型固體推進(jìn)器陣列控制角速度增益矩陣為Kmspt1=diag(2×10-2,2×10-2,2×10-2)。歐拉角增益系數(shù)矩陣為Kmspt2=Kmspt1/1000。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8(a)是四種控制算法的角速度曲線圖，其中微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合姿態(tài)控制方法的姿態(tài)穩(wěn)定周期為5466 s，6165 s和6435 s。20 000 s后，歐拉角控制精度可以達(dá)到0.3°,0.2°和0.4°，角速度控制精度可達(dá)0.8×10-3°/s，1.1×10-3°/s和2×10-3°/s。與純磁控方法相比，聯(lián)合控制方法中三軸所需的輸出磁矩明顯降低。從表5中結(jié)果可以看出，微型固體推進(jìn)器陣列共進(jìn)行了5次點(diǎn)火，三軸消耗的推進(jìn)器數(shù)量分別為9，15和14對。

圖8 姿態(tài)捕獲控制Fig.8 Attitude acquisition control

相比而言，純磁控方法達(dá)到上述姿態(tài)穩(wěn)定精度時(shí)需要16 874 s，17 923 s和18 567 s，因此微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合捕獲控制的效率相比于該算法三軸分別提高約208%，191%和188%，從而大大縮短捕獲周期。20 000 s后，聯(lián)合控制方法平均角速度控制精度為1.3×10-3°/s，相比純磁控方法的5×10-3°/s提高了約2.3倍。對比表明，聯(lián)合控制方法相較與傳統(tǒng)磁控方法在相同的控制精度的前提下，能有效縮短姿態(tài)控制周期，降低振蕩幅度，節(jié)省系統(tǒng)輸出能量。

純微型固體推進(jìn)器陣列控制所需要的推進(jìn)器數(shù)量為70，35和100對，遠(yuǎn)多于聯(lián)合控制方法所用推進(jìn)器數(shù)量，其歐拉角和角速度的穩(wěn)定精度分別為8°和1.3°/s。另外，Z軸角速度曲線一直處于持續(xù)振蕩，直至所有推進(jìn)器耗光，可靠性無法得以保證，因此無法滿足對地指向和對地通信等實(shí)際任務(wù)需求。

綜上所述，微型固體推進(jìn)器陣列與磁力矩器聯(lián)合姿態(tài)捕獲控制方法在保證角速度與歐拉角精度的前提下，能夠有效縮短控制周期，同時(shí)降低系統(tǒng)的振蕩幅度，從而驗(yàn)證該算法的有效性。

表5 姿態(tài)捕獲控制微型固體推進(jìn)器陣列點(diǎn)火位置表Table 5 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array using attitude acquisition control

6 結(jié) 論

本文針對皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)中采用純磁控方法與純微型固體推進(jìn)器陣列控制方法中存在的問題，提出了同時(shí)采用兩種執(zhí)行機(jī)構(gòu)的皮納衛(wèi)星姿態(tài)聯(lián)合控制算法，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了算法的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的純磁控方法，所提姿態(tài)聯(lián)合控制算法能夠有效提高控制精度，大幅度縮短控制周期。由于微型固體推進(jìn)器陣列和磁力矩器均具有質(zhì)量輕，功耗低，且價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)，因而這種聯(lián)合控制方法在低成本高精度的皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)具有良好的發(fā)展前景。