劉曉華，韋彬，唐皓，戴智穎，趙煉恒

路堤荷載作用下斜坡地基側(cè)向變形計(jì)算分析

劉曉華1，韋彬1，唐皓1，戴智穎1，趙煉恒2

(1. 深圳市綜合交通設(shè)計(jì)研究院有限公司，廣東 深圳 518003；2. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

為探究斜坡地基在路堤荷載作用下的側(cè)向變形，在Boussinesq和Cerruti集中力下半無(wú)限體側(cè)向變形彈性解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用積分思想，推導(dǎo)出斜坡地基在路堤荷載作用下的側(cè)向位移。將路堤荷載分解為平行于斜坡和垂直于斜坡2個(gè)方向，分別推導(dǎo)出地基在平行和垂直于斜坡的各種荷載下的側(cè)向變形理論解析解，最后依據(jù)疊加原理，將平行于斜坡表面和垂直于斜坡表面的荷載引起的側(cè)向變形進(jìn)行疊加，得出斜坡地基在路堤荷載作用下的側(cè)向變形解析解。研究結(jié)果表明：對(duì)于斜坡上側(cè)地基的土體，水平荷載引起的側(cè)向變形可在一定程度上減小側(cè)向變形的峰值，但對(duì)于斜坡下側(cè)地基土體，水平荷載引起的側(cè)向變形則會(huì)增大側(cè)向變形的峰值。

斜坡地基；路堤荷載；側(cè)向變形；解析解

近年來(lái)，我國(guó)對(duì)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來(lái)越重視，公路建設(shè)事業(yè)得到了迅速發(fā)展。截止2018年底，我國(guó)公路里程累計(jì)達(dá)到484.65萬(wàn)公里，其中，高速公路里程更是達(dá)到了14.26萬(wàn)公里，里程和規(guī)模都穩(wěn)居世界第一位。公路里程增加的同時(shí)，公路災(zāi)害所造成的損失也越來(lái)越大。在造成公路災(zāi)害的眾多原因之中，路基的沉降是其中重要的一個(gè)。一方面，路基沉降會(huì)引起路面凹陷，造成路面材料剝落，使路面出現(xiàn)坑槽，對(duì)行車安全性和行車舒適性帶來(lái)危害，并且減少道路的使用壽命；另一方面，在山嶺地區(qū)，修建在斜坡上的路基沉降還可能會(huì)引起地基變形，甚至誘發(fā)路堤沿接觸面下滑，更嚴(yán)重的引起滑坡災(zāi)害，造成非常嚴(yán)重的后果。目前，對(duì)于地基變形工程中多以監(jiān)測(cè)為主，這雖然能夠較為準(zhǔn)確地反映地基的變形狀態(tài)和結(jié)果，但監(jiān)測(cè)只能在施工過(guò)程中或者施工后，監(jiān)測(cè)的結(jié)果也只能作為后續(xù)施工的指導(dǎo)或者評(píng)價(jià)安全性能的指標(biāo)，若是能事先計(jì)算出其變形并以此為參考，從設(shè)計(jì)到施工，都能節(jié)省一大筆不必要的開支，帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益。然而，在對(duì)其變形計(jì)算的研究中，由于計(jì)算理論的不足，國(guó)內(nèi)外學(xué)者大都采用模型分析或數(shù)值模擬的方法，很少有通過(guò)理論推導(dǎo)出解析解，從而計(jì)算出土體變形的。地基在路堤荷載的作用下會(huì)產(chǎn)生沉降和側(cè)向變形，目前采用的沉降計(jì)算方法和所采用參數(shù)大都基于太沙基一維固結(jié)理論。該理論認(rèn)為，地基的變形只在垂直方向進(jìn)行，從而忽略了土體的側(cè)向位移對(duì)沉降的影響，這與實(shí)際情況明顯不符且會(huì)帶來(lái)較大的計(jì)算誤差。另外，土體側(cè)向變形的研究對(duì)象僅停留在水平地基，對(duì)斜坡形式的地基卻鮮有研究。目前，隨著地鐵、高鐵、大型建筑的大量建設(shè)，對(duì)沉降的監(jiān)測(cè)和控制愈發(fā)重要，地基中土體的側(cè)向位移引發(fā)的沉降不可忽視[1?4]。國(guó)內(nèi)外研究人員從模型試驗(yàn)、工程實(shí)踐、數(shù)值模擬、理論計(jì)算等方面入手對(duì)土體側(cè)向變形進(jìn)行研究取得了顯著成果。曾國(guó)熙[5]基于Boussinesq豎向集中力下的解析解，在泊松比ν=0.5的條件下，推導(dǎo)出多種形式垂直荷載情況下土基在變形階段側(cè)向位移的解析式。Tavenas等[6]以多組路基側(cè)向變形的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，發(fā)現(xiàn)土體的側(cè)向變形隨深度呈弓形狀。屠毓敏等[7]運(yùn)用有限元的方法分析路堤沉降，發(fā)現(xiàn)土的側(cè)脹性對(duì)土工結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形影響較大，進(jìn)一步證實(shí)了側(cè)向位移沉降在路基的沉降分析中是不可以忽略的。劉增賢等[8]基于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)側(cè)向擠出產(chǎn)生的沉降在總沉降中占有相當(dāng)大的比例，并討論了影響側(cè)向擠出的主要因素。陳暉[9]以工程實(shí)例為基礎(chǔ)，針對(duì)固結(jié)沉降建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)側(cè)向位移沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，提出計(jì)算側(cè)向位移沉降的方法，并對(duì)常見路基處理方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。肖紅兵等[10?11]基于Boussinesq豎向作用力下地基側(cè)向位移的彈性理論解，采用積分方式導(dǎo)出了側(cè)向變形彈性解析解。陶峰[12]針對(duì)側(cè)向變形引起的沉陷，采用沉降修正系數(shù)對(duì)沉降量進(jìn)行修正，通過(guò)工程實(shí)例分析表明修正系數(shù)具有較高的準(zhǔn)確性。劉光秀等[13]基于Boussinesq彈性理論解，推導(dǎo)飽和黏土地基側(cè)向位移計(jì)算公式，分析最大側(cè)向位移的產(chǎn)生位置，并通過(guò)有限元探究土體泊松比與地基側(cè)向變形的關(guān)系，理論解析解與模擬結(jié)果比較符合。劉光秀等[14]以平面應(yīng)變的角度切入，推導(dǎo)出了路基荷載下地基的側(cè)向變形理論解。然而，目前現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究對(duì)象大都是水平地基，鮮有對(duì)斜坡路堤荷載作用下地基的側(cè)向變形規(guī)律及其對(duì)地基沉降的影響的研究。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上研究斜坡地基的側(cè)向變形，推導(dǎo)斜坡地基在各種作用力下的變形解析解，并分析理論解析解的正確性。研究成果可為相關(guān)實(shí)際工程提供理論依據(jù)。

1 斜坡路堤下地基變形分析坐標(biāo)系建立

以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖1所示。將路堤荷載劃分為4部分，分別計(jì)算每部分荷載引起的地基側(cè)向變形，然后利用疊加原理將側(cè)向變形疊加，路堤荷載劃分如圖2所示。另外，將每一部分的荷載均分解為垂直于斜坡表面的分力(用表示)和平行于斜坡表面的分力(用表示)。

圖1 建立坐標(biāo)系

圖2 荷載示意圖

圖2中，1和2表示荷載值；為半幅路面在斜坡上對(duì)應(yīng)的距離；1和2分別為兩側(cè)邊坡范圍在斜坡上的對(duì)應(yīng)距離。

各參數(shù)之間的關(guān)系為：

2 垂直斜坡方向分力作用下地基側(cè)向變形

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，豎向荷載作用下土體的側(cè)向變形可由布辛奈斯克解多次積分獲得。

2.1 條形均布荷載作用下土體側(cè)向變形

均布條形荷載(如圖3)作用下土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

圖3 條形分布荷載

2.2 三角形分布條形荷載作用下土體側(cè)向變形計(jì)算

三角形荷載可分為Ⅱ型三角形荷載(如圖4)和Ⅲ型三角形(如圖5)2種情況。

圖4 Ⅱ型三角形分布荷載

圖5 Ⅲ型三角形分布荷載

Ⅱ型三角形分布荷載作用下土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

Ⅲ型三角形分布荷載作用下土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

2.3 垂直于斜坡表面的路堤分荷載作用下土體側(cè)向位移計(jì)算

荷載①為均布荷載，相對(duì)圖3所示的坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)無(wú)變化，荷載大小為1。在荷載①垂直于坡面的分力的作用下地基土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

荷載②為Ⅱ型三角形荷載，相對(duì)圖4所示的坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)左移(+2)個(gè)單位，荷載大小為(1+2)。在荷載②垂直于坡面的分力的作用下斜坡地基土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

荷載③為Ⅲ型三角形荷載，相對(duì)圖5所示的坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)右平移個(gè)單位，荷載為1。在荷載③垂直于斜坡坡面的分力的作用下地基土體中任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

荷載④為Ⅲ型三角形荷載，相對(duì)圖5所示的坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)右移了個(gè)單位，荷載大小為2。在荷載④垂直于坡面的分力的作用下土體中任意點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形為：

綜上，由式(5)~(8)可得，垂直于斜坡表面的路堤分荷載作用下，地基的側(cè)向變形如下式(9)所示：

3 平行斜坡分力作用下地基側(cè)向變形計(jì)算

3.1 線荷載作用下土體側(cè)向應(yīng)力、應(yīng)變及側(cè)向變形

如圖6所示，半無(wú)限彈性體表面作用集中水平力，則任一點(diǎn)的應(yīng)力按Cerruti解表達(dá)式如 下[15]：

圖6 水平方向集中力荷載作用示意圖

在地基表面作用無(wú)限長(zhǎng)均布線荷載時(shí)，荷載沿平面對(duì)稱，對(duì)式(10)和式(11)進(jìn)行積分可得平面內(nèi)任意點(diǎn)(,)的豎向應(yīng)力與側(cè)向應(yīng)力分別為：

根據(jù)廣義胡克定律，且由=0知線荷載下點(diǎn)(,)處軸側(cè)向應(yīng)力σ=(+)，則點(diǎn)(,)處軸側(cè)向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中，是土體彈性模量，負(fù)號(hào)是指背離荷載方向的側(cè)向應(yīng)變?yōu)檎怠?/p>

因此，(,)處的側(cè)向變形x可由式(14)在軸方向上積分得到：

其中：

式中：0為任意常數(shù)。

將式(16)和(17)代入式(15)，并整理得：

式(18)為線荷載下土體任意點(diǎn)處側(cè)向變形的解析解。

3.2 三角形分布條形荷載作用下土體的側(cè)向應(yīng)力、應(yīng)變及側(cè)向變形

三角形分布條形荷載有如圖7所示2種情況(圖中箭頭僅表示應(yīng)力大小，不表示方向)。

(a) Ⅱ型；(b) Ⅲ型

3.2.1 Ⅱ型三角形分布條形荷載作用下土體側(cè)向應(yīng)力、應(yīng)變及側(cè)向變形

其中：

將式(20)~(21)代入式(19)并整理，得：

3.2.2 Ⅲ型三角形分布條形荷載作用下土體側(cè)向應(yīng)力、應(yīng)變及側(cè)向變形

對(duì)于Ⅲ型三角形荷載，用相同的方法可得：

圖8 條形水平均布荷載

3.3 條形均布荷載作用下土體側(cè)向應(yīng)力、應(yīng)變及側(cè)向變形

如圖8(圖中箭頭僅表示應(yīng)力大小，不表示方向)，地基表面作用條形均布荷載，基于式(10)和式(11)利用積分方法求解平面內(nèi)任意點(diǎn)(,)豎向應(yīng)力與側(cè)向應(yīng)力：

又：

因此：

3.4 平行向分力作用下土體的側(cè)向位移

荷載①為均布荷載，相對(duì)于原坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)無(wú)變化，荷載大小為1。在荷載①平行于坡面的分力作用下地基任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形：

荷載③為Ⅲ型三角形荷載，相對(duì)原坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)右移個(gè)單位，荷載為1。在荷載③平行于坡面的分力的作用下地基任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形：

荷載④為Ⅲ型三角形荷載，相對(duì)原坐標(biāo)系而言，坐標(biāo)左移個(gè)單位，荷載大小為2。在荷載④平行于坡面的分力的作用下地基任意一點(diǎn)(,)處的側(cè)向變形：

因此，平行向分力作用下地基的側(cè)向變形為：

4 斜坡路堤荷載下地基的側(cè)向變形求解

綜上，斜坡路堤荷載下地基的側(cè)向變形為平行于斜坡表面和垂直于斜坡表面的2個(gè)路堤分荷載分別作用下地基的側(cè)向變形之和，即：

上面的公式疊加后會(huì)比較復(fù)雜，但由于表達(dá)式都為顯式解析解，因此也很容易利用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行計(jì)算。

5 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證式(37)計(jì)算結(jié)果的合理性，結(jié)合某高速公路軟土路基段的側(cè)向變形進(jìn)行分析。設(shè)計(jì)路堤頂面寬度為=28 m，左邊坡寬度為=24 m，右邊坡寬度為=4 m，路堤右路肩與斜坡表面距離1=2 m，填土均重度=20 kN/m3，斜坡傾角=15°，地基土彈性模量=2.10 MPa，泊松比=0.4，路堤簡(jiǎn)圖如圖9所示。

分別取坡中、右坡腳、右坡肩處沿深度的土體水平位移計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，見圖10。

單位：m

由圖10可知，在路堤垂直荷載分力的作用下，地基某一豎直線上土體的側(cè)向變形沿深度呈弓狀，且側(cè)向變形最大值在地表下土體某深度處，與已有研究結(jié)果吻合[6]。而路堤水平荷載分力作用下地基同一豎直線上土體的側(cè)向變形沿深度逐漸增大，但增大速率逐漸減小，在深處逼近于某一固定值。路堤從右至左，水平荷載分力對(duì)土體側(cè)向變形的影響越來(lái)越大，這是由于斜坡左低右高，路基表面右側(cè)的水平分力所引起土體的側(cè)向變形會(huì)改變左側(cè)土體的應(yīng)力狀態(tài)，使左側(cè)的土體產(chǎn)生更大的側(cè)向位移，因此左側(cè)的路堤下土體受平行荷載引起的變形更大。

另外可以看出，對(duì)于斜坡上側(cè)路基的土體，水平荷載引起的側(cè)向變形可在一定程度上減小側(cè)向變形的峰值，但對(duì)于斜坡下側(cè)路基土體，水平荷載引起的側(cè)向變形則會(huì)增大側(cè)向變形的峰值。因此，對(duì)于路堤荷載作用下的斜坡地基，處于斜坡下側(cè)部分的土體更容易發(fā)生破壞，在實(shí)際工程中應(yīng)采取工程措施對(duì)下部地基進(jìn)行加固。

6 結(jié)論

1) 通過(guò)對(duì)半無(wú)限空間體的Boussinesq彈性解和Cerruti彈性解進(jìn)行積分，分別導(dǎo)出了斜坡地基在垂直于斜坡表面和平行于斜坡表面的多種不同類型荷載下作用下的側(cè)向變形的理論解析解。推導(dǎo)獲得的顯式解析式利用計(jì)算機(jī)編程很容易進(jìn)行計(jì)算，工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值較高。

2) 由于水平荷載分力的影響，斜坡下側(cè)部分的路基土體的側(cè)向變形受路堤荷載的影響更大，引起側(cè)向變形峰值更大，更容易發(fā)生破壞。在實(shí)際工程中有必要加大對(duì)斜坡下側(cè)路基土體的變形監(jiān)測(cè)，同時(shí)對(duì)下側(cè)路堤進(jìn)行適當(dāng)支擋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以保障斜坡路堤的整體穩(wěn)定性。

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Calculation and analysis of lateral deformation of slope foundation under embankment load

LIU Xiaohua1, WEI Bin1, TANG Hao1, DAI Zhiying1, ZHAO Lianheng2

(1. Shenzhen Transportation Design & Research Institute, Shenzhen 518003, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

In terms of foundation form, the horizontal foundation is mostly studied, but there is little research on slope foundation. In order to research the lateral deformation of slope foundation under embankment load, based on the Boussinesq and Cerruti semi-infinite elastic body under the concentrated force of integral solution of lateral deformation, this paper has deduced the formula of the lateral deformation of slope foundation by using the idea of integration. Firstly, the embankment load was decomposed to be parallel to the slope and vertical to the slope, and then the theoretical solution of the lateral deformation of the foundation under various loads parallel to and perpendicular to the slope was derived. Finally, according to the superposition principle, the lateral deformation of the slope foundation under the embankment load was obtained by superposing the two deformations. The calculation results show that the lateral deformation caused by horizontal load can reduce the peak value of lateral deformation to a certain extent for the soil on the upper side of the slope, but for the soil on the lower side of the slope, the peak value will increase.

slope foundation; embankment load; lateral deformation; analytical solution

TU433

A

1672 ? 7029(2020)03 ? 0582 ? 10

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190893

2019?06?14

貴州省科學(xué)技術(shù)廳科技支撐計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目([2018]2815)；貴州省交通運(yùn)輸廳科技項(xiàng)目(2017-123-033，2018-123-040)

趙煉恒(1980?)，男，湖南益陽(yáng)人，教授，博士，從事道路與鐵道工程、巖土極限分析理論與應(yīng)用等研究；E?mail：zlh8076@163.com

(編輯 涂鵬)