[摘 ?要] 平面向量作為高中數(shù)學(xué)的核心概念,集數(shù)、形于一身,是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn),它溝通了代數(shù)、幾何、三角之間的聯(lián)系,是高考重點考查內(nèi)容.文章中筆者根據(jù)自己的課堂教學(xué)實踐來談平面向量的單元復(fù)習(xí),使平面向量復(fù)習(xí)做到既能梳理鞏固已學(xué)知識,又能發(fā)展數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生從中體會研究數(shù)學(xué)對象的心路歷程,領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點看待和認(rèn)識世界的思想真諦.
[關(guān)鍵詞] 平面向量;單元復(fù)習(xí)課;大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)
任何系統(tǒng)都有結(jié)構(gòu),系統(tǒng)只有開放,與外界有信息交換,才可能使結(jié)構(gòu)有序. 數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的一種思維形式,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則的基礎(chǔ). 準(zhǔn)確領(lǐng)悟核心概念是學(xué)生獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的源泉,是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)核心概念作為一個本源概念時,當(dāng)它蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想時,它所涉及的內(nèi)容將更為廣泛,有著不可或缺的指引作用;當(dāng)它預(yù)示著數(shù)學(xué)方法的重大變革時,主要體現(xiàn)在方法的應(yīng)用上.具體地說,數(shù)學(xué)核心概念嵌入在完整的概念體系中,起著核心關(guān)鍵作用,廣泛地與其他的概念聯(lián)系在一起,建構(gòu)起良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),形成完整有序的系統(tǒng). 教學(xué)時要厘清數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò),樹立“整體觀”和“系統(tǒng)觀”.
平面向量作為高中數(shù)學(xué)的核心概念,與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、不等式等知識都有內(nèi)在聯(lián)系,是高考重點考查內(nèi)容. 如何使平面向量復(fù)習(xí)做到既能梳理鞏固已學(xué)知識,又能發(fā)展數(shù)學(xué)思維、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想,是擺在教師面前的一道難題. 本文筆者就自己的課堂教學(xué)實踐談?wù)勂矫嫦蛄康膹?fù)習(xí). 筆者以為本節(jié)課的復(fù)習(xí),重要的不是回顧向量的形式化定義及幾個相關(guān)概念,而是再次體會獲得數(shù)學(xué)研究對象、認(rèn)識數(shù)學(xué)新對象的基本方法,蘊含了用數(shù)學(xué)的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑,這是一個帶有本源性質(zhì)的再認(rèn)識過程.
平面向量單元復(fù)習(xí)(一)
執(zhí)教:秦國清
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解平面向量中的相關(guān)概念;掌握平面向量的基本運算;體會向量研究問題的思想方法.
學(xué)習(xí)過程
活動一:復(fù)習(xí)回顧
教者提問向量概念,舉實例引入復(fù)習(xí).
向量是刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型,與實際生活的緊密聯(lián)系,在解決實際問題中有廣泛應(yīng)用,生活中有向量,生活中用向量. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值,學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實世界,去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題.
1. 已知點D為△ABC邊BC的中點,設(shè) =a, =b,則 =________. (用a,b表示)
2. 已知a=(1,0),b=(2,1),若ma-b與a+3b共線,則實數(shù)m=________.
3. 已知e1,e2是夾角為 π的兩個單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a⊥b,則k的值為________.
4. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P1(x1,y1)是單位圓上的一點,P,P2分別是單位圓與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸的交點,設(shè)∠POP1為α. 若α= ,則 · =________.
活動一的實施,為學(xué)生課前預(yù)習(xí),并小組討論,形成章節(jié)知識框架,課上小組代表展示,其他小組成員補(bǔ)充,教師總結(jié)提升完成.
設(shè)計意圖:活動一設(shè)置了4個小題,幫學(xué)生復(fù)習(xí)回顧本章節(jié)的基本知識. 在復(fù)習(xí)回顧過程中要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征,類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示,類比數(shù)的集合認(rèn)識向量的集合,類比直線(段)的基本關(guān)系認(rèn)識向量的基本關(guān)系.要使學(xué)生從中體會到認(rèn)識一個數(shù)學(xué)概念的基本,為學(xué)生自覺、有序、有效地研究向量問題提供固著點.
第1、2小題在明確向量的概念特征后,著重從向量幾何表示和代數(shù)表示出發(fā),通過向量的加、減、數(shù)乘等線性運算,如利用向量的數(shù)乘運算可以刻畫平行和伸縮,引出向量共線定理;通過向量的加、減的基底運算引出平面向量基本定理. 通過研究向量運算,可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)運算對象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索.從數(shù)到字母,到向量運算又是一次跳躍.從而加深和拓展了學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的理解,有助于學(xué)生發(fā)展運算能力和推理能力,讓其體會到數(shù)學(xué)運算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用.
第3、4小題通過研究向量數(shù)量積運算的兩種方式(基底和坐標(biāo)),進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)向量有方向,可以刻畫角度、直線、平面等幾何對象及它們的位置關(guān)系;向量有長度,可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題運算及其規(guī)律.而向量的數(shù)量積運算可以刻畫垂直、角度、距離、三角函數(shù)等.當(dāng)然長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的,必須通過向量坐標(biāo)化的代數(shù)運算,使相關(guān)的運算化歸為實數(shù)的運算,特別指出的是,平面向量基本定理轉(zhuǎn)化為直線坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系的基本定理,它們實即解析幾何發(fā)明的本源之一. 至此,向量作為數(shù)形轉(zhuǎn)化橋梁的核心作用躍然紙上.數(shù)形結(jié)合不但是探究數(shù)學(xué)的思想,解決數(shù)學(xué)問題的方法,其實也是數(shù)學(xué)命題的一種根據(jù)和來源,更應(yīng)是探索創(chuàng)新的思維方式.
另外,第4小題的選擇著重于向量的應(yīng)用研究,形式上題目的選取后面有三角形、四邊形,選擇一個圓作為背景,選題更全面.更主要的是向量的應(yīng)用為解決三角形問題(平面問題)提供新的視角.教材在安排必修4的內(nèi)容,非常巧妙精致,三個章節(jié)之間存在緊密的聯(lián)系,向量位于本模塊中間章節(jié),充分體現(xiàn)向量雙重特性,同時為利用向量數(shù)量積推導(dǎo)出三角恒等變換核心(知識的起點)——兩角差的余弦公式奠定基礎(chǔ),其中向量運算中的“算兩次”的思想方法得以體現(xiàn).
知識梳理
如圖2所示:
設(shè)計意圖:知識梳理時可以從三個方面展開,一是向量概念的本質(zhì)特征(大小和方向)引發(fā)后面的運算以及應(yīng)用的方式、方法,上面已談到. 二是從整體的角度,研究與向量密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念,它們通常都是以一定的數(shù)學(xué)思想或方法聯(lián)系在一起的,如三角函數(shù)與向量的交匯,促成了向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)三位一體,使相關(guān)的運算化歸為實數(shù)的運算;明晰了長度與角度的轉(zhuǎn)化聯(lián)系,促成了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;使直線斜率(傾斜角)等解析幾何問題的研究更趨于本質(zhì)化. 三是從學(xué)生獲得研究數(shù)學(xué)新對象的基本方法入手,通過類比的方法, 引導(dǎo)學(xué)生找到用數(shù)學(xué)的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑,突出了數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的根本價值——學(xué)科育人.
活動二:典型例題
例1:如圖3,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=2,且 = , = ?,求 · 的值.
(可在例1的基礎(chǔ)上,即時變角,把直角變?yōu)槠渌厥饨?,再讓學(xué)生研究)
變式1:如圖4,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5, =3 , · =2,求 · 的值.
設(shè)計意圖:變式1和例1在形式上都是基本幾何圖形,從小題1的三角形,到例題的矩形,再到變式中的平行四邊形,把角的條件、邊的條件逐步換掉后,在陌生背景下再來訓(xùn)練學(xué)生,本質(zhì)上都是研究向量數(shù)量積的兩種基本方法,力求讓高一的學(xué)生能夠牢固掌握.這也符合高考命題的要求,重要的知識反復(fù)考.在這里教者要賦予學(xué)生更多地參與學(xué)習(xí)的機(jī)會和權(quán)利,讓每一個學(xué)生在自主獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學(xué)生多思善問,讓學(xué)生在鼓勵中不斷調(diào)整思維方向. 要給他們充分的時間和機(jī)會表達(dá)、反思,辨析和體會,讓學(xué)生養(yǎng)成自動矯正、調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)行為的能力.使學(xué)生的學(xué)習(xí)始終處于一種有準(zhǔn)備的狀態(tài),更容易進(jìn)入“自主學(xué)習(xí)”的境界.培養(yǎng)自覺、自主、自立的學(xué)習(xí)者,為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).
例2:在△ABC中,∠C=60°,AC=1,BC=2,2 = ,求CE的長.
設(shè)計意圖:筆者認(rèn)為,本題能完美地展示解決向量問題的各種方法,但對于高一學(xué)生來講,主要還是從幾何和代數(shù)的視角,緊緊抓住基底法和坐標(biāo)法,夯實基礎(chǔ). 教者要站在學(xué)生的立場,貼近學(xué)生的思維發(fā)展區(qū),剖析反映數(shù)學(xué)知識,演化邏輯的知識序、反映學(xué)生學(xué)習(xí)心理活動的思維序、反映教學(xué)流程時空推進(jìn)的教學(xué)序,在“三序合一”中化知為識、化識為能、化能為慧.
變式2:在△ABC中,∠C=60°,AC=1,BC=2,2 = ,D是BC的中點,AD與CE交于點O. 求 .
拓展:如圖5,在△ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O. 若 · =6 · ,求 的值.
設(shè)計意圖:變式2、拓展和例2的解決,從復(fù)習(xí)回顧的第1小題起就埋下了伏筆,從三角形的中線到三等分點,再到中線的交點——重心,再到變式和拓展,一以貫之的是解決問題的思想和方法,利用向量的加法、減法運算和基底思想很快解決問題,當(dāng)然也可以利用平面幾何的知識解決.
需要強(qiáng)調(diào)的是,作為章節(jié)復(fù)習(xí)課,選題必須典型,本節(jié)課的選題都是來自課本和高考卷,也有適當(dāng)?shù)淖兓?這樣解題的入口寬,跟高速公路一樣四通八達(dá). 所以變式2、拓展毫無疑問也可以建立坐標(biāo)系,代數(shù)化運算,另外變式2是拓展的特例,拓展是變式2的一般情況. 在向量問題解決方法中特殊化、坐標(biāo)化也是很常見的.
最后要說明的是,教者要根據(jù)課堂的節(jié)奏把控教學(xué)進(jìn)度和內(nèi)容,不要圖“高、大、全”,拓展訓(xùn)練來不及可以在后面再探討. 由于是章節(jié)復(fù)習(xí)的第一課時,我們在梳理完知識框架和發(fā)展脈絡(luò)后,典型例題的研究主要選擇求解向量的模長和數(shù)量積,下一堂課將在本堂課的完成基礎(chǔ)上,解決一些角的問題,以進(jìn)一步完善章節(jié)復(fù)習(xí)體系.
活動三:課堂小結(jié)
設(shè)計意圖:通過師生共同的復(fù)習(xí)回顧,讓學(xué)生進(jìn)一步感受到:向量是代數(shù)的對象,向量是幾何的對象,向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁,是重要的數(shù)學(xué)模型,有著廣泛的應(yīng)用.教者要梳理課堂教學(xué)發(fā)展的脈絡(luò),發(fā)掘真實的、靈動的、豐富多彩的高中數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生從中體驗數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)對象的心路歷程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點看待和認(rèn)識世界的思想真諦.教師要挖掘數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的價值,讓學(xué)生在掌握基本的數(shù)學(xué)知識技能和思想方法的同時,學(xué)會生存、生活和適應(yīng)社會發(fā)展的智慧.
南通教科院曾榮教授認(rèn)為,本堂課成功地完成了單元復(fù)習(xí)課的兩項目標(biāo):知識梳理結(jié)構(gòu)化和例題應(yīng)用綜合化. 既明晰了核心概念的來龍去脈、生長生成,讓學(xué)生通透知識;又以“合理的選擇、適度的變化和充分的活動”讓例題教學(xué)變得精致而深刻.更重要的教者能挖掘所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生學(xué)習(xí)時逐步加深理解,生發(fā)出研究數(shù)學(xué)對象,解決數(shù)學(xué)問題的方法策略.
對于本節(jié)課的“活動單”設(shè)計,筆者四易其稿,精益求精. 在隨后的課堂教學(xué)中順利達(dá)成預(yù)期目標(biāo),設(shè)計意圖很好的得以實施. 教學(xué)中筆者還發(fā)現(xiàn),兩組例題、變式教學(xué)時類比、比較、循序漸進(jìn)進(jìn)行,效果更佳,更能讓學(xué)生形成研究向量問題的方法和路徑.
必須強(qiáng)調(diào)的是,課堂設(shè)計和教學(xué)要建立在對課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和教材有深刻理解,對學(xué)生的認(rèn)知水平有較好的把握上,使得知識內(nèi)容序與學(xué)生的學(xué)情認(rèn)知序結(jié)合形成有效的教學(xué)序;同時以大概念或大觀念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的各要素,形成主體協(xié)同、要素關(guān)聯(lián)、學(xué)力生長、素養(yǎng)聚焦、系統(tǒng)優(yōu)化的教學(xué)結(jié)構(gòu),建構(gòu)層級化、關(guān)聯(lián)性的課堂教學(xué)系統(tǒng). 這就是筆者所在學(xué)校正在開展的“大單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)”模式.
教學(xué)中教者要合理設(shè)問、適時點撥、直達(dá)思維的關(guān)鍵處;讓學(xué)生經(jīng)歷過程、突破難點、直擊矛盾的沖突處;要重視思維的自然流露,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,關(guān)注思維的過程與方式,讓數(shù)學(xué)思維“看得見、聽得見”;要站在系統(tǒng)的高度,提煉思想,升華觀點. 這樣學(xué)生將來不管從事什么工作,當(dāng)面對工作、生活中的困難時,即使忘掉了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,仍然可以從數(shù)學(xué)的角度,通過深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法迅速抓住關(guān)鍵點,有條理地觀察、分析、論證,隨時隨地解決問題. 筆者認(rèn)為,這才是我們要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),才是學(xué)科育人.