林鳳明

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)知識中提煉出來的精髓，是學(xué)生把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為自己能力的一種重要的工具.本文通過對化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和方程與函數(shù)這四種重要的數(shù)學(xué)思想方法在初中教學(xué)實踐中的具體運(yùn)用進(jìn)行探討，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)提供思路.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)方法;滲透

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識及其所使用數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識，它蘊(yùn)含于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法之中，又經(jīng)過了一定的提煉與概括，成為理性的認(rèn)識[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確指出：“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，它隱含在具體的數(shù)學(xué)知識中[2].”這表明對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)是重要的.在初中階段，對于如何在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，教師們都進(jìn)行了很多有意義的探討.如：魏光明（2018）探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略[3].在初中階段，數(shù)學(xué)思想方法雖然有很多，但是最基本的數(shù)學(xué)思想方法主要還是體現(xiàn)為化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程和函數(shù)思想（謝堅，2017[4];張琳，2019[5]等）這幾種.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中滲透這幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在潛移默化中很自然地掌握數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生得到更全面的發(fā)展.

一、化歸思想

化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，即在解決具體數(shù)學(xué)問題時，將現(xiàn)有的問題通過某種方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把它轉(zhuǎn)化為更簡單的、學(xué)生更熟悉的問題去解答的一種解題思路.化歸思想是使一種數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的思想.

化歸思想是初中數(shù)學(xué)中解決問題的基本思想之一.在具體轉(zhuǎn)化方法上，可以通過多種具體手段進(jìn)行，比如加減法、乘除法之間的轉(zhuǎn)化，乘方和開方之間的轉(zhuǎn)化，添加輔助線以及增設(shè)輔助元.在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)該潛移默化，讓學(xué)生意識到很多常用的數(shù)學(xué)方法實質(zhì)上就是一種轉(zhuǎn)化的方法.然后教師再結(jié)合實際的教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，從而讓學(xué)生很自然地掌握化歸的思想方法.當(dāng)然，在具體的實踐教學(xué)中，可以先提出具體問題，再引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生去探求轉(zhuǎn)化的思路.

在平時的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該有意識地滲透化歸思想.比如，在求解分式方程時，讓學(xué)生回憶一下整式方程的解法，然后運(yùn)用化歸思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的整式方程，從而使學(xué)生順利地求出分式方程的解;再如，在解二元一次方程組時所使用的“消元法”也是化歸思想的具體應(yīng)用，通過適當(dāng)?shù)睾愕茸儞Q，先消去一個未知數(shù)，使二元一次方程組化歸為學(xué)生熟悉的一元一次方程，讓學(xué)生很容易掌握二元一次方程組的求解.類似地，還有解一元二次方程時所采用的“降次法”、化分式為整式等等，這些都是化歸思想的具體體現(xiàn).

例1 （2015年泰安中考題）某服裝店購進(jìn)一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價比乙種款型每件的進(jìn)價少30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進(jìn)多少件？

（2）商店按進(jìn)價提高60%標(biāo)價銷售，銷售一段時間后，甲種款型全部售完，乙種款型剩余一半，商店決定對乙種款型按標(biāo)價的五折降價銷售，很快全部售完，售完這批T恤衫，商店共獲利多少元？

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)字與直觀的圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，進(jìn)而解決問題的一種最常用的數(shù)學(xué)思想.通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生以一種全新的思維方式去理解問題，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，降低問題的難度，從而使學(xué)生更容易解決問題，也有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力.

數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用大致可分為“由數(shù)解形”和“以形助數(shù)”兩類.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.例如，教師在講授“有理數(shù)及其運(yùn)算”時，可以充分利用數(shù)軸，讓學(xué)生深刻理解“具有相反意義的量”具體表示什么，這對學(xué)生掌握相反數(shù)、絕對值等概念起了很大的幫助.教師在講授“生活中的數(shù)據(jù)”這一章時，可以通過圖形來表示數(shù)據(jù)，更是讓學(xué)生直觀明了.而教師在講授“平面圖形及其位置關(guān)系”這一章時，可以通過數(shù)量上的變化，讓學(xué)生對線段的長度和角的大小有一個非常直觀的認(rèn)識，這有助于學(xué)生更好地進(jìn)行線段和角的比較.教師在講授“平面直角坐標(biāo)系”時，可以有針對性地引導(dǎo)學(xué)生思考，嘗試把教室當(dāng)作一個平面，構(gòu)建現(xiàn)實中的平面直角坐標(biāo)系，這樣，每個學(xué)生所在的具體位置和數(shù)（幾排幾列）就結(jié)合起來了.通過學(xué)生的積極參與，數(shù)形結(jié)合思想很容易滲透到學(xué)生的思維中，使學(xué)生清楚平面直角坐標(biāo)系上的每一點所代表的意義，這也為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)奠定了更堅實的基礎(chǔ).

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它貫串整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程.首先，初中數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩大類，這就是分類思想的體現(xiàn);其次，初中數(shù)學(xué)中實數(shù)的分類、角的分類、方程及函數(shù)的分類等，都體現(xiàn)了分類思想.所以教師在教學(xué)時，要給學(xué)生灌輸分類討論思想，即分類標(biāo)準(zhǔn)不同，得出的結(jié)果也不盡相同.在具體的教學(xué)過程中，教師要啟發(fā)學(xué)生對不同情況下的同一對象進(jìn)行思考，根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)且有條理的分類.

一般來說，在問題的答案或結(jié)論不唯一的前提條件下，我們就可以考慮采用分類討論思想，將問題存在的所有可能情況進(jìn)行逐一分析，得出在不同條件下的答案或結(jié)論.

例3 某等腰三角形的兩條邊長分別為4 cm和6 cm，則它的周長為多少？

解 由于題目中沒有明確底邊和腰的具體長度，導(dǎo)致該三角形周長出現(xiàn)不唯一的情況，這時就應(yīng)該采用分類討論的思想.因此，三角形三邊長有4 cm，4 cm，6 cm和6 cm，6 cm，4 cm這兩種情況.在第一種情況中，三邊長分別為4 cm，4 cm，6 cm的三角形周長為14 cm，在第二種情況中，三邊長分別為6 cm，6 cm，4 cm的三角形周長為16 cm.

在該類題型中，還隱含了一個條件，就是三角形的三邊關(guān)系必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，若所進(jìn)行的分類不能滿足這一要求，則不必討論.

值得注意的是，雖然分類討論是一種非常有效的數(shù)學(xué)方法，但是在具體運(yùn)用分類討論解決實際問題時，要根據(jù)已知的條件進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)且有條理的分類，以免在分類中出現(xiàn)遺漏和重復(fù)，即注重分類的完備性.當(dāng)然，也不要盲目機(jī)械地急于進(jìn)行分類，應(yīng)對所要解決的問題進(jìn)行深入研究，充分挖掘已知量和未知量的關(guān)系，得出最佳的解決方案.

四、方程與函數(shù)思想

函數(shù)思想是發(fā)現(xiàn)變量與變量之間關(guān)系的一種思想.方程思想是將研究的未知變量與已知變量建立聯(lián)系，或者轉(zhuǎn)化成方程的關(guān)系.它們是初中階段運(yùn)用較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法.無論是一元一次方程、二元一次方程組，還是一元二次方程等都涉及方程思想.而通過分析不同變量間存在的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，可以讓數(shù)學(xué)問題更直觀，更有邏輯性.因此，教師在日常的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生探究初中數(shù)學(xué)方程和函數(shù)所包含的思想，并靈活運(yùn)用它們?nèi)ニ伎己徒鉀Q問題.在具體的教學(xué)實踐中，教師可以從實際問題出發(fā)，利用已知條件或熟悉的公式把握問題中已知變量和未知變量之間的數(shù)量關(guān)系，使其轉(zhuǎn)化為方程（或方程組）、不等式等數(shù)學(xué)模型，然后通過求解數(shù)學(xué)模型，使問題獲得解答.在“二元一次方程組”這一章中，比較經(jīng)典的雞兔同籠的問題就是方程思想的具體應(yīng)用.

例4 （2015年攀枝花市中考題）某超市銷售甲、乙兩種商品，甲商品每件進(jìn)價10元，售價15元;乙商品每件進(jìn)價30元，售價40元.

（1）若該超市一次性購進(jìn)兩種商品共80件，且恰好用去1600元，購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）若該超市要使兩種商品共80件的購進(jìn)費(fèi)用不超過1640元，且總利潤（利潤=售價-進(jìn)價）不少于600元，請你幫助該超市設(shè)計相應(yīng)的進(jìn)貨方案，并指出該超市利潤最大的方案.

分析 （1）明顯是雞兔同籠問題的具體應(yīng)用，可以采用方程思想解題.選擇一元一次方程或者二元一次方程組均可.（2）是不等式組的具體應(yīng)用，可以根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)建不等式組來解決問題.

同樣，教師在教學(xué)過程中也要有意識、有計劃、有目的地滲透函數(shù)思想.比如在講授“正、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)”時，自始至終給學(xué)生灌輸變量之間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想.

初中數(shù)學(xué)所包含的思想方法并不局限于上述探討的幾種，還有諸如觀察與實驗、分析與綜合以及歸納與類比等思想方法，具體怎么在教學(xué)過程中滲透，這就要求教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷地挖掘.在具體的教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，充分提煉出教材中具體的數(shù)學(xué)思想方法，精心設(shè)計每一堂課，深思熟慮每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，有意識、有針對性地滲透，做到讓學(xué)生在潛移默化中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法.此外，教師在教和授的同時，還要善于引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，逐步明確數(shù)學(xué)知識的來龍去脈及掌握一些基本的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在解決實際問題時，能積極主動地運(yùn)用這些思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉婧，馬文杰. 關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的研究[J]. 臺州學(xué)院學(xué)報，2017（06）：65-71.

[2]蔣夢霞，馬文杰. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究[J].臺州學(xué)院學(xué)報，2017（03）：71-75.

[3]魏光明. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（10）：34.

[4]謝堅. 數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究[J]. 課程教育研究，2017（34）：109-110.

[5]張琳. 初中數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（18）：23-24.