陳兆緒

【摘要】數(shù)學(xué)思考力是指一種邏輯運(yùn)用、本質(zhì)聯(lián)系和信息建立的能力，也是一種搜索更廣、潛入更深的思維活動.以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，以解決問題為目標(biāo)，注重學(xué)生對知識的探究過程，這正是數(shù)學(xué)思考力的體現(xiàn).以數(shù)學(xué)實(shí)驗為載體，讓學(xué)生在動手操作過程中，掌握思考方法，懂得思考步驟，具備思考能力，促進(jìn)學(xué)生思考力的增長.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗;數(shù)學(xué)思考力

德國數(shù)學(xué)家康托爾說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的充分自由.”義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)將“雙基”調(diào)整為“四基”，即在“基礎(chǔ)知識、基本技能”的基礎(chǔ)上，增加了“基本思想、基本活動經(jīng)驗”.數(shù)學(xué)思考力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核.數(shù)學(xué)實(shí)驗可以啟迪學(xué)生的思維，在課堂中以學(xué)生為中心，以實(shí)驗為手段，使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗操作過程中理清數(shù)學(xué)本質(zhì)，并讓數(shù)學(xué)思考意識在數(shù)學(xué)教學(xué)中落地生根.

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗與學(xué)習(xí)方法：讓學(xué)生在實(shí)驗中形成主動思考意識

美國心理學(xué)家布魯納曾說：“興趣是對學(xué)習(xí)的最好刺激，一個人抱著興趣去研究某個問題時就會達(dá)到驚人的程度.”數(shù)學(xué)實(shí)驗要求學(xué)生用親身觀察、思考和試驗等途徑實(shí)現(xiàn)知識內(nèi)化，同時，在實(shí)驗中設(shè)置一連串層層深入的問題，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)著學(xué)生興趣盎然的走向挑戰(zhàn)，從而促使學(xué)生在實(shí)驗中形成主動思考意識.

案例1 一元一次方程應(yīng)用

演示實(shí)驗：用個大水杯向一個小水杯倒水.

由于杯子容量不一樣，所以，在大杯往小杯倒水后，會發(fā)生水面高度的變化，利用這一生活中比較常見的事例，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生對水面高度的變化原因產(chǎn)生好奇，為后面的數(shù)學(xué)實(shí)驗做好鋪墊.

為學(xué)生提供兩個底面直徑分別為3.2 cm的A量筒和4 cm的B量筒.讓學(xué)生首先將B量筒裝滿水，水面高度為4 cm，然后將B量筒內(nèi)的水倒進(jìn)A量筒內(nèi)，認(rèn)真觀察倒水前后兩個量筒內(nèi)水的高度有什么變化？A量筒內(nèi)的水面高度為多少？

在興趣的驅(qū)動下，學(xué)生積極地開始動手實(shí)驗，這種直觀的、簡單的實(shí)驗操作讓學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了在倒水的過程中，由于底面半徑發(fā)生了變化，所以，水面的高度也隨之發(fā)生變化，但始終存在水的體積不變這一現(xiàn)象.根據(jù)這一等量關(guān)系，我們可以假設(shè)A量筒內(nèi)的水面高度是x cm，則有：

選擇學(xué)生比較熟悉的體積問題，其等量關(guān)系一目了然，學(xué)生通過等體積水及水面的變化過程產(chǎn)生問題意識，并體會其中所蘊(yùn)含的不變量，從而引出用一元一次方程求解實(shí)際問題的基本步驟.

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗與數(shù)學(xué)理解：讓學(xué)生在實(shí)驗中思考數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延

心理認(rèn)知學(xué)認(rèn)為：初中生的思維能力比較弱，且正處于想象、推理的萌芽階段.處于該階段的學(xué)生思考力的形成離不開直觀形象支撐，尤其是對于數(shù)學(xué)概念的理解，運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗可幫助學(xué)生直觀地觀察數(shù)學(xué)對象，讓學(xué)生不再抽象中掙扎徘徊，在實(shí)驗中思考數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，加深對數(shù)學(xué)概念的理解.

師：現(xiàn)在請同學(xué)們將一張紙平放在桌面上，然后往紙上滴一滴墨水，然后將紙張對折壓平，稍等片刻后，打開紙，觀察有什么現(xiàn)象？

學(xué)生實(shí)驗，很快有的學(xué)生就發(fā)現(xiàn)紙張兩邊的墨跡沿著折痕折疊后重合.繼續(xù)出示圖1.

師：誰能說出如何剪出這幅圖案呢？請你們動手試一試.

（學(xué)生動手操作，發(fā)現(xiàn)將圖案對折后兩部分完全重合，所以可以利用圖形對稱的方法剪出圖案.）

師：通過前面兩次操作，你們發(fā)現(xiàn)它們有什么共同點(diǎn)？

生1：像這樣，將一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果翻折后的兩個圖形關(guān)于這條折痕重合，就可以說這兩個圖形關(guān)于折痕對稱.

生2：在數(shù)學(xué)上，我們可以稱這兩個圖形是軸對稱圖形，這條直線是對稱軸.

師：那我們學(xué)過的哪些圖形是軸對稱圖形？

生3：圓形、等邊三角形.

生4：長方形.

生5：平行四邊形.

生6：平行四邊形好像不是軸對稱圖形.

學(xué)生出現(xiàn)了不同的意見，有的贊同，有的反對，如何來驗證呢？接下來筆者讓學(xué)生用學(xué)具進(jìn)行自主操作.

生7：我從平行四邊形的一個角點(diǎn)向其對邊垂直剪下一個三角形，然后將這個直角三角形拼在另一個缺口，就變成了長方形.因為長方形是軸對稱圖形，所以平行四邊形也是.

師：聽著好像有道理.

生8：可是我發(fā)現(xiàn)無論怎么折，兩邊都無法重合，所以我認(rèn)為平行四邊形不是軸對稱圖形.

師：還有補(bǔ)充的嗎？

生9：剛才我們學(xué)過判斷一個圖形是否為軸對稱圖形，關(guān)鍵是看它對折后兩邊是否能重合.所以，依照軸對稱圖形的概念來看，顯然平行四邊形不是軸對稱圖形.

在對稱軸與軸對稱圖形概念的教學(xué)中，筆者安排了三次數(shù)學(xué)實(shí)驗，讓學(xué)生在環(huán)環(huán)相扣的實(shí)驗中充分地思考、體驗、感受，以及產(chǎn)生不同觀點(diǎn)之后的相互碰撞、辯論，有效激活了學(xué)生的思考力.

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗與動態(tài)生成，讓學(xué)生在實(shí)驗中思考“變”與“不變”

數(shù)學(xué)實(shí)驗是學(xué)生通過動手、動腦和動口“做數(shù)學(xué)”的一種學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生綜合運(yùn)用作圖工具、測量工具、模型、剪刀和紙張等進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的探究活動.克萊因曾說過：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神.”其中，“理性”二字充分體現(xiàn)從“變”中準(zhǔn)確把握“不變”的本質(zhì)，并能以“不變”應(yīng)“萬變”.

問題1：已知在△ABC中，邊長BC、AC、AB的長度分別為a、b、c.

（1）若△ABC為一般三角形時，a、b、c之間有什么數(shù)量關(guān)系？

（2）若∠B=∠C，a、b、c之間有什么數(shù)量關(guān)系？

（3）若∠A=∠B=∠C，a、b、c之間有什么數(shù)量關(guān)系？

請同學(xué)們在草稿紙上畫圖進(jìn)行探索，從問題（1）到問題（3），從一般到特殊，讓學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)三角形的角度發(fā)生變化時，其對應(yīng)三邊關(guān)系也隨之發(fā)生變化.

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生從問題（1）中得到a-bb）;從問題（2）中得到b=c;從問題（3）中得到a=b=c.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生會提出疑問：當(dāng)∠C=90°時，a、b、c之間有什么數(shù)量關(guān)系？由于學(xué)生有了關(guān)于任意三角形、等腰三角形和等邊三角形三邊關(guān)系的經(jīng)驗，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為三角形的三邊之間數(shù)量關(guān)系都是“一次性”的，從而會使得他們的思維產(chǎn)生遷移.這是學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的自然生長，對學(xué)生的思維發(fā)展極為有價值.因此，筆者充分利用這一動態(tài)生成資源，設(shè)計了以下數(shù)學(xué)實(shí)驗：請學(xué)生借助幾何畫板軟件，改變直角三角形三邊的長度，讓學(xué)生分組測量計算并驗證猜想.學(xué)生通過定量的分析，可能會得到a、b、c之間一種新的數(shù)量關(guān)系，這樣學(xué)生就會有第二次、三次的新發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維品質(zhì)也在動態(tài)生成中逐漸得到發(fā)展.

這是筆者在課前沒有預(yù)設(shè)到的，所以，趁著學(xué)生興趣正濃厚時，讓學(xué)生利用表格、幾何畫板等工具自主設(shè)計實(shí)驗，學(xué)生通過多組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)測定的數(shù)值保留精度足夠高，幾乎所有的數(shù)值都滿足a2+b2=c2.由此，我們就可以說直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，常常遇到學(xué)生因找不到突破口而困惑的現(xiàn)象，此時可通過數(shù)學(xué)實(shí)驗來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，打開突破口解決問題.在上述環(huán)節(jié)中，我們以特殊值獲得了關(guān)系式a2+b2=c2，那么該公式是否具有普適性？需要學(xué)生再次從特殊回到一般，這也是學(xué)生

思考力增長的難點(diǎn).通過分析式子結(jié)構(gòu)關(guān)系，可以聯(lián)想到邊長分別為a、b和c的正方形面積，因此，應(yīng)用“構(gòu)造法”的思想，對任意的直角三角形ABC進(jìn)行構(gòu)造，如圖2所示.

只要證明正方形DCBE和CFGA的面積之和等于正方形BAMN的面積即可.我們常用的方法是用割補(bǔ)法，這一過程，對于學(xué)生的思維具有極大的挑戰(zhàn).只有給予學(xué)生充足的時間，鼓勵學(xué)生積極思維，勇敢面對挑戰(zhàn)，才能克服思維的障礙.學(xué)生在草稿紙上作出了多種嘗試：

生3：我首先對a2+b2=c2進(jìn)行變形，得到（a-b）2+2ab=c2，所以構(gòu)造出圖3.然后根據(jù)割補(bǔ)法得到圖4.

利用數(shù)學(xué)實(shí)驗將整個勾股定理的探索過程有機(jī)串聯(lián)起來，讓學(xué)生在邊操作邊思維的過程中實(shí)現(xiàn)對勾股定理的猜測、推斷和證明，最后反思和總結(jié)勾股定理的證明過程，將知識上升為經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生思考力再次增長.

英國迪士尼樂園的路徑是游客“走”出來的，數(shù)學(xué)思考力的構(gòu)建也需要依靠師生的共同努力才能形成.在數(shù)學(xué)實(shí)驗教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生預(yù)留充足的時間，激活思考點(diǎn)，延展數(shù)學(xué)思考觸角，讓數(shù)學(xué)思維逐漸走向開放，形成勤于思考的良好習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李賓， 張徐慧. 例談數(shù)學(xué)思考力[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2018（20）：49-51.

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