姚永霞

（寧夏銀川一中 寧夏 750001）

“動態(tài)平衡”是指平衡問題中的一部分力是變力，力的大小和方向均可能發(fā)生變化，是一種動態(tài)力，所以叫動態(tài)平衡。這是高中力學(xué)平衡中的一類難題，也是高考的熱點問題。動態(tài)平衡往往是三個力的平衡，有以下幾種情況①一個力的大小方向均不變，另一個力的方向不變，剩下一個力的大小方向都變，這種情況適用于圖解法；②一個力的大小方向都不變，剩下的兩個力的大小和方向都改變，并且這兩個力之間的夾角也是變化的，通常題目中會出現(xiàn)沿著繩方向的拉力、沿圓形物體半徑方向的彈力等，因此我們可以找到與力的矢量三角形相似的幾何三角形，適用于相似三角形的解法；③一個力的大小方向都不變，剩下的兩個力的大小和方向都發(fā)生改變，但是這兩個力之間的夾角是不變的，這種適用于同弧定圓法（輔助圓法）。

同弧定圓法（輔助圓法）：如圖1所示，同一個圓中同一段弧所對應(yīng)的的圓周角相等；同一條弦對應(yīng)兩段弧，一段優(yōu)弧，一段劣弧，優(yōu)弧對應(yīng)的圓周角為α，α>90°，劣弧對應(yīng)的圓周角為β，β＜90°，同一條弦同側(cè)的圓周角對應(yīng)于同一段弧，因此同一條弦同側(cè)的圓周角相等。這個定理就是我們同弧定圓法的理論基礎(chǔ)。我們可以畫一個定圓，將不變的力作為一條定弦，剩余兩個力在這條弦的一側(cè)變化，這兩個力夾角的補交就是定弦的圓周角，圓周角不變就能保證這兩個力的夾角不變。

本文通過近幾年高考題和相關(guān)模擬試題研究其中同弧定圓法的應(yīng)用及解法探討。

【例題1】如圖2所示，兩根細繩拉住一小球，開始時AC水平，現(xiàn)保持兩細線間的夾角不變，將整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動過程中，AC繩的張力F1和BC繩的張力F2大小變化情況是（ ）

A.F2先變大后變小，F(xiàn)1一直變小

B.F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小

C.F1先變小后變大，F(xiàn)2一直變小

D.F2先變小后變大，F(xiàn)1一直變大

解析：首先對M點重物進行初始狀態(tài)的受力分析得到圖3。后期緩慢轉(zhuǎn)動的過程每一個狀態(tài)

都是平衡態(tài)，三力可以構(gòu)成閉合的力的矢量三角形，如圖4。觀察受力，重力不變，其余兩力夾角α不變且α>90°，兩力夾角的補角β＜90°，因此我們將力的矢量三角形放進圓里的時以不變的力——重力為固定的弦，圓周角為兩力夾角的補角β，β＜90°，即劣弧對應(yīng)的圓周角，按照圖4的矢量三角形，定弦G就應(yīng)該放在直徑的右側(cè)。將力的矢量三角形平移進去，畫出圖5。按照題目要求使整個裝置順時針轉(zhuǎn)動90°，分析F1和 F2方向的變化，畫出繩可能處于中間過程對應(yīng)的力的矢量三角形，得到圖6，通過分析表示各力的線段長度的變化，得出各力的大小變化。F1先增大（直徑時最大）后減小，F(xiàn)2一直減小，正確答案選B。

【例題2】半圓柱體P放在粗糙的水平面上，有一個擋板MN，延長線總是過半圓柱體的軸心O，但擋板與半圓柱不接觸，在P和MN之間放一個光滑均勻的小圓柱體Q，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖是這個裝置的截面圖，現(xiàn)用外力使MN繞O點緩慢地順時針轉(zhuǎn)動，在MN到達水平位置前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止，在此過程中，下列說法中正確的是( )

A.MN對Q的彈力逐漸增大 B.MN對Q的彈力先增大后減小

C.P、Q間的彈力先減小后增大 D.Q所受的合力逐漸增大

解析：我們對初始狀態(tài)的Q物體進行受力分析，得到圖8，在MN順時針緩慢移動的過程中，重力保持不變，MN對Q 的彈力F1和P對Q的彈力F2的大小方向都發(fā)生變化，但是這兩個力的夾角保持不變α，分析角α的大小，F(xiàn)1垂直于MN，F(xiàn)2過小球Q的圓心，所以F1，F(xiàn)2的夾角小于90°，則兩力夾角的補角β＞90°。我們將受力分析中的各力移動形成力的矢量三角形，得到圖9，將力的矢量三角形移進圓，以重力為固定的弦，β＞90°，按照圖9的矢量三角形，定弦對應(yīng)優(yōu)弧應(yīng)當(dāng)在直徑的右側(cè)，如圖10，MN順時針移動，畫出各個中間狀態(tài)的力的矢量三角形如圖11，觀察可得MN對Q 的彈力F1一直增大，P對Q的彈力F2一直減小，因此A正確，B，C錯誤。Q所受合力一直為零，不變，故D錯誤。

總結(jié)：通過以上兩個例題，我們得到通過同弧定圓法解決動態(tài)平衡問題中一個力不變，另外兩個力夾角不變的這類題，可以有一下步驟①確定研究對象，對其進行初態(tài)的受力分析②構(gòu)成力的矢量三角形圖③將力的矢量三角形圖畫進定圓中（兩力夾角大于90°則不變力作為定弦對應(yīng)優(yōu)??；兩力夾角小于90°則不變力作為定弦對應(yīng)劣弧，兩力夾角等于90°則不變力作為定弦為直徑）④畫出中間動態(tài)過程可能的力的矢量三角形在教學(xué)過程中，通過以上三個例題引導(dǎo)學(xué)生了解、掌握同弧定圓法，并嘗試用該方法解決一些該類型的題目，達到強化的作用。在解題的過程中體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的思想，拓寬學(xué)生的思維。