秦語真 汪曉勤 余慶純

【摘 要】函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。部分初中教師由于對函數(shù)概念的歷史缺乏了解，掌握的有關(guān)史料有限，對數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的理解不夠到位，因而在實(shí)踐中往往難以在教學(xué)中重構(gòu)函數(shù)概念的發(fā)生和發(fā)展過程，難以讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念從“解析式說”到“變量依賴說”，再到“變量對應(yīng)說”的自然發(fā)展過程，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值。研究者按照“聚焦與準(zhǔn)備”“研討與設(shè)計(jì)”“實(shí)施與評價(jià)”“整理與寫作”的前三個(gè)環(huán)節(jié)，開展初中函數(shù)概念的課例研究。

【關(guān)鍵詞】HPM;函數(shù);重構(gòu)

一、引言

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。德國數(shù)學(xué)家F·克萊因（F.Klein）曾指出：“我確信函數(shù)概念的教學(xué)是學(xué)校的靈魂，以函數(shù)為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它的周圍，進(jìn)行充分的綜合?！盵1] 滬教版初中數(shù)學(xué)教科書采用函數(shù)的“變量依賴說”，而人教版教科書則采用了“變量對應(yīng)說”。在有關(guān)研究者所呈現(xiàn)的函數(shù)HPM課例中，由于時(shí)間的限制，有的教師在課堂上未能實(shí)現(xiàn)從“變量依賴說”到“變量對應(yīng)說”的跨越，也沒有讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)背后的理性精神，數(shù)學(xué)史應(yīng)有的教育價(jià)值未能得到充分體現(xiàn)[2]。如何在教學(xué)中重構(gòu)函數(shù)概念的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念從“解析式說”到“變量依賴說”，再到“變量對應(yīng)說”的自然發(fā)展過程，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值？部分初中教師由于對函數(shù)概念的歷史缺乏了解，掌握的有關(guān)史料有限，對數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的理解不夠到位，因而在實(shí)踐中往往難以有效地解決上述問題。

為此，HPM工作室按照“聚焦與準(zhǔn)備”“研討與設(shè)計(jì)”“實(shí)施與評價(jià)”“整理與寫作”四個(gè)環(huán)節(jié)，開展了初中函數(shù)概念的課例研究。本文根據(jù)前三個(gè)環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)函數(shù)概念的課例形成過程，以期為函數(shù)概念教學(xué)以及初中HPM課例研究提供參考。

二、聚焦與準(zhǔn)備

（一）問題聚焦

函數(shù)概念歷史發(fā)展過程中的障礙也會成為今天學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的認(rèn)知障礙[3]。據(jù)有關(guān)調(diào)查研究表明，初中生對函數(shù)概念的理解傾向于“解析式”，他們對于表格和圖像兩種表達(dá)方式的理解存在困難[4]。針對已有HPM課例中的不足，借鑒其他教學(xué)研究的結(jié)果，本次課例研究將聚焦以下問題。

如何借鑒歷史，從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，讓他們經(jīng)歷函數(shù)概念的發(fā)生和發(fā)展過程？

如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值？

（二）史料搜集

確定要解決的問題后，高校研究者對函數(shù)概念的歷史進(jìn)行了梳理。

早期函數(shù)的概念經(jīng)歷了從17世紀(jì)萊布尼茨（G.W.Leibniz）眼中的“冪”到18世紀(jì)伯努利（John Bernoulli）定義的“代數(shù)運(yùn)算”，再到18世紀(jì)歐拉（L.Euler）定義的“解析式”和“變量依賴關(guān)系”，最后到19世紀(jì)狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）定義的“變量對應(yīng)關(guān)系”[5]1-7（如圖1）。

最初，萊布尼茨認(rèn)為函數(shù)指的是x的冪，但接下來萊布尼茨將曲線上某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長、次切線長、法線長以及次法線長這六個(gè)幾何量稱為函數(shù)[6]。要表達(dá)與冪函數(shù)圖像對應(yīng)的六個(gè)幾何量，需要對冪實(shí)施代數(shù)運(yùn)算，因而導(dǎo)致函數(shù)概念從冪到代數(shù)式的演進(jìn)。1718年，瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（John Bernoulli）將一個(gè)變量的函數(shù)定義為“由該變量和常數(shù)以任何方式組成的量”[7]。

1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）在《無窮分析引論》中進(jìn)一步將一個(gè)變量的函數(shù)定義為“由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析表達(dá)式”[5]1-7。但歐拉所說的表達(dá)式已包括指數(shù)函數(shù)這樣的超越函數(shù)，從而突破了代數(shù)式的局限性。

隨著“弦振動問題”的出現(xiàn)，函數(shù)概念再一次引發(fā)了數(shù)學(xué)家們的思考：把一根兩端固定的彈性弦形變成某種初始狀態(tài)，如何刻畫振動弦在某時(shí)刻的函數(shù)[8]？這個(gè)圖像可以由一個(gè)具體的解析式給出嗎？一般地，一條徒手畫出的任意曲線有解析式嗎？面對這樣的問題，歐拉在《微分基礎(chǔ)》中更新了函數(shù)定義：“如果某些量依賴于另一些量，當(dāng)后面這些量變化的時(shí)候，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。”[5]1-7這就是我們通常所說的“變量依賴說”，滬教版初中數(shù)學(xué)教科書中的定義與此相似，只不過局限于一元函數(shù)。

但新的問題又產(chǎn)生了。若在x的某個(gè)變化范圍內(nèi)，y始終取常數(shù)值，此時(shí)y是否是x的函數(shù)？僅僅根據(jù)“變量依賴說”，是無法回答上述問題的。1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（G.L.Dirichlet）進(jìn)一步擴(kuò)展了函數(shù)概念：“如果對于給定區(qū)間上的每一個(gè)x的值有唯一的y值和它對應(yīng)，那么y就是x的一個(gè)函數(shù)?！盵9]這就是我們通常所說的“變量對應(yīng)說”。該定義被稱為函數(shù)的現(xiàn)代定義，是函數(shù)概念認(rèn)識上的一次飛躍。人教版初中數(shù)學(xué)教科書中的定義與此相似。

盡管狄利克雷給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義，但人們并沒有因此拋棄“解析式說”或“變量依賴說”，畢竟這兩種定義更容易被人理解。19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家德摩根（A.De Morgan）在《代數(shù)學(xué)》，以及美國數(shù)學(xué)家羅密士（E.Loomis）在《代微積拾級》中都仍然采用函數(shù)的“解析式說”。中國數(shù)學(xué)家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力（A.Wylie）在翻譯這兩部著作時(shí)，將“變量”譯為“變數(shù)”，將“包含變數(shù)的表達(dá)式”譯成“函數(shù)”，其中“函”“含”同義[5]1-7。從此，“函數(shù)”一詞在我國一直沿用至今。

（三） 初步設(shè)計(jì)

HPM工作室為執(zhí)教者提供了有關(guān)函數(shù)概念的史料和國內(nèi)已有的函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)。執(zhí)教者在研讀相關(guān)材料之后，結(jié)合教材和學(xué)情分析，擬訂了如下教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過具體實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識變量和常量。

（2）知道用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)看待事物，理解在變化過程中，兩個(gè)變量之間相互依賴的含義，從而理解函數(shù)的概念;知道函數(shù)的自變量以及函數(shù)解析式。

（3）在合作交流中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生遷移類推和概括的能力。

（4）通過對函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展以及引入中國的過程的了解，加深對函數(shù)概念的理解，并感受數(shù)學(xué)文化的魅力。

以下是執(zhí)教者初步的教學(xué)設(shè)計(jì)（見表1）。

三、 研討與設(shè)計(jì)

（一）歷史分析

根據(jù)函數(shù)概念的歷史，可以得到以下教學(xué)啟示。

為了讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“代數(shù)式”到“變量依賴關(guān)系”的過渡，需要他們認(rèn)識那些無法寫出解析式或從圖像上看沒有規(guī)律的函數(shù)。兩個(gè)變量之間只要存在“依賴關(guān)系”，其中的一個(gè)變量就是另一個(gè)變量的函數(shù)。

為了呈現(xiàn)函數(shù)認(rèn)識的歷史相似性，教師需要創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生了解歷史上萊布尼茨、伯努利、歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)家對函數(shù)的不同理解。通過微視頻，讓學(xué)生認(rèn)識函數(shù)概念的演進(jìn)過程，感受數(shù)學(xué)家的理性精神。

（二）交流研討

根據(jù)歷史啟示、教學(xué)目標(biāo)和本次課例研究所聚焦的問題，工作室成員與大學(xué)研究者針對教學(xué)設(shè)計(jì)1展開了交流和研討。在研討中，大家形成以下意見。

（1）問題設(shè)計(jì)層次不夠鮮明，銜接不夠流暢，未能有效呈現(xiàn)函數(shù)概念自然發(fā)生和發(fā)展的過程。

（2）在概念形成環(huán)節(jié)，缺乏對函數(shù)定義的解讀和辨析過程。

（3）問題不夠貼近初中生的生活經(jīng)驗(yàn)。

（4）數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式過于單一，僅有附加式，因而其教育價(jià)值不夠多元。

（5）播放兩段微視頻和一則閱讀材料，不切合課堂實(shí)際，需要合并。

（6）微視頻2“函數(shù)概念的發(fā)展簡史”過于學(xué)術(shù)化，內(nèi)容比較枯燥，不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）改進(jìn)設(shè)計(jì)

根據(jù)研討結(jié)果和歷史啟示，執(zhí)教者對教學(xué)目標(biāo)作了修正，將原有教學(xué)目標(biāo)（4）改為 “了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程，加深對函數(shù)概念的理解，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)文化的魅力”，并從以下幾方面對教學(xué)設(shè)計(jì)1做了改進(jìn)。

在新課探究環(huán)節(jié)，以學(xué)校附近的滴水湖為背景，從表格的角度去研究路程與時(shí)間或速度與時(shí)間的關(guān)系，又以籃球?yàn)槔?，從圖像角度研究位置與時(shí)間的關(guān)系。

刪去微視頻1和閱讀材料。

在概念形成環(huán)節(jié)，增加了對函數(shù)定義中關(guān)鍵詞的分析。

將微視頻2的內(nèi)容改為虛擬的“函數(shù)博物館”。

增加數(shù)學(xué)寫作的課后作業(yè)。

執(zhí)教者最終形成的教學(xué)設(shè)計(jì)如下（見表2）。

從表2可以看出，執(zhí)教者采納了研討活動中形成的意見（2）（3）（5）和（6），并做了相應(yīng)的修正。然而，修正的教學(xué)設(shè)計(jì)并未解決意見（1）和（4）所涉及的問題。

四、實(shí)施與評價(jià)

（一）第一次教學(xué)

執(zhí)教者按照教學(xué)設(shè)計(jì)2進(jìn)行了第一次教學(xué)。教學(xué)前后，對授課班級的學(xué)生進(jìn)行了測試。結(jié)果表明，學(xué)生對于“圖像不規(guī)則或不連續(xù)、無法寫出具體解析式的變量關(guān)系也可以是函數(shù)”這一事實(shí)印象深刻;學(xué)生對于微視頻“函數(shù)博物館”非常感興趣，認(rèn)為了解數(shù)學(xué)家對函數(shù)的認(rèn)識，就像“和他們對話一樣”。

從課后測試結(jié)果來看，不少學(xué)生對于變量之間的對應(yīng)關(guān)系存在誤解，有7名學(xué)生雖認(rèn)為x的一個(gè)值只能對應(yīng)于y的唯一一個(gè)值，但同時(shí)又認(rèn)為y的一個(gè)值也只能對應(yīng)于x的唯一一個(gè)值。

在研究表格中的對應(yīng)關(guān)系時(shí)，有24.2 的學(xué)生認(rèn)為只有能寫出解析式的對應(yīng)關(guān)系才是函數(shù);在研究函數(shù)的圖像依賴關(guān)系時(shí)，有30.3 的學(xué)生認(rèn)為沒有規(guī)律的圖像所表示的并不是函數(shù)。

執(zhí)教者針對第一次教學(xué)進(jìn)行了反思，認(rèn)為本節(jié)課存在以下幾個(gè)問題。

（1）由例題直接過渡到函數(shù)概念的過程不夠自然，學(xué)生不能很好理解函數(shù)概念;

（2）微視頻對于學(xué)生理解函數(shù)概念的作用不大;

（3）學(xué)生不能很好地將表格和圖像與函數(shù)的定義相結(jié)合;

（4）交流研討中形成的意見（1）和意見（4）并未得到解決。

（二） 第二次教學(xué)

根據(jù)第一次教學(xué)的反饋和反思，執(zhí)教者對教學(xué)目標(biāo)做了進(jìn)一步修正，將（1）改為“掌握變量與常量的概念”;在（2）中增加“經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程”;刪去（3）“在合作交流中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生遷移類推和概括的能力”。執(zhí)教者還對教學(xué)設(shè)計(jì)2做了以下改進(jìn)。 在課堂中，繪制一些“形狀奇怪”“沒有規(guī)律”的圖像，幫助學(xué)生理解函數(shù)定義。

執(zhí)教者根據(jù)以上改進(jìn)，最終形成教學(xué)設(shè)計(jì)3。從教學(xué)設(shè)計(jì)3可以看出，執(zhí)教者根據(jù)自己對第一次教學(xué)的反思，對教學(xué)設(shè)計(jì)2做了相應(yīng)的改進(jìn)。針對研討活動中形成的意見（1）和意見（4），通過將學(xué)生對于函數(shù)認(rèn)識與歷史上數(shù)學(xué)家的定義進(jìn)行對照，在一定程度上讓學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)概念的演進(jìn)過程，但問題之間的銜接依然不夠流暢，數(shù)學(xué)史的價(jià)值（如德育價(jià)值）體現(xiàn)得仍不夠充分。

按照教學(xué)設(shè)計(jì)3，執(zhí)教者實(shí)施了第二次教學(xué)，課后對教學(xué)進(jìn)行了深刻的反思，從以下幾方面對教學(xué)設(shè)計(jì)3做出改進(jìn)（見表3）。

（三）第三次教學(xué)

根據(jù)第二次教學(xué)的反饋和反思，執(zhí)教者對教學(xué)設(shè)計(jì)3做了進(jìn)一步修正，形成教學(xué)設(shè)計(jì)4（見表4）。

按照教學(xué)設(shè)計(jì)4，執(zhí)教者實(shí)施了第三次教學(xué)。在新課探究環(huán)節(jié)，將畫面轉(zhuǎn)到滴水湖，探究速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系，完善學(xué)生對常量和變量的認(rèn)識，使銜接更為自然。在概念形成環(huán)節(jié)，執(zhí)教者首先展示全班學(xué)生的課前測試結(jié)果，并告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)家對于函數(shù)的認(rèn)識也是不盡相同的。然后，執(zhí)教者播放微視頻，依次給出歷史上數(shù)學(xué)家對函數(shù)的不同定義。最后，執(zhí)教者在黑板上依次畫出與歷史上函數(shù)定義相對應(yīng)的圖像，讓學(xué)生體會函數(shù)定義不斷演進(jìn)的過程（如圖2）。

教師將學(xué)生課前測試中對函數(shù)概念的認(rèn)識與數(shù)學(xué)家的函數(shù)定義對應(yīng)起來：“一種運(yùn)算方式”“代數(shù)式”和伯努利的定義相似;“圖像”“解析式”與歐拉的第一個(gè)定義相仿; “常值函數(shù)”恰好符合狄利克雷的定義。教師通過古今對照，讓學(xué)生了解函數(shù)概念，經(jīng)歷從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”，再到“變量對應(yīng)關(guān)系”的過程。

（四）學(xué)生反饋

第三次教學(xué)之后，執(zhí)教者從認(rèn)知和情感兩個(gè)維度對授課班級的40名學(xué)生進(jìn)行了課前測試和課后測試。結(jié)果表明，課前學(xué)生對函數(shù)概念的理解大都局限于具體的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)以及解析式;而課后學(xué)生普遍達(dá)到“依賴關(guān)系”和“對應(yīng)關(guān)系”的水平。關(guān)于表格中的“變量對應(yīng)關(guān)系”，課前學(xué)生的正確率是20 ，課后正確率達(dá)到了85 。關(guān)于圖像中的“依賴關(guān)系”，課前學(xué)生的正確率是12.5 ，而課后正確率達(dá)到了95 。關(guān)于圖像中的“對應(yīng)關(guān)系”，課前學(xué)生的正確率是17.5 ，而課后正確率達(dá)到了97.5 。在圖像為離散點(diǎn)的情形中，課前學(xué)生的正確率為5 ，課后正確率達(dá)到了 97.5 ，說明學(xué)生從表格和圖像方面對函數(shù)概念有了較好的理解。

課后測試卷增加了兩個(gè)問題，第一個(gè)問題是讓學(xué)生說一說對本節(jié)課中印象最深刻的內(nèi)容。22名學(xué)生提到“函數(shù)博物館”微視頻，他們認(rèn)為通過微視頻，可以與數(shù)學(xué)家進(jìn)行思想碰撞;明白數(shù)學(xué)是要經(jīng)過不斷推敲而得到的;函數(shù)定義不斷演進(jìn)的過程符合他們的認(rèn)知規(guī)律。有的學(xué)生還提出：“如果處于那個(gè)時(shí)代，我們也會有這樣的發(fā)現(xiàn)”;“時(shí)代造英雄，時(shí)代不斷推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展”。有12名學(xué)生原以為“連續(xù)的”“好看的”“有規(guī)律的”才是函數(shù)，是函數(shù)定義顛覆了他們以前的認(rèn)識。

第二個(gè)問題是讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)史的六類價(jià)值來談本節(jié)課的收獲。關(guān)于知識之諧，學(xué)生認(rèn)為從生活實(shí)例引入，再由解析式到圖像，過程自然，將代數(shù)和幾何聯(lián)系在一起，使認(rèn)識更加全面。關(guān)于探究之樂，學(xué)生認(rèn)為他們提出的函數(shù)一定是連續(xù)的，一定具有規(guī)律，雖然后面都被否定了，但是他們經(jīng)歷了思考的過程，并探究了函數(shù)定義的關(guān)鍵詞，明白了“確定的依賴關(guān)系”的內(nèi)涵。關(guān)于方法之美，學(xué)生認(rèn)為判斷函數(shù)的方法十分簡潔。關(guān)于能力之助，學(xué)生認(rèn)為提高了數(shù)形結(jié)合和思辨的能力。關(guān)于文化之魅，學(xué)生通過“函數(shù)博物館”的微視頻，了解歷史上數(shù)學(xué)家給出的函數(shù)定義，并感受歷史相似性。關(guān)于德育之效，學(xué)生有了堅(jiān)定的數(shù)學(xué)信念，認(rèn)為生活中處處有數(shù)學(xué)，同時(shí)也認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是隨著時(shí)代的發(fā)展而不斷演進(jìn)的，反映出動態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

（五）同行評議

第三次教學(xué)之后，工作室教師和高校研究者對本課進(jìn)行了點(diǎn)評。與已有HPM教學(xué)設(shè)計(jì)相比，本節(jié)課做了頗多的創(chuàng)新。一是將課前測試結(jié)果與歷史上數(shù)學(xué)家的函數(shù)定義進(jìn)行對照;二是課后作業(yè)采取數(shù)學(xué)寫作的形式，有助于及時(shí)捕捉學(xué)生的所思所想;三是突破了滬教版教材中的“變量依賴說”，引領(lǐng)學(xué)生跨越到“變量對應(yīng)說”;四是播放微視頻，并將函數(shù)概念的發(fā)展諸階段用相應(yīng)的圖像展示出來。同時(shí)，執(zhí)教者在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生說出自己對函數(shù)的理解，不斷糾正他們不正確的認(rèn)知，鼓勵(lì)他們繼續(xù)探索函數(shù)的定義，培育了學(xué)生的探究精神，滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科德育。

同時(shí)，工作室教師指出本節(jié)課存在一定的難度，對學(xué)生的認(rèn)知水平要求較高。執(zhí)教者授課班級學(xué)生理解能力較好，將其放入其他層次的班級進(jìn)行教學(xué)不具有推廣性。

（六）教師反思

第三次教學(xué)之后，執(zhí)教者對函數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行了以下反思。

1.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂要自然。要讓數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)概念的講解提供依托，使學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解過程更為自然。

2.教學(xué)形式應(yīng)多樣化。在課堂上播放微視頻，吸引了學(xué)生的注意，而單一的板書講解，很難讓學(xué)生理解函數(shù)的抽象概念。

3.數(shù)學(xué)課堂應(yīng)重視和生活之間的聯(lián)系。要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有用的，而不是脫離生活實(shí)際的。將函數(shù)與生活中的路程、時(shí)間等問題結(jié)合，可以拉近函數(shù)概念和學(xué)生之間的距離。

4.數(shù)學(xué)是有德育價(jià)值的。教師要在數(shù)學(xué)課堂上讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)家的理性精神，激勵(lì)他們像數(shù)學(xué)家一樣積極探究和思考，追求真、善、美。

五、結(jié)語

在本次課例研究中，函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)前后經(jīng)過了三次改進(jìn)和三次實(shí)施，所聚焦的問題基本上得到了解決：通過對學(xué)生的課前測試，尋找學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)知起點(diǎn);通過現(xiàn)實(shí)生活中的例子，呈現(xiàn)函數(shù)的“解析式”“變量依賴關(guān)系”和“變量對應(yīng)關(guān)系”三種內(nèi)涵;通過HPM微視頻，展示了函數(shù)概念從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”再到“變量對應(yīng)關(guān)系”的演進(jìn)過程;通過古今對照，讓學(xué)生以“概念建構(gòu)者”的身份經(jīng)歷函數(shù)概念的自然發(fā)展過程;函數(shù)概念的歷史不僅幫助學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，樹立動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，而且讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)背后的理性精神。美中不足的是，執(zhí)教者未能采用重構(gòu)式展開教學(xué)，在問題串的設(shè)計(jì)上仍有很大的改進(jìn)空間。

從本次課例研究中，我們得到以下啟示。

首先，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征之一是為學(xué)生提供探究機(jī)會，讓他們經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展過程，教師可以采用“古今對照”的策略，讓學(xué)生“穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對話”，既親近數(shù)學(xué)，又加深對數(shù)學(xué)的理解。

其次，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式，其中重構(gòu)式是揭示知識發(fā)生和發(fā)展過程的最佳方式。在運(yùn)用重構(gòu)式時(shí)，教師首先需要把握有關(guān)主題歷史發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)以及從一個(gè)環(huán)節(jié)到下一個(gè)環(huán)節(jié)的動因，然后設(shè)計(jì)一系列由易到難、層層遞進(jìn)的問題，再現(xiàn)主題的歷史發(fā)展。

最后，數(shù)學(xué)史的“德育之效”，在教學(xué)中未必可以自然達(dá)成，需要教師明確的“點(diǎn)撥”。教師可以通過呈現(xiàn)歷史相似性，提升學(xué)生的自信心;或讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)史對自己的思想啟迪，感悟數(shù)學(xué)背后的理性精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]COONEY T J，WILSON M R.Teachers thinking about functions：historical and research perspectives [M].Hillsdale：Lawrence Erlbuam Association Publishers，1993.

[2]方倩，楊泓.HPM視角下的初中函數(shù)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（11）：40-43.

[3]任明俊，汪曉勤.中學(xué)生對函數(shù)概念的理解：歷史相似性初探[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（4）：84-87.

[4]陳燁.針對初中函數(shù)學(xué)習(xí)困難的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2013.

[5]汪曉勤.19世紀(jì)中葉以前的函數(shù)解析式定義[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015 （5）：1-7.

[6]杜石然.函數(shù)概念的歷史發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1961（6）：36-40.

[7]鐘萍，汪曉勤.函數(shù)概念：基于歷史相似性自然過渡[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)）， 2016（2）：62-68.

[8]劉思璐，汪曉勤，沈中宇.HPM視角下的高中函數(shù)概念課例研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2019（1/2）：37-41.

[9]黃深洵，劉思璐，沈中宇.HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（9）：53-56.