朱東海

(云南省蒙自市第一高級(jí)中學(xué) 661199)

在本刊2016年第34期、2018年第10期、2019年第13期中，我們分別談了一元函數(shù)不等式、二元函數(shù)不等式和與零點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)不等式的證明方法，本文中我們來(lái)看如何構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式.

一、項(xiàng)與項(xiàng)之間的不等關(guān)系

對(duì)項(xiàng)與項(xiàng)之間的不等關(guān)系可以先將不等式變形后，直接把正整數(shù)n換成x,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式來(lái)證明.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)m>0，求f(x)在區(qū)間[m,2m]上的最大值；

解(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+)，

所以函數(shù)f(x)在(0,e]上單調(diào)遞增，在[e,+)上單調(diào)遞減.

(3)由①知，當(dāng)x∈(0,+)時(shí)，所以在(0,+)上，恒有即且當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立.

因此，對(duì)?x∈(0,+)，恒有

二、數(shù)列的前n項(xiàng)的和與f(n)的不等關(guān)系

1.f(n)不是常數(shù)

若f(n)不是常數(shù)，則把f(n)看成數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再用作差或?qū)?shù)等方法證明an與bn的大小關(guān)系，最后累加就能得出結(jié)論.

而n≥2時(shí)

令f(x)=3x+2-2x(x+1)(x≥2)，則有f′(x)=3xln3-4x-2>3x-4x-2.再設(shè)

g(x)=3x-4x-2(x≥3)，g′(x)=3xln3-4>3x-4>0(x≥3)，

∴g(x)在[3,+)是增函數(shù).但g(3)=13,因此當(dāng)x≥3時(shí)，g(x)>0,

也就是說(shuō)當(dāng)x≥3時(shí)，f′(x)=3xln3-4x-2>g(x)>0，f(x)在[3,+)是增函數(shù)，

∵f(3)=25，當(dāng)x≥3時(shí)∴f(x)>0，即n≥3時(shí)an>bn.

∴a1+a2>b1+b2.

又當(dāng)n≥3時(shí)an>bn,

在證明an與bn的大小關(guān)系時(shí)，若能變形，則先變形后再證明.

當(dāng)n≥2時(shí),bn=1+ln(n+1)-ln(n+2)，我們只需證明當(dāng)n≥2時(shí)an

令f(x)=ln(1+x)-x(x>0),

而f(0)=ln1-0=0，∴當(dāng)x>0時(shí)ln(1+x)

2.若f(n)是常數(shù)

若f(n)是常數(shù)，則利用當(dāng)n取第一個(gè)數(shù)時(shí)，不等式兩邊之差來(lái)加強(qiáng)不等式，再用上述方法證明.

例3 (2008年遼寧高考題第二問(wèn))已知an=n(n+1),bn=(n+1)2(n∈N*)，

∵(n+1)(2n+1)-(n+2)(n+3)=n2-2n-5=(n-1)2-6,

三、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積與f(n) 的不等關(guān)系

對(duì)于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積與f(n) 的不等關(guān)系的證明的一般方法是，把f(n)看成數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的積，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再借助作差或?qū)?shù)等辦法來(lái)比較an與bn的大小.

而當(dāng)n≥3時(shí),

∴a4>b3,a5>b4,…,an>bn-1.又a3>an+1>bn,

∴a2>T2,則有a2a3…an>T2b3…bn.