黃興仲

(廣東省梅州市豐順縣黃金中學(xué) 514357)

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，作為高中常見的運(yùn)動(dòng)類型，在復(fù)習(xí)時(shí)，通常會(huì)介紹兩個(gè)一般模型：繩——球模型與桿——球模型.小球要?jiǎng)偤米鐾暾膱A周運(yùn)動(dòng)，前者的臨界條件為到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小球的重力恰好提供向心力，后者為桿對(duì)小球的支持力恰好等于重力.

一、最高點(diǎn)為臨界狀態(tài)的原因

以繩——球模型為例，當(dāng)小球從最低點(diǎn)以較大的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，則要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，必然要達(dá)到最高點(diǎn)，而從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)下去時(shí)(如圖1)，由于A、B兩點(diǎn)位于同一高度，因而由對(duì)稱性可知，此時(shí)小球若能達(dá)到A點(diǎn)，也即是可到達(dá)B點(diǎn)，即是說明只要小球能夠通過最高點(diǎn)，則說明小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng).

然而一旦加上一些外在條件的限制，最高點(diǎn)則未必就是臨界狀態(tài).

二、繩子的拉力有限制

當(dāng)繩子的拉力有限制時(shí)，繩子對(duì)小球的拉力的最大值出現(xiàn)在下半圓中，此時(shí)最高點(diǎn)則不是所需要的臨界狀態(tài).

假設(shè)繩子拉力存在上限值Tm時(shí)，對(duì)小球進(jìn)行受力分析(如圖2)，在徑向上：

假設(shè)最高點(diǎn)的速度為v0，則從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

由以上兩式聯(lián)立可得

若α=0°即最低點(diǎn)時(shí)，此時(shí)繩子的拉力達(dá)到最大為

例1一根長度為l的輕繩，一端固定在某點(diǎn)O，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球.若小球恰好過最高點(diǎn)，而輕繩所能承受的最大拉力為6mg.則小球下落過程中將在何處輕繩被拉斷？

三、考慮豎直分力

在某些特殊的情景中，需要考慮彈力的豎直分力問題，如常見的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)與底座的問題.

例2 質(zhì)量為M的支架(包含底座)上有一水平細(xì)軸，軸上套有一長為L的輕質(zhì)細(xì)線，繩的另一端拴一質(zhì)量為m(可視為質(zhì)點(diǎn))的小球，如圖3.現(xiàn)使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球在運(yùn)動(dòng)過程中底座恰好不離開地面、且始終保持靜止.忽略一切阻力，重力加速度為g.則( ) .

A.小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)底座對(duì)地壓力最大

B.小球運(yùn)動(dòng)過程中地面對(duì)底座始終無摩擦力

C.小球運(yùn)動(dòng)至右邊與O點(diǎn)等高時(shí)，地面對(duì)底座的摩擦力向左

D.小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線拉力大小為Mg

答案：CD

其解析在最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的豎直拉力達(dá)到最大，即在此時(shí)底座的壓力達(dá)到最小，結(jié)合本題可知此時(shí)壓力為0，因而A錯(cuò)誤D正確；當(dāng)小球不在豎直線時(shí)，細(xì)線對(duì)底座的拉力在水平方向上有分力，由于底座始終靜止，所以地面對(duì)底座有摩擦力作用，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至右邊與O點(diǎn)等高時(shí)，細(xì)線對(duì)底座的拉力水平向右，故地面對(duì)底座的摩擦力水平向左，因而B錯(cuò)誤C正確.

分析在此題中，只是想當(dāng)然地認(rèn)為圓周運(yùn)動(dòng)中圓軌道的最高點(diǎn)就是豎直分力最大的位置，但實(shí)際不一定是這樣，以下為證明過程：

如圖4，假設(shè)細(xì)線與豎直方向夾角為α?xí)r，小球速度為v，則

假設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為v0，則從最低點(diǎn)到A點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立以上兩式，可得

其豎直分量為

當(dāng)α∈(0°,90°]時(shí)，小球不在最高點(diǎn)，但此時(shí)Ty最大，此時(shí)需要滿足的條件為

四、外加勻強(qiáng)電場

此類題型的解法往往采用等效重力法，將重力場中豎直圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題類比到等效重力場中，從而更好實(shí)現(xiàn)問題的解決.

例3 如圖5所示，一條長為L的細(xì)線上端固定，下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的電荷量為q的小球，將它置于方向水平向右的勻強(qiáng)電場中，使細(xì)線豎直拉直時(shí)將小球從A點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)細(xì)線離開豎直位置偏角α=60°時(shí)，小球速度為0.求：

(1)電場強(qiáng)度E.

(2)若小球恰好完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)，求從A點(diǎn)釋放小球時(shí)應(yīng)有的初速度vA的大小(可含根式).

從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：

五、脫軌問題

圓周運(yùn)動(dòng)中物體不脫離軌道，可分為以下情況：

1.內(nèi)軌運(yùn)動(dòng)

(1)在圓心水平面下方：此時(shí)的臨界條件為最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力和恰好到達(dá)圓心等高處；

(2)在圓心水平面上方：軌道對(duì)物體的彈力恰好為0；

2.外軌運(yùn)動(dòng)

(1)頂端下滑：此時(shí)的臨界條件為最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力和軌道對(duì)物體的彈力為0；

(2)頂端上滑：此時(shí)的臨界條件為在起拋點(diǎn)軌道對(duì)物體的彈力恰好為0 .

例4如圖6所示，輪半徑r=40 cm的傳送帶，水平部分AB的長度L=1.5 m，與一圓心在O點(diǎn)半徑R=1 m的豎直光滑圓軌道的末端相切于A點(diǎn)，AB高出水平地面H=1.25 m.一質(zhì)量m=0.1 kg的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，由圓軌道上的P點(diǎn)從靜止釋放，OP與豎直線的夾角θ=37°.已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2，滑塊與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，不計(jì)空氣阻力.

(1)求滑塊對(duì)圓軌道末端的壓力.

(2)若傳送帶一直保持靜止，求滑塊的落地點(diǎn)與B間的水平距離.

解(1)略.

(2)從A到B，根據(jù)動(dòng)能定理得：

其中第(1)問中求得vA=2 m/s

代入數(shù)據(jù)解得vB=1 m/s

從B點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

從C點(diǎn)脫離后，在水平方向上x=vCcosα·t

在豎直方向上

聯(lián)立以上各式，代入數(shù)據(jù)即可解得(因數(shù)據(jù)過大，此處不做詳解).