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2020-1 圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m，以向前的水平速度和相應(yīng)于回滾方向的角速度與水平地面接觸。接觸時(shí)，圓環(huán)與其移動(dòng)速度在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)。圓環(huán)和地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f，滾動(dòng)摩阻不計(jì)。問：

(1) 在什么條件下圓環(huán)會(huì)回滾？

(2) 在何時(shí)何處開始作純滾動(dòng)，角速度是多少？

(3) 在什么條件下，回滾的圓環(huán)正好在著地時(shí)開始作純滾動(dòng)？

(供稿：薛聿瀧)

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*《小問題》2019-5解答*

問題：如圖1所示，兩個(gè)小球構(gòu)成3自由度的機(jī)構(gòu)，鉸鏈O 可以繞豎直軸z 軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，直角彎桿與鉸鏈鉸接，可繞過O 點(diǎn)的x 軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，小球A 固定在彎桿的末端，小球B 由直桿約束繞O′A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。鉸鏈的質(zhì)量和尺寸均忽略不計(jì)，各桿均為輕桿，直桿和直角彎桿兩段的長(zhǎng)度均為a，兩小球質(zhì)量均為m。

(1)在圖1所示位置，小球A的坐標(biāo)為(0,a,-a)，小球B 的坐標(biāo)為(a,a,-a)，求系統(tǒng)由靜止釋放時(shí)，施加給系統(tǒng)的約束反力；

(2)試求此系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置；

(3)試求此系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近微幅擺動(dòng)的線性微分方程。

(供稿：寶音賀西，清華大學(xué)航天航空學(xué)院)

圖1

解答：(1)如題圖所示的初始狀態(tài)建立慣性坐標(biāo)系，則在此慣性坐標(biāo)系中，小球A 的位置由繞z 軸和x軸的轉(zhuǎn)角α，β，小球B 的位置由繞O′A 的轉(zhuǎn)角γ 描述。建立隨直角彎桿轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系OXY Z，此坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為A。

設(shè)初始時(shí)懸掛點(diǎn)處的約束力為NO= NOxi+NOyj + NOzk，約束力矩為MO= Mj，其中i，j，k 為慣性坐標(biāo)系x，y，z 方向的單位矢量。設(shè)AB 輕桿對(duì)小球作用力為N，由輕桿約束條件可得，初始時(shí)此作用力在z 方向的分量Nz= 0。設(shè)小球A 的位置矢量為rA，小球B 的位置矢量為rB，在OXY Z 坐標(biāo)系以列陣表示為A = [0,a,-a]T、B= [a cos γ,a,-a-a sin γ]T，進(jìn)一步利用矩陣A即得到慣性系中表達(dá)式。初始時(shí)，對(duì)小球A和B 位置矢量求導(dǎo)可得

則由小球A對(duì)O 點(diǎn)的角動(dòng)量定理得

對(duì)小球A列牛頓第二定律得

對(duì)小球B 列牛頓第二定律得

聯(lián)立式(1)～式(4)，可解得

(2)由小球A 和B 在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量得到二者z 方向的位置，即

則系統(tǒng)的勢(shì)能為

系統(tǒng)的平衡位置為勢(shì)能的極值點(diǎn)，求導(dǎo)得

解得平衡點(diǎn)(α取任意值)依次為

進(jìn)一步由勢(shì)能對(duì)γ和β的Hessian矩陣正定性判定穩(wěn)定平衡位置為(3)由小球A和B的速度在OXY Z坐標(biāo)系下的列陣表示為

因此系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

根據(jù)第二類拉格朗日方程，且選取廣義坐標(biāo)q1=α，q2=β-β0，q3=γ-γ0，系統(tǒng)做微幅擺動(dòng)時(shí)廣義速度均為小量，解得

進(jìn)一步整理得線性微分方程為