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2020-1 圓環(huán)半徑為r,質(zhì)量為m,以向前的水平速度和相應(yīng)于回滾方向的角速度與水平地面接觸。接觸時(shí),圓環(huán)與其移動(dòng)速度在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)。圓環(huán)和地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f,滾動(dòng)摩阻不計(jì)。問:
(1) 在什么條件下圓環(huán)會(huì)回滾?
(2) 在何時(shí)何處開始作純滾動(dòng),角速度是多少?
(3) 在什么條件下,回滾的圓環(huán)正好在著地時(shí)開始作純滾動(dòng)?
(供稿:薛聿瀧)
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*《小問題》2019-5解答*
問題:如圖1所示,兩個(gè)小球構(gòu)成3自由度的機(jī)構(gòu),鉸鏈O 可以繞豎直軸z 軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),直角彎桿與鉸鏈鉸接,可繞過O 點(diǎn)的x 軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),小球A 固定在彎桿的末端,小球B 由直桿約束繞O′A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。鉸鏈的質(zhì)量和尺寸均忽略不計(jì),各桿均為輕桿,直桿和直角彎桿兩段的長度均為a,兩小球質(zhì)量均為m。
(1)在圖1所示位置,小球A的坐標(biāo)為(0,a,-a),小球B 的坐標(biāo)為(a,a,-a),求系統(tǒng)由靜止釋放時(shí),施加給系統(tǒng)的約束反力;
(2)試求此系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置;
(3)試求此系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近微幅擺動(dòng)的線性微分方程。
(供稿:寶音賀西,清華大學(xué)航天航空學(xué)院)
圖1
解答:(1)如題圖所示的初始狀態(tài)建立慣性坐標(biāo)系,則在此慣性坐標(biāo)系中,小球A 的位置由繞z 軸和x軸的轉(zhuǎn)角α,β,小球B 的位置由繞O′A 的轉(zhuǎn)角γ 描述。建立隨直角彎桿轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系OXY Z,此坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為A。
設(shè)初始時(shí)懸掛點(diǎn)處的約束力為NO= NOxi+NOyj + NOzk,約束力矩為MO= Mj,其中i,j,k 為慣性坐標(biāo)系x,y,z 方向的單位矢量。設(shè)AB 輕桿對小球作用力為N,由輕桿約束條件可得,初始時(shí)此作用力在z 方向的分量Nz= 0。設(shè)小球A 的位置矢量為rA,小球B 的位置矢量為rB,在OXY Z 坐標(biāo)系以列陣表示為A = [0,a,-a]T、B= [a cos γ,a,-a-a sin γ]T,進(jìn)一步利用矩陣A即得到慣性系中表達(dá)式。初始時(shí),對小球A和B 位置矢量求導(dǎo)可得
則由小球A對O 點(diǎn)的角動(dòng)量定理得
對小球A列牛頓第二定律得
對小球B 列牛頓第二定律得
聯(lián)立式(1)~式(4),可解得
(2)由小球A 和B 在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量得到二者z 方向的位置,即
則系統(tǒng)的勢能為
系統(tǒng)的平衡位置為勢能的極值點(diǎn),求導(dǎo)得
解得平衡點(diǎn)(α取任意值)依次為
進(jìn)一步由勢能對γ和β的Hessian矩陣正定性判定穩(wěn)定平衡位置為(3)由小球A和B的速度在OXY Z坐標(biāo)系下的列陣表示為
因此系統(tǒng)的動(dòng)能為
系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為
根據(jù)第二類拉格朗日方程,且選取廣義坐標(biāo)q1=α,q2=β-β0,q3=γ-γ0,系統(tǒng)做微幅擺動(dòng)時(shí)廣義速度均為小量,解得
進(jìn)一步整理得線性微分方程為