劉延柱

(上海交通大學工程力學系，上海200240)

2016 年Google 宣布已造出能自動行駛的無人自行車，引起不小的轟動。但隨后聲稱只是個愚人節(jié)玩笑。此前有報導稱，2011 年荷蘭Delft 大學的Kooijman 曾制造出無人自行車。但他的實驗對象是特殊設計的小車，與常規(guī)的自行車截然不同[1]。2015年，清華大學自動化系學生在趙明國老師指導下造出了真正的自平衡無人自行車，在全國虛擬儀器大賽中獲得唯一的特等獎。2017 年在美國奧斯汀的NI WEEK 2017 大會中展示，入圍NI Engineering Impact Awards，受到科技界的極大關注[2]。

關于自行車穩(wěn)定性問題的討論已延續(xù)了兩百多年。早在19 世紀提出的離心力效應至今仍是自行車穩(wěn)定性的經(jīng)典解釋。車輪的陀螺效應有助于自行車的穩(wěn)定，但1971 年英國人Jones[3]的實驗證實陀螺效應的影響極其微弱，其作用遠不如與前輪接觸點有關的腳輪效應。1982 年，英國人Lowell 和McKell建立的自行車數(shù)學模型考慮了離心力效應、陀螺效應和腳輪效應等所有因素，還增加了前叉轉(zhuǎn)角隨車身側向傾斜角變化的簡單控制規(guī)律。基于此模型導出的特征根存在正實部，數(shù)值計算也得出振幅不斷增大的不穩(wěn)定振蕩的運動軌跡。表明即使考慮所有穩(wěn)定因素且增加對前叉的自動控制，也不能使自行車保持穩(wěn)定[4-5]。

如上所述，自穩(wěn)定無人自行車已在近期內(nèi)成功實現(xiàn)。上述不穩(wěn)定性的分析結論已被實踐徹底否定。實際上憑常識也能判斷，自行車能否穩(wěn)定的重要因素是駕車人的控制技巧。關鍵在于，控制規(guī)律是否真正體現(xiàn)人的駕車技術。本文仍采用相同的數(shù)學模型，僅對控制規(guī)律作一些修改，對自行車自穩(wěn)定性問題繼續(xù)做些探討。

將自行車視為由車架、前叉和前后輪組成的剛體系。設O1和O2為后輪和前輪與地面的接觸點，以O1為原點建立參考坐標系(O1-xyz)，其中x軸沿O1O2，y軸為垂直軸。設繞軸逆時針轉(zhuǎn)過θ角后的位置為(O1-x1y1z1)，(x1,y1)為車架平面。設O1與O2的距離為a，質(zhì)心Oc的直立高度為h，在x軸上的投影與O1的距離為b。設車架隨O1點以速度v沿x軸勻速平動(圖1)，前輪偏角ψ的出現(xiàn)使自行車轉(zhuǎn)為曲線運動(圖2)。圖中O為曲率中心，R=a/ψ為曲率半徑。近似將車體的全部質(zhì)量m集中在Oc點，僅保留θ和φ的一次項，列寫車體在重力mg和離心力mv2/R作用下繞水平軸x轉(zhuǎn)動的動力學方程。引入?yún)?shù)α=bv/ha,β=v2/ga,γ=g/h，寫作

列寫前叉與前輪的組合件繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動力學方程時，為簡化數(shù)學推導，仍按文獻[4]中的假定將傾斜的前叉轉(zhuǎn)軸y*拉直，使與O1O2正交。將(O1-x1y1z1)的原點移至O2，繞y1軸順時針轉(zhuǎn)過ψ角后的位置為(O2-x2y2z2)。其中y2軸平行于前叉轉(zhuǎn)軸y*，x2軸沿輪緣在O2點處的切線，(x2,y2)為前叉的對稱平面。考慮地面在O1和O2處對車體和前叉施加沿z1和z2軸的摩擦力與離心力平衡。且考慮前叉轉(zhuǎn)軸y*與地面的交點O*與O2點不重合的距離Δ形成的腳輪效應(圖3)。設車架與前叉之間存在繞轉(zhuǎn)軸y*的阻尼力矩

其中C為黏性摩擦系數(shù)。考慮控制系統(tǒng)的作用，將陀螺儀量測到的車體側向傾斜角θ和角速度˙θ的信息輸入電機，產(chǎn)生繞前叉轉(zhuǎn)軸的控制力矩Mcy，控制規(guī)律為

其中Jy為前叉連同前輪繞轉(zhuǎn)軸y*的慣量矩。引入?yún)?shù)μ=mgbΔ/(Jya)，c=C/Jy，列出前叉的動力學方程

方程(1)和(4)的具體推導過程可參閱文獻[4-5]。僅對文獻中的動力學方程略去影響微弱的陀螺力矩，增加了阻尼力矩Mdy和控制力矩Mcy。

圖1 參考坐標系

圖2 運動軌跡的曲率半徑

圖3 前叉轉(zhuǎn)軸與前輪觸地點

方程組(1), (4)的特征方程為

其中的系數(shù)定義為

利用Hurwitz 判據(jù)判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所有系數(shù)為正值是方程組(1)和(4)零解漸近穩(wěn)定的必要條件。此條件要求控制系數(shù)k1和k2滿足

如a1a2-a3＞0條件也滿足，即

則漸近穩(wěn)定性充分成立。在c/= 0，k2/= 0 條件下，借助控制系數(shù)k1和k2的調(diào)整可使上述諸條件均得到滿足。從而證實無人自行車直立行駛狀態(tài)存在漸進穩(wěn)定性的可能性。

以上分析表明，利用對前叉的自動控制，實現(xiàn)無人自行車直立行駛的穩(wěn)定性在理論上并無問題。但必須考慮前叉轉(zhuǎn)軸的阻尼因素，且控制規(guī)律中除車體傾斜的角度信息以外，還必須計入角速度信息。Lowell 和McKell 的論文未考慮上述因素，才導致不穩(wěn)定的計算結果[4-5]。

直立穩(wěn)定性只是無人自行車的關鍵問題之一。要真正實現(xiàn)無人自行車，還必須攻克轉(zhuǎn)彎、過障礙、跟蹤等許多技術難關。清華大學的老師和學生們不畏艱難，堅持不懈，終于造出了無人駕駛自行車，震驚了世界，也開啟了自行車發(fā)展史的新階段。