王開福

(南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院，南京210016)

問題剛架如圖1 所示，垂直桿AB和CD的彎曲剛度均為EI，長度均為l，水平桿BC的彎曲剛度為E1I1，長度為l1，A和D處固定鉸支，B和C處剛性連接。已知?jiǎng)偧蹷和C處分別受垂直向下的集中力F作用，假設(shè)AB和CD均為細(xì)長壓桿，試求剛架臨界載荷Fcr。

圖1

解答與本題相同或相似的剛架穩(wěn)定問題在材料力學(xué)參考書中常會(huì)出現(xiàn)，然而這些參考書給出的解答通常不夠完善，甚至還有錯(cuò)誤，尤其是沒有得到最終結(jié)果。

事實(shí)上，本題是非常典型的壓桿穩(wěn)定問題，正確求解本題對學(xué)生深刻理解壓桿穩(wěn)定概念和熟練掌握壓桿穩(wěn)定計(jì)算具有重要意義。為此，本文將對剛架穩(wěn)定問題進(jìn)行深入探討和詳細(xì)分析。

假設(shè)剛架在臨界載荷作用下處于微彎狀態(tài)而平衡，如圖2所示。根據(jù)靜力平衡條件，得

式中，δ為節(jié)點(diǎn)B和C的水平位移。通過求解上述方程，得到剛架在A和D處的反力

考慮垂直桿AB(垂直桿CD可作相同分析)，設(shè)截面x處撓度為w，如圖2 所示，則截面x處彎矩可表示為[1-2]

上式分別代入相應(yīng)撓曲線近似微分方程[1-2]

式(6)通解可寫為

圖2

式中，C1和C2為常數(shù)，可通過邊界條件確定。當(dāng)x= 0 時(shí)，有w|x=0= 0，由此得C2= 0；當(dāng)x=l時(shí)，有w|x=l=-δ，由此得C1=-δ/(sinkl)。因此式(7)可重寫為

剛架在臨界載荷作用下處于微彎狀態(tài)而平衡，則水平桿BC將發(fā)生彎曲變形，如圖3 所示，變形后的BC由B′C′表示，可等效為簡支梁兩端分別受集中力偶RAδ=F(1-2δ/l1)δ≈Fδ和RDδ=F(1+2δ/l1)δ≈Fδ作用。利用疊加原理，水平桿BC在節(jié)點(diǎn)B處轉(zhuǎn)角為

式中，負(fù)號表示順時(shí)針。

由式(8)可知，垂直桿AB在節(jié)點(diǎn)B處轉(zhuǎn)角等于

由于垂直桿AB和水平桿BC在節(jié)點(diǎn)B轉(zhuǎn)角相等，故有

求解上述方程，得β～α曲線如圖4所示。

通過β～α曲線，可確定與α對應(yīng)的β，然后利用為長度因數(shù) 即可確定臨界載荷Fcr。典型情況的臨界載荷分別為：

(1)α→∞，即有β= 1.57，即μ=2.0，則臨界載荷該式即為一端固定、一端自由細(xì)長壓桿的歐拉公式。

(2)α= 10，即有β= 1.55，即μ= 2.0，則臨界載荷該式表明，當(dāng)

(3)α= 1，即有β= 1.34，即μ= 2.3，則臨界載荷F該式表明，臨界載荷有所降低，承載能力降低25%。

(4)α= 0.1，即有β= 0.705，

即μ= 4.5，則臨界載荷該式表明，臨界載荷顯著降低，承載能力降低80%。

(5)α→0，即有β→0，即μ→∞，則臨界載荷Fcr→0。該式表明，剛架已不能承載。