羅雯瑛

(清華大學航天航空學院，北京100084)

1 問題引入

問題：有2n= 100 顆，質(zhì)量為m的小球等距串在無質(zhì)量細繩上，繩長為2L，懸掛于A、B點，AB距離為L，如圖1 所示。求最低點處細繩的張力、端點處角度。

這是一個靜力平衡的問題，對每個小球及每段細繩整體都有受力及力矩平衡。因為要求最低點處繩子的張力，可采用截面法，即將左右兩端繩子分離開來，考慮其中一段。由系統(tǒng)的對稱性可知左右兩段繩子并無差別，并且最低點處繩子是水平的，因此下面考慮右半段繩子，并為方便起見對小球做標號如圖2所示。

圖1 小球串在細繩上

圖2 右半段繩子及對小球的標號

設(shè)最低點處細繩的張力為FN0，由于每兩個小球之間連接的繩子均為輕繩，因此由力矩平衡可知每段輕繩均是直線。分析前i個小球的受力情況，如圖3所示。

圖3 前i 個小球的受力情況

系統(tǒng)有水平和豎直方向受力平衡

記c則由式(1)可得

式(2)中的c是待求量，注意到有條件：AB間距離為L，每段輕繩長度相同且整段繩長為2L，記每段輕繩長度為s，則有s= 2L/(2n+1)。設(shè)第i個小球和第i+1 個小球之間的水平距離為xi，即有cosθi=xi/s。因此

由式(2)、式(3)及n=50可數(shù)值解得c=0.086 2。

因此最低點處細繩的張力FN0和端點處角度θn分別為

2 懸鏈線方程的推導

上述問題的討論對象是一系列離散的質(zhì)點，而當繩上掛的小球數(shù)量趨向于正無窮時，上述模型就可以等效為一有質(zhì)量且兩端固定的懸鏈線模型，自然地可以利用和上述問題相同的分析方法得到懸鏈線方程。

當n→∞時，原來的離散模型變?yōu)檫B續(xù)模型，之前的分析對象“i個小球”，即相當于連續(xù)模型中的一段細繩，對這一段細繩的受力分析可完全類似于對小球的受力分析。設(shè)整段繩長為2L，總質(zhì)量為M，質(zhì)量線密度為λ，則可根據(jù)圖4 中一段長l的繩的受力平衡和圖中的幾何關(guān)系解得懸鏈線方程為

上式中FN0為繩子最底端處的張力。在很多理論力學類教材中都有對式(5)較為詳細的推導，本文不再贅述。值得注意的是，式(5)中的參數(shù)FN0實際上并不是一個預(yù)先已知的量，參考書上給出的懸鏈線方程一般也就到式(5)為止了，但是在求得的方程中出現(xiàn)一個未知量似乎并不是一件自然的事情。受本文最開始解決的小問題的啟發(fā)，F(xiàn)N0應(yīng)當是一個需要被題目所給條件確定的量，下面來確定這個量。

圖4 一段長為l 的細繩的受力情況

設(shè)繩子固定端(即AB間距離)為2h，則由式(5)可知B端繩子角度的正切為

由右半段繩子整體受力平衡可得

由式(6)、式(7)聯(lián)立即可得到關(guān)于FN0的方程

為了與小問題中的結(jié)果比較，取h=L/2，即AB=L，并且小問題中的m是每個小球的質(zhì)量，可以認為整段繩子的質(zhì)量M= 2nm= 100m，代入式(8)有

由式(9)可以解得mg/FN0.=0.087 1，與小問題中得到的結(jié)果0.086 2 很接近。這也從另一個方面印證了懸鏈線確實是小問題所討論的離散模型在n→∞時的極限情況。

3 梁的位移微分方程

前述討論的是在理論力學中常見的兩端固定的懸鏈線模型，而在材料力學課程以及實際應(yīng)用中，另一力學模型--梁，是一類重點研究對象。相比柔軟的輕繩，梁在位移時除了會產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力外還會產(chǎn)生內(nèi)力矩，但兩者在平衡時均滿足力平衡和力矩平衡的基本原理。因此若在本文最開始所討論的小問題基礎(chǔ)上，把每個小球節(jié)點處加入一個扭簧，使系統(tǒng)能夠形成內(nèi)力矩，就可以根據(jù)上文同樣的思路導出梁的位移方程，它是加入扭簧后的系統(tǒng)離散模型在n→∞時的極限情況。

3.1 離散情況下對系統(tǒng)的受力分析

為后續(xù)討論方便起見，首先對問題條件如下假定和說明：(1)在加了扭簧的情況下再認為連接兩個小球之間的是輕繩不是一個合適的物理模型，可以把“輕繩”替換為“輕桿”。(2) 認為整段輕桿是從水平伸展狀態(tài)開始在小球重力的作用下變化到最終平衡狀態(tài)，過程中A和B之間的距離會發(fā)生變化，因此不妨設(shè)A和B的其中一端是自由的，其中A端固定，B端在水平面自由滑動。

根據(jù)對稱性，選取系統(tǒng)右半邊進行分析，左半邊與此類似。對右半邊小球標號以及整體受力分析如圖5所示。

圖5 右半邊輕桿整體受力情況

由于B點在水平方向自由滑動，因此平衡狀態(tài)下其對系統(tǒng)提供的約束力豎直向上，設(shè)為FB，由AB間整個系統(tǒng)水平方向受力平衡可知A點提供的約束力方向也為豎直向上，設(shè)為FA。根據(jù)對稱性(或力矩平衡)有FA=FB=nmg。

由右半邊懸掛線整體豎直方向受力平衡可知最低點處輕桿的內(nèi)力無豎直方向分量，又由水平方向受力平衡有最低點處輕桿的內(nèi)力FN0=0，進一步可知整個系統(tǒng)中無水平方向的內(nèi)力分量。

考慮前i個小球和輕桿組成的系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 前i 個小球和輕桿組成的系統(tǒng)受力情況

由于最低點處輕桿的內(nèi)力為0，對前i個小球和輕桿組成的系統(tǒng)受力分析有小球i右端的桿(桿i)受到的內(nèi)力方向豎直向上，設(shè)為FQi，且有FQi=img。

再考慮長為s的一小段輕桿(桿i)的力矩平衡，其受力和力矩如圖7所示。

圖7 桿i 的受力和力矩情況

對于輕桿i，取球i所在的節(jié)點處為參考點應(yīng)有力矩平衡，即

式(10)中s為每段輕桿的長度，Mi為小球i節(jié)點處所加扭簧產(chǎn)生的力矩，即Mi=kΔθi=k(θi-θi-1)。最終可得到一個關(guān)于轉(zhuǎn)角θi的遞推式

在離散情況下要通過式(11)得到轉(zhuǎn)角θi的表達式很困難，但若將離散情形推廣到n→∞的情況，式(11)所示的遞推式便會變成一個微分方程，就可以通過求解這一微分方程得到桿平衡時的形狀。

3.2 連續(xù)情況下梁位移方程的推導

現(xiàn)考慮式(11)兩邊當n→∞時的情況，實際上此時該模型就是一個在自重下發(fā)生位移的簡支梁模型，小球的重力在此相當于桿的自重。

式(11)左邊的img是前i個小球的重力，在連續(xù)模型中，離散模型中的小球替換為一段連續(xù)且有質(zhì)量的桿，設(shè)桿的質(zhì)量線密度為λ，勁度系數(shù)線密度(即單位長度上的勁度系數(shù))為K，桿的總長度為2L?？紤]長度為l的一段桿，建立如圖8 所示的坐標系，其兩個端點分別設(shè)為O(0,0)和P(x,y)。

圖8 長度為l 的一段桿的受力情況

和離散模型中一樣，端點P處所受內(nèi)力FQl方向豎直向上，且有FQl=λlg。離散模型中分析的一段長為s的輕桿在連續(xù)模型中應(yīng)為一段長為dl的微元，如圖9所示。

圖9 長度為dl 的微元受力和力矩情況

取微元左端為參考點，有力矩平衡

式(12)右端第二項為微元重力提供的力矩，為二階小量可忽略不計，扭簧產(chǎn)生的力矩大小為Ml=Kθ′(l)，把FQl和Ml的表達式代入式(12)后整理可得

方程(13)即是自重下梁位移的微分方程。但它是一個高階非齊次微分方程，難以求得解析解。下面主要考慮把該模型與材料力學中推導的梁撓曲微分方程做對比分析，指明其中的物理意義并給出一些近似結(jié)果和原方程的數(shù)值解。

首先考慮將這一問題與梁發(fā)生小位移時的情形類比，并不考慮剪力對變形的影響，在這種情況下彎矩表示為[1-2]上式中M為梁在l處的彎矩，E為梁的楊氏彈性模量，I為梁對z軸的慣性矩。而在上面討論的問題中，l處的彎矩(即扭簧產(chǎn)生的力矩)為

對比式(14)和式(15)發(fā)現(xiàn)，兩個彎矩計算方程本質(zhì)上是一致的，本問題中所設(shè)的K實際上就是EI，即梁的彎曲剛度。

以AB中點為坐標原點建立坐標系如圖10 所示，下面求桿平衡時在這一坐標系下的近似方程。

圖10 小角度彎曲假設(shè)下的桿

直接引用梁的撓曲線近似微分方程[1-2]

則在本問題中EI=K，因此對于桿平衡時的形狀有微分方程

在當前的近似下桿的自重可以看作是對桿外加了一均勻載荷(x方向均勻分布)λg，這種情況下x處的彎矩滿足關(guān)系

且有邊界條件

因此

由式(17)、式(20)和邊界條件可得到懸掛線平衡時的形狀滿足的方程為

式(21)是在做了大量近似下得到的結(jié)果，但不管是在這一問題還是在實際應(yīng)用中，梁往往不是小變形。為了工程上的實用起見，除了在材料力學課本上對于梁小彎曲的討論以外，在很多文獻中對于梁的大變形情況也都做過一定的研究，這種情況下的微分方程一般給不出解析解(像本文中的式(13))，但可以用各種數(shù)值方法對問題進行一定地討論和解答。例如文獻[3-5]對大變形懸臂梁進行了討論，文獻[6-7]求解了不同固定端約束下等截面梁的位移等。

對于式(13)，可以求得它的數(shù)值解并據(jù)此做出懸掛線的大致形狀。取參數(shù)E= 2 × 1011Pa，I=2.5×10-11m4，λ=1 kg/m，g=10 N/kg，懸掛線總長度為2L=2 m，則式(13)化為

邊界條件為

同時也可考慮問題的近似解，在本文所設(shè)的參數(shù)下式(21)即為()

數(shù)值解得到的懸掛線形狀和由式(24)給出的在小位移近似下懸掛線形狀如圖11所示。

圖11 數(shù)值解和近似解下的懸掛線形狀

可以看到數(shù)值解和近似解十分接近，這也說明了對在自重下發(fā)生位移的梁做小位移近似是合理的。

4 對梁位移方程的再討論

對式(13)做進一步分析還能得到一些有趣的結(jié)果。

4.1 懸掛線形狀的漸變性

在式(13)中記a=λg/K，則

聯(lián)系前面討論過的兩類問題，即懸鏈線方程和梁位移方程，它們在離散情況下的區(qū)別實際上就是梁比懸鏈線在每個節(jié)點上多了一個扭簧以及有一個端點是自由的。那么在連續(xù)情況下，當K→0，也即a→∞時，由方程(25)得到的解應(yīng)當趨近于一個一端固定、一端自由的懸鏈線(亦即兩條重合的豎直線)。因此本文在下面選取了一系列參數(shù)a的值畫出對應(yīng)的懸掛線形狀，它們應(yīng)當能夠反映懸掛線從梁到懸鏈線的形狀演變過程。

從圖12可以看到，當a越來越大時，懸掛線的形狀越來越趨近于兩條逐漸接近的豎直線段，也即一端固定、一端自由的懸鏈線解。

圖12 a 取不同值下的懸掛線形狀(右半部分)

4.2 方程的多解性

在求由式(13)和一定的邊界條件描述的邊值問題的數(shù)值解時需要對方程中出現(xiàn)的未知參數(shù)設(shè)定合適的值，在本文前面所設(shè)定的參數(shù)條件下得到了比較符合正常情況的解，也即方程解的形狀是一條懸鏈線。但是在畫圖過程中發(fā)現(xiàn)當改變參數(shù)的值時，解的形狀變化很大，并且有時會出現(xiàn)多解的情況，其中有正常的懸掛線解，也會有形狀很奇怪的特異解(這種解可能是不穩(wěn)定解)，正常的懸掛線解是題目所需要的?，F(xiàn)仍設(shè)懸掛線總長為2 m，邊界條件如式(23)所示。則當a= 100 時，由方程(25)得到的各種可能的解的情況如圖13所示。

圖13 a=100 時的各種可能平衡狀態(tài)

其中有題目需要的懸掛線解(圖13(g))。圖13的結(jié)果說明由方程(25)描述的系統(tǒng)是一個存在多個平衡態(tài)的系統(tǒng)，其中有些平衡態(tài)穩(wěn)定而有些不穩(wěn)定，從圖13 中可以直觀地看到很多解是不穩(wěn)定的。并且經(jīng)過模擬畫圖發(fā)現(xiàn)解的存在情況和參數(shù)a有直接的聯(lián)系，當a越大時，方程存在的解的形態(tài)越多，而當a的取值相對較小，或者說比較接近實際情況(即方程中的參數(shù)取得接近真實的梁的參數(shù)，例如本文之前在求方程(13)的數(shù)值解時所取的參數(shù)a= 2)時，系統(tǒng)就只存在正常的懸掛線解了。解的存在情況和參數(shù)a的關(guān)系如圖14所示。

圖14 中曲線上的點表示可能的解，橫坐標是參數(shù)a的值，縱坐標是解的一個邊界θ′(0)的值，可以看到隨著a越來越大，可能的解確實越來越多。另外，若把所有的懸掛線解標記成紅色，并做函數(shù)擬合，發(fā)現(xiàn)懸掛線解的前段曲線比較符合一次函數(shù)的關(guān)系，而后段曲線比較符合1/3次方函數(shù)的關(guān)系。

對這些形狀存在性、穩(wěn)定性以及懸掛線解出現(xiàn)條件的理論分析也是一個有趣且值得討論的問題。

圖14 解的存在情況和參數(shù)a 的關(guān)系

5 結(jié)論

本文從對一個簡單的力學平衡問題的解答出發(fā)，用靜力平衡的方法推導了懸鏈線方程，并通過適當改變題目條件討論了該模型和梁位移模型的聯(lián)系。問題討論過程中從有限的質(zhì)點模型推廣到無限的連續(xù)體模型的思想在物理中是很常用且重要的思想，能夠使人更清楚地了解模型的物理含義，有時也能帶來計算上的方便。文章最后對文中所推導的自重下的梁位移微分方程做了進一步的深入探討，這對于討論梁的位移問題具有一定的啟發(fā)意義。