宋恒欣 喻平

摘要：心理學(xué)對(duì)邏輯推理中演繹推理、歸納推理和類比推理的能力發(fā)展和影響因素等做了一系列的研究。將這些研究的成果應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，可以提出三條教學(xué)策略：關(guān)注年齡階段，開(kāi)展分級(jí)訓(xùn)練;結(jié)合知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)推理場(chǎng)景;梳理推理內(nèi)容，把握培養(yǎng)時(shí)機(jī)。

關(guān)鍵詞：邏輯推理演繹歸納類比小學(xué)數(shù)學(xué)

按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的定義，“邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹”。本文簡(jiǎn)要介紹心理學(xué)關(guān)于邏輯推理的一些研究，并討論如何將這些研究的成果應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、心理學(xué)關(guān)于邏輯推理的一些研究

（一）演繹推理的研究

1.演繹推理能力的發(fā)展。

方富熹等將270名被試按照9、12、15歲分為三組，同時(shí)考察了不同學(xué)校類型、家長(zhǎng)文化程度以及學(xué)生智能發(fā)展水平對(duì)假言演繹推理能力發(fā)展的影響。他們使用了三套內(nèi)容與生活有關(guān)的試題，采用口頭報(bào)告的形式，即由主試說(shuō)出假言判斷的前提，讓被試在無(wú)誤地復(fù)述之后，就主試提出的問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo)并闡述理由。研究結(jié)果顯示，兒童充分條件假言演繹推理能力從9歲開(kāi)始發(fā)展并隨著年齡的增長(zhǎng)而提高，9歲為開(kāi)始發(fā)展水平，12歲為過(guò)渡階段，15歲為成熟水平。該研究還指出，被試的家庭教育背景、學(xué)校教育條件等外部條件以及智能水平、學(xué)習(xí)能力等內(nèi)部因素都影響著其假言推理演繹能力的發(fā)展。

李丹等選用能夠反映事物之間蘊(yùn)含關(guān)系并且與生活聯(lián)系較多的命題來(lái)考察兒童的演繹推理能力，選取了從小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)七個(gè)年級(jí)的495名被試，讓他們完成20道假言演繹推理的選擇題。研究結(jié)果顯示，小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)學(xué)生的假言演繹推理能力隨著年齡的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，并且初中一年級(jí)左右是一個(gè)快速增長(zhǎng)的關(guān)鍵期。在實(shí)驗(yàn)中，他們選取了兩所教學(xué)水平不同的學(xué)校做對(duì)照，經(jīng)過(guò)測(cè)試發(fā)現(xiàn)，高教學(xué)水平的學(xué)校學(xué)生的推理能力發(fā)展領(lǐng)先低教學(xué)水平的學(xué)校一個(gè)年級(jí);通過(guò)對(duì)教師的訪談發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中注意培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力有助于其推理能力的發(fā)展。

選言推理是其中一個(gè)前提為選言判斷，另一個(gè)前提對(duì)這個(gè)選言判斷的一部分選言肢進(jìn)行肯定或否定的演繹推理。選言推理可分為不相容選言推理和相容選言推理。不相容選言推理以不相容選言判斷作為大前提。其推理規(guī)則是：肯定一個(gè)選言肢，可以否定其余的選言肢;否定一個(gè)選言肢，對(duì)于選言大前提含兩個(gè)選言肢的選言推理可以肯定另一個(gè)選言肢，對(duì)于選言大前提含三個(gè)選言肢的選言推理則不能肯定另外兩個(gè)選言肢中的任何一個(gè)。相容選言推理以相容選言判斷作為大前提。其推理規(guī)則是：肯定一個(gè)選言肢，不能否定其余的選言肢;否定一個(gè)選言肢，對(duì)于選言大前提含兩個(gè)選言肢的選言推理可以肯定另一個(gè)選言肢，對(duì)于選言大前提含三個(gè)選言肢的選言推理則不能肯定另外兩個(gè)選言肢中的任何一個(gè)。吳榮先選擇從小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)，每個(gè)年級(jí)對(duì)應(yīng)于一個(gè)年齡組，從9.5歲到15.5歲（每個(gè)年齡組的范圍為±3個(gè)月）共七個(gè)年齡組的學(xué)生為被試，考察了不同年齡段學(xué)生選言推理能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果顯示，學(xué)生的選言推理能力隨著年級(jí)的增加而不斷發(fā)展，而相容選言推理能力和不相容選言推理能力的發(fā)展是不平衡的：在小學(xué)四年級(jí)就基本掌握不相容選言推理，而到初中三年級(jí)才基本掌握相容選言推理。

圖形推理是指借助圖形來(lái)推理的過(guò)程。林崇德等探討了小學(xué)生圖形推理策略的差異，將145名小學(xué)生按照數(shù)學(xué)能力分為三個(gè)對(duì)照組，并將從CRT瑞文智力測(cè)驗(yàn)中選出的14道題根據(jù)圖形關(guān)系分類，對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。他們將兒童的推理策略分為6類：（1）分析策略，指能夠正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律并用以解決問(wèn)題;（2）不完全分析策略，指能夠發(fā)現(xiàn)部分規(guī)律并用于解決問(wèn)題;（3）知覺(jué)分析策略，指不能明顯抽象出規(guī)律，但能發(fā)現(xiàn)一些變化，并根據(jù)這些變化做出選擇;（4）知覺(jué)匹配策略，指傾向于選擇相似或完全不同的圖形作為答案;（5）自主想象策略，即憑借個(gè)人喜好進(jìn)行選擇;（6）格式塔策略，即把缺損圖形補(bǔ)充完整的策略。研究結(jié)果顯示，不同年齡的兒童在推理策略選擇上有著不同的特點(diǎn)：總的來(lái)看，在小學(xué)階段，知覺(jué)分析策略占主導(dǎo)地位，且分析策略的使用隨年齡的增長(zhǎng)而上升;二年級(jí)開(kāi)始，學(xué)生的圖形推理能力有較大飛躍，到了五、六年級(jí)，學(xué)生能夠不受題目形式的影響，從本質(zhì)上把握邏輯規(guī)則。

2.影響演繹推理的因素。

方富熹等為探查12歲兒童充分條件假言演繹推理能力的差異，選擇12歲的“普通兒童”與“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異兒童”各20人，分別采用與生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系密切、與生活經(jīng)驗(yàn)相悖和比較抽象的三套試題進(jìn)行個(gè)別測(cè)試。測(cè)試結(jié)果顯示，12歲的兒童普遍具有充分條件假言演繹推理的能力，但是他們的推理過(guò)程容易受到材料內(nèi)容性質(zhì)和自身生活經(jīng)驗(yàn)的影響;同時(shí)，“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異兒童”的假言演繹推理能力更強(qiáng)，說(shuō)明兒童假言演繹推理能力與其智能水平有關(guān)。

李國(guó)榕等根據(jù)直言三段論推理的四種格（全稱肯定、全稱否定、特稱肯定和特稱否定）、“四概念錯(cuò)誤”（把兩個(gè)不同概念當(dāng)作同一概念使用，導(dǎo)致在三段論中出現(xiàn)四個(gè)概念）和“特稱前提推出錯(cuò)誤結(jié)論”等三個(gè)類型，編制了含20道推理題的問(wèn)卷，對(duì)在升學(xué)率分別為低、中、高的三所普通中學(xué)的學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試結(jié)果顯示，中學(xué)生直言三段論推理是否正確和推理的格密切相關(guān)，其中全稱肯定型的成績(jī)最好;并且，學(xué)習(xí)成績(jī)的高低也影響著推理能力的發(fā)展。

沃建中等研究了小學(xué)生在圖形推理中策略選擇的問(wèn)題。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)，不同水平的學(xué)生在策略選擇上無(wú)明顯差異，大部分學(xué)生都采用分析策略，都能找到規(guī)律完成題目;然而隨著難度的增加，不同水平的學(xué)生在策略選擇上出現(xiàn)了差異，高水平的學(xué)生多使用分析策略和知覺(jué)分析策略，中等水平的學(xué)生多使用知覺(jué)分析策略，而低水平的學(xué)生多使用知覺(jué)匹配策略。結(jié)合訪談還發(fā)現(xiàn)，低水平學(xué)生的問(wèn)題表征方式造成他們不能正確進(jìn)行圖形推理，也影響了他們推理策略的選擇使用。

（二）歸納與類比推理的研究

1.歸納與類比推理能力的發(fā)展。

林崇德把運(yùn)算中的歸納推理分為四個(gè)水平：（1）直接歸納推理（如由6+0=6，8+0=8，…歸納出“任何數(shù)加零等于原來(lái)的數(shù)”）;（2）簡(jiǎn)單文字運(yùn)算中直接歸納推理（如由x=y，x+a=y+a，x+b=y+b，…歸納出“等式兩邊加上一個(gè)相同的數(shù)，仍然相等”）;（3）算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理（如通過(guò)多個(gè)步驟的分?jǐn)?shù)運(yùn)算歸納出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)）;（4）初步代數(shù)式的間接歸納推理（如通過(guò)多次對(duì)兩個(gè)變量的運(yùn)算歸納出兩者的函數(shù)關(guān)系）。他的研究表明，小學(xué)階段隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生的歸納推理能力逐步提升，在五年級(jí)基本達(dá)到“算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理”的水平。

倪斯杰等對(duì)小學(xué)二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的研究顯示，該年齡段的學(xué)生基本不具備所考察的歸納推理能力，具體包括通過(guò)歸納理解新概念、從多步算式中找規(guī)律、從圖形變換中找一般規(guī)律等。而Csapó對(duì)三、五、七、九、十一五個(gè)年級(jí)2400多名學(xué)生歸納推理能力的研究表明，三年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納推理能力;低年級(jí)學(xué)生得分的標(biāo)準(zhǔn)差較大，原因是少數(shù)學(xué)生在早期就具備較強(qiáng)的能力;五至七年級(jí)是歸納推理能力發(fā)展最迅速的時(shí)期，九年級(jí)后發(fā)展明顯變緩。

類比推理能力的發(fā)展研究關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題是類比推理能力何時(shí)出現(xiàn)。傳統(tǒng)代表如皮亞杰認(rèn)為，類比推理能力的發(fā)展與從具體運(yùn)算到形式運(yùn)算能力的發(fā)展一致，兒童要到11—12歲才能真正地完成。后來(lái)的許多研究發(fā)現(xiàn)，類比推理能力的發(fā)展明顯早于皮亞杰所說(shuō)的形式運(yùn)算階段。大多數(shù)研究者都認(rèn)為，類比推理能力在前運(yùn)算階段便得到了有效的發(fā)展，在較熟悉的事物中，3—4歲的兒童就能成功地完成類比推理作業(yè)。

費(fèi)廣洪等隨機(jī)抽取了180名3—11歲的兒童，整合多種類比推理材料，采用關(guān)系圖形、幾何圖形、詞語(yǔ)、數(shù)字、故事等五種材料，考察兒童類比推理能力發(fā)展的年齡特點(diǎn)。研究發(fā)現(xiàn)，兒童的類比推理能力發(fā)展有階段性的特點(diǎn)，4—5歲開(kāi)始能夠進(jìn)行類比推理，并且隨著年齡的增長(zhǎng)，類比推理能力不斷上升。

2.影響歸納與類比推理的因素。

已有研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)事物之間相似性的認(rèn)知是歸納推理的基礎(chǔ)。相似性研究中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是知覺(jué)相似和概念相似之間是如何相互作用的。知覺(jué)相似觀認(rèn)為兩個(gè)物體之間的相似性主要是基于表面的物理特征，概念相似觀認(rèn)為相似性主要取決于物體之間共同的關(guān)系。孫紅梅等對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了進(jìn)一步的研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一年級(jí)學(xué)生和三年級(jí)學(xué)生在基于知識(shí)和基于外觀的推理之間不存在顯著性差異;而五年級(jí)學(xué)生和大學(xué)生基于知識(shí)的推理次數(shù)顯著高于基于外觀的推理次數(shù)，同時(shí)五年級(jí)學(xué)生和大學(xué)生在基于知識(shí)的推理上沒(méi)有顯著差異。這一研究結(jié)果暗示，五年級(jí)學(xué)生在歸納推理時(shí)與成人的表現(xiàn)相一致，主要基于概念相似;一年級(jí)學(xué)生和三年級(jí)學(xué)生在基于概念的歸納推理方面還處于過(guò)渡期。

促使兒童類比推理能力發(fā)展的潛在因素是什么？研究者們的看法大致有三類：（1）能力的限制。例如，兒童類比推理能力的發(fā)展主要受諸如記憶容量、信息加工能力等認(rèn)知能力的限制。（2）知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的限制。例如，兒童在類比推理中存在顯著的年齡差異，而造成這種差異的原因是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累。如果給兒童熟悉的類比任務(wù)，讓他們運(yùn)用熟悉的知識(shí)進(jìn)行推理，那么，他們將表現(xiàn)出類比推理能力。（3）既有能力的影響，也有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響。

王樹(shù)芳等以任務(wù)難度和反饋學(xué)習(xí)為自變量，對(duì)兒童類比推理做了實(shí)驗(yàn)研究。反饋學(xué)習(xí)是指兒童完成一個(gè)類比推理任務(wù)后就反饋是對(duì)還是錯(cuò)：如果對(duì)了，就讓兒童說(shuō)出類比的關(guān)系，從而確保他們是理解類比關(guān)系的;如果錯(cuò)了，就解釋源圖的事物，讓兒童自行明白源圖事物之間的關(guān)系;如果經(jīng)過(guò)三次解釋，兒童還是不明白這種關(guān)系，就直接說(shuō)明。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，開(kāi)展反饋學(xué)習(xí)以降低任務(wù)難度時(shí)，7—8歲兒童能完成更高年齡段兒童才能完成的任務(wù);但是，增加任務(wù)難度時(shí)，11歲以上兒童也表現(xiàn)出類比推理能力的弱化。結(jié)果提示，兒童能否在類比推理任務(wù)中表現(xiàn)出相應(yīng)的能力可能取決于任務(wù)難度，而反饋學(xué)習(xí)可促進(jìn)一定年齡段內(nèi)兒童的類比推理能力發(fā)展。

（三）邏輯推理能力培養(yǎng)的研究

胡衛(wèi)平等開(kāi)發(fā)了面向所有學(xué)科的“學(xué)思維”活動(dòng)課程，每個(gè)活動(dòng)都包括四個(gè)環(huán)節(jié)：第一，活動(dòng)導(dǎo)入，即創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的環(huán)節(jié);第二，活動(dòng)過(guò)程，即按照活動(dòng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，組織學(xué)生觀察、思考、討論、實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié);第三，活動(dòng)心得，即引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)活動(dòng)，總結(jié)心得、引起反思的環(huán)節(jié);第四，活動(dòng)拓展，即向生活和其他學(xué)科領(lǐng)域拓展思維方法的環(huán)節(jié)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生思維能力的總體水平以及發(fā)展速度顯著快于控制組學(xué)生;實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在歸納推理、演繹推理、空間認(rèn)知、類比推理和抽象概括能力上顯著高于控制組學(xué)生，且除了抽象概括能力，其他四項(xiàng)能力的發(fā)展速度顯著快于控制組學(xué)生。

陳德煜等對(duì)小學(xué)三年級(jí)學(xué)生開(kāi)展了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)研究。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練是指用一定時(shí)間有意識(shí)地安排邏輯思維方法，結(jié)合教材內(nèi)容編寫(xiě)訓(xùn)練題，給學(xué)生學(xué)習(xí)與練習(xí)。分為7個(gè)單元：（1）概念理解與數(shù)量關(guān)系;（2）概念的聯(lián)系與判斷;（3）比較、抽象、概括和推理;（4）分析和綜合;（5）認(rèn)清條件，分析和解決問(wèn)題;（6）一題多變、一題多解，訓(xùn)練思維的靈活性;（7）解決難題。實(shí)驗(yàn)表明，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的邏輯思維能力得到了明顯的提升。

王瑾認(rèn)為，小學(xué)生的歸納推理能力訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)分為四個(gè)階段。（1）前歸納階段（一年級(jí)）：初步掌握觀察的方法，養(yǎng)成觀察的習(xí)慣;通過(guò)簡(jiǎn)單的分析與比較活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)共同性與差異性，初步了解什么是規(guī)律，會(huì)做簡(jiǎn)單的分類;積累觀察、分析、比較、分類的經(jīng)驗(yàn);具有歸納推理的潛意識(shí)。（2）歸納推理的初級(jí)階段（二、三年級(jí)）：學(xué)會(huì)根據(jù)適當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)分類;形成對(duì)規(guī)律的基本認(rèn)識(shí)，能提出一些簡(jiǎn)單的猜想，會(huì)用自己的語(yǔ)言或數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征;積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（3）歸納推理的完善階段（四、五年級(jí)）：深化枚舉歸納推理獲得一般結(jié)論（猜想）的活動(dòng)，特別是，使用枚舉歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成;通過(guò)錯(cuò)誤猜想，懂得枚舉歸納所得的結(jié)論具有或然性，從而明確檢驗(yàn)的必要性，并能用反例推翻錯(cuò)誤猜想。（4）歸納推理的前演繹階段（六年級(jí)）：深化枚舉歸納推理，使用枚舉歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成;結(jié)合數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)，逐漸增加演繹成分，而引進(jìn)計(jì)算推證和科學(xué)歸納推理，從而通過(guò)個(gè)別事例的分析，發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系（必然聯(lián)系），獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在根據(jù)，特別是，使用科學(xué)歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成。

二、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

從以上研究可以看出，不同類型的邏輯推理有著不同的影響因素，同時(shí)存在年齡和認(rèn)知發(fā)展順序這樣共性的影響因素。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的目標(biāo)，可以考慮采用如下一些策略：

（一）關(guān)注年齡階段，開(kāi)展分級(jí)訓(xùn)練

如前所述，小學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展有年齡階段的規(guī)律。一、二年級(jí)屬于啟蒙階段，教師應(yīng)當(dāng)教學(xué)生觀察事物的方法，學(xué)會(huì)通過(guò)觀察對(duì)事物進(jìn)行分類，這是邏輯推理的起點(diǎn)。三年級(jí)是關(guān)鍵時(shí)期（是兒童從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的轉(zhuǎn)折點(diǎn)），從這時(shí)起，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教材中的知識(shí)，有意識(shí)地對(duì)學(xué)生開(kāi)展邏輯推理的訓(xùn)練，包括演繹推理、歸納推理和類比推理;并且隨著年級(jí)的升高，適當(dāng)加大訓(xùn)練材料的難度。

在邏輯推理的訓(xùn)練中，教師還要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平。歸納、類比等合情推理更容易為小學(xué)生所把握，而邏輯性更強(qiáng)的演繹推理更重要的發(fā)展階段是初中二年級(jí)。所以，小學(xué)生邏輯推理的訓(xùn)練，重點(diǎn)應(yīng)該放在合情推理上，沒(méi)有必要過(guò)分關(guān)注演繹推理（謹(jǐn)防揠苗助長(zhǎng)）。當(dāng)然，也要注意演繹推理的滲透，讓小學(xué)生經(jīng)歷由探索猜測(cè)到合理證明的過(guò)程，感受由合情推理到演繹推理的過(guò)程，從而更加深入地理解知識(shí)的內(nèi)涵，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并發(fā)展相應(yīng)的邏輯推理能力。

例1利用計(jì)算器計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，并探索規(guī)律。

利用計(jì)算器計(jì)算出算式結(jié)果后，中年段的學(xué)生可以通過(guò)觀察積與乘數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，如15×15=225=1×2×100+25，25×35=625=2×3×100+25，35×35=1225=3×4×100+25，…。而高年段的學(xué)生學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)，可以嘗試采用演繹推理的思想證明上述規(guī)律：若用字母a表示一個(gè)正整數(shù)，則有（a×10+5）×（a×10+5）=100×a2+2a×10×5+25=a×（a+1）×100+25。這是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，既包含了歸納推理，又包含了演繹推理，是一種訓(xùn)練邏輯推理的良好形式。

例2（1）將下面的數(shù)分類：3，5，13，23，25，35，45，53。

（2）圖1中的4個(gè)圖形有沒(méi)有規(guī)律？如果你認(rèn)為有規(guī)律，請(qǐng)說(shuō)出規(guī)律?？凑l(shuí)發(fā)現(xiàn)的多。

（3）小紅計(jì)算了3個(gè)長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)，結(jié)果如表1所示。她發(fā)現(xiàn)：面積越大，周長(zhǎng)就越長(zhǎng)。你認(rèn)為她的結(jié)論對(duì)嗎？

第1題適合一年級(jí)的學(xué)生，引導(dǎo)他們通過(guò)簡(jiǎn)單的分析與比較，發(fā)現(xiàn)共同性與差異性，初步了解什么是規(guī)律，會(huì)做簡(jiǎn)單的分類。具體來(lái)說(shuō)，可以按位數(shù)的多少、個(gè)位數(shù)是什么、十位數(shù)是什么及所含數(shù)字有哪些等標(biāo)準(zhǔn)（角度）來(lái)分類。

第2題適合二、三年級(jí)的學(xué)生，引導(dǎo)他們形成對(duì)規(guī)律的基本認(rèn)識(shí)，提出一些簡(jiǎn)單的猜想，用自己的語(yǔ)言或數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征。具體來(lái)說(shuō)，這里的基本規(guī)律是各個(gè)圖形都由四個(gè)小正方形組成，都是三個(gè)黑的、一個(gè)白的，白正方形的位置依次繞中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

第3題適合四、五年級(jí)的學(xué)生，引導(dǎo)他們通過(guò)錯(cuò)誤猜想，懂得枚舉歸納所得的結(jié)論具有或然性，從而明確檢驗(yàn)的必要性，并用反例推翻錯(cuò)誤猜想。具體來(lái)說(shuō)，這里的結(jié)論是錯(cuò)的，可以舉出反例：增加一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)、寬分別是8 cm、2 cm，面積是16 cm2，周長(zhǎng)是20 cm，那么，表中第2個(gè)長(zhǎng)方形面積比它的大，但是周長(zhǎng)比它的小。

第4題適合六年級(jí)的學(xué)生，引導(dǎo)他們結(jié)合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)，增加演繹成分，引進(jìn)計(jì)算推證和科學(xué)歸納推理，從而通過(guò)個(gè)別事例的分析，發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系，獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在根據(jù)。具體來(lái)說(shuō)，這里的一般規(guī)律是相鄰整數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的積，其演繹推理的原因是相鄰整數(shù)是互質(zhì)的，其歸納推理的根據(jù)是3與4互質(zhì)、4與5互質(zhì)、6與7互質(zhì)。

（二）結(jié)合知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)推理場(chǎng)景

在邏輯推理的訓(xùn)練中，教師沒(méi)必要刻意給學(xué)生介紹邏輯知識(shí)，因?yàn)檫@些知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得比較抽象。實(shí)際上，學(xué)生可以通過(guò)多樣化的實(shí)例潛移默化地掌握邏輯規(guī)則。

在小學(xué)階段，學(xué)生的邏輯推理受到已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的影響。如果推理內(nèi)容超出了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)范圍，那么，推理或者無(wú)法開(kāi)展，或者產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，對(duì)學(xué)生邏輯推理的訓(xùn)練既要注重在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中滲透，又要穿插一些與日常生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合的實(shí)例。

例3（1）（可多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.所有的等邊三角形都是等腰三角形

B.所有的等邊三角形都不是等腰三角形

C.有些等邊三角形是等腰三角形

D.有些等邊三角形不是等腰三角形

（2）犯罪行為不是合法行為，故意殺人是犯罪行為。由此可以推出（）

A.故意殺人不是合法行為

B.不合法行為是犯罪行為

C.不是犯罪行為一定合法

D.有的犯罪行為是合法行為

（3）所有的S都是P，有些M不是P。由此可以推出（）

A.所有的M都是S

B.所有的M都不是S

C.有些M是S

D.有些M不是S

這里，第1題與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)，考查學(xué)生對(duì)直言三段論推理的四種格判斷形式的掌握情況。第2題與數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)關(guān)，考查學(xué)生對(duì)日常生活中的直言三段論推理的理解。通過(guò)這類題，還可以給學(xué)生講授一些法律知識(shí)，擴(kuò)展他們的知識(shí)面。第3題是純粹的邏輯問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)直言三段論推理第二格的理解情況。

特別地，對(duì)歸納推理的訓(xùn)練，可以采用特殊化策略，即給出一般性問(wèn)題，讓學(xué)生在解答的過(guò)程中，先將其特殊化，再通過(guò)歸納推理解決一般情形。

教育研究與評(píng)論小學(xué)教育教學(xué)/2020年第12期前沿論壇例4（1）我們班一共有40位同學(xué)，如果每?jī)晌煌瑢W(xué)握一次手，那么一共握多少次手？

（2）平面上10條直線最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域？

對(duì)于第1題，直接思考40位同學(xué)的情況過(guò)于困難，可以引導(dǎo)學(xué)生思考3位同學(xué)共握幾次手，4位同學(xué)共握幾次手，5位同學(xué)共握幾次手……由簡(jiǎn)單到復(fù)雜發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，通過(guò)歸納解決問(wèn)題。同樣地，對(duì)于第2題，直接思考10條直線的情況過(guò)于困難，可以引導(dǎo)學(xué)生思考1條直線最多分為1+1個(gè)區(qū)域，2條直線最多分為1+1+2個(gè)區(qū)域，3條直線最多分為1+1+2+3個(gè)區(qū)域，從而歸納出新增的第k+1條直線與原有的k條直線都相交，將平面多分割出k+1個(gè)區(qū)域，于是得到10條直線最多分為1+1+2+3+…+10=56個(gè)區(qū)域。

（三）梳理推理內(nèi)容，把握培養(yǎng)時(shí)機(jī)

推理是數(shù)學(xué)思維的一般特征（方法），在很多知識(shí)的探究以及問(wèn)題的解決中都會(huì)用到。而數(shù)學(xué)教學(xué)一般是按照知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)的，即以知識(shí)點(diǎn)為主題的。因此，教師要對(duì)教材中邏輯推理相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容加以梳理，做到心中有數(shù)，從而把握好訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理的有效時(shí)機(jī)。表2列出了小學(xué)數(shù)學(xué)教材中邏輯推理相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容。表2

邏輯推理類型知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例不完全歸納找規(guī)律運(yùn)算定律除法分?jǐn)?shù)面積體積三角形找數(shù)列和圖形的規(guī)律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：abc=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)圓柱體積公式的推導(dǎo)圓錐體積公式的推導(dǎo)三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)類比推理整數(shù)讀寫(xiě)法億以內(nèi)及億以上數(shù)的讀寫(xiě)與萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀寫(xiě)類比整數(shù)的運(yùn)算多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法類比多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)類比除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法類比小數(shù)的運(yùn)算小數(shù)運(yùn)算與整數(shù)的運(yùn)算類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算分?jǐn)?shù)運(yùn)算與整數(shù)的運(yùn)算類比除法、分?jǐn)?shù)和比商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)之間的類比面積三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)類比線、面、體線、面、體之間的類比長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位之間的類比演繹推理多邊形面積體積多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)正方形面積公式的推導(dǎo)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)三角形面積公式的推導(dǎo)梯形面積公式的推導(dǎo)圓面積公式的推導(dǎo)正方體體積公式的推導(dǎo)這里需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，現(xiàn)行教材把運(yùn)算律安排在四年級(jí)，有點(diǎn)晚了;運(yùn)算律應(yīng)當(dāng)從二年級(jí)開(kāi)始就逐步引入，這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力有舉足輕重的作用。

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