池紅梅

[摘 要]度量的本質是將事物的某些屬性標準化，然后通過測量賦予事物一個量值，從而可以比較同一維度上的事物。基于學生已有的度量經驗，以“長短貓”的魔術作為開篇，通過對“度量本質”與“角的大小度量”的思考，從角的動態(tài)定義出發(fā)，創(chuàng)造度量方法，再對比不同度量之間的共同點，擴展出角的度量體系，梳理出度量五部曲：明確對象——建立標準——發(fā)明工具——使用工具——獲得數(shù)值，進而培養(yǎng)學生自覺地感受和使用計量標準的意識。

[關鍵詞]度量;本質;量角

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0018-02

一、為度量而發(fā)明的魔術

在全國第三期魔術種子教師培訓會上，來自臺灣的吳如皓老師表演了一個魔術——長短貓（如圖1）：第一幅圖：小紅比小藍長;第二幅圖：加了一把特殊尺來比較，還是小紅比小藍長;第三幅圖：讓小藍穿越魔法圈;第四幅圖：變?yōu)樾∷{比小紅長。

這是為什么？原來，小藍并不是真的變長了，只是因為它們擺放的位置不同，從而讓人得到了錯誤的比較結果。

如圖1所示，在第一幅圖中，是用小藍的內圈和小紅的外圈比，感覺小紅長一些;而在第四幅圖中，是用小紅的內圈和小藍的外圈比，感覺小藍長一些。因為每次比較的對象和方法都不同，所以看起來就會有不同的結果。正確的比較方法是：外圈和外圈比，內圈和內圈比，在同一個標準上進行比較和測量。

顯然，吳老師這個魔術是為了培養(yǎng)學生的度量意識。他說：“讓學生知道比什么、怎么比，才是最關鍵的?！贝_實，度量從本質上來講就是一種比較，是物體和標準的比較。因此，比什么、怎么比，就顯得尤為重要。

在小學階段，角的度量是學生學習的一大難點，在剛開始學習時，學生會這樣度量（如圖2）。學生基于原有度量長度的經驗，自然而然地想到用直尺去度量角，這無可厚非。但追根溯源，主要是他們不知道度量角的大小究竟應該度量哪里，用什么標準、什么工具去度量。這個現(xiàn)象引發(fā)了我們的思考：角的度量，本質是什么？

二、角的度量，本質是什么？

先看角的定義。角的定義有兩種。一種是靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點叫作角的頂點，這兩條射線叫作角的邊;另一種是動態(tài)定義：由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形叫作角，射線的端點叫作角的頂點，起始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。教學中，大多數(shù)教師只關注了角的靜態(tài)定義，而忽略了動態(tài)定義。

再看度量的本質。度量是將事物的屬性量化，賦予事物一個數(shù)，從而可以在同一維度上比較事物。換句話說，度量是指出某個物體具有多少個單位的某種屬性。度量角就是用一種統(tǒng)一的度量單位作為標準，去對某個角進行比較得出的一種數(shù)量，是對角的大小的一種描述。

其實，角的度量是指度量角的大小，也就是度量兩條邊張開的程度。學生在原來的認知基礎上已經會度量長度和度量面積，而這里角的兩條邊的張開程度是一個新的度量對象，用原來的方法已經行不通了，怎么辦？人們對此規(guī)定：將圓平均分為360份，將其中一份的大小命名為“1°”，再用這樣的“1°”角去度量，能得到幾個這樣的“1°”，這個角就是幾度。度，就是度量角的單位。有了度量的單位，那就需要度量的工具，于是又有了專門測量角的工具——量角器。

三、角的度量，還有其他方法嗎？

除了教材中的角度制測量角的大小，還有另外三種度量角的方法。

一是弧度制。用弧長與半徑之比度量對應圓心角角度的方式，叫作弧度制。等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角。同一個角，既可以用角度制表述，也可以用弧度制表述，它們之間可以換算，換算公式為：

二是百分制。此制度是法國創(chuàng)立米制時提出的，但未能得到推行。

三是密位制。把一圓周分成6000等份，一等份就是1密位的弧，1密位的弧對應的就是1密位的角。密位制比較精確，所以廣泛地運用于軍事中。

對比四種不同的度量方法，不難發(fā)現(xiàn)度量的共同點：先確定度量的標準單位，再累加有多少個標準單位，最后所得到的對應數(shù)值便是度量的結果。而每一種度量單位都會形成一個體系。如長度單位，基本單位就是米，當度量一個物體用米太小時，就會產生新的更大的度量單位;而當度量一個物體用米太大時，就會產生新的更小的度量單位。新單位的產生，是基于單位與單位之間的關系，也就是進率，比如1千米=1000米、1分米=10厘米等。

國際單位制（SI）中包括長度、質量、時間、溫度、電流、發(fā)光強度、物質的量七個基本單位，在有了基本單位后，還有輔助單位和導出單位。無論是基本單位、輔助單位，還是導出單位，都是數(shù)學世界內部和諧的結果，能廣泛地為人類運用，并且在使用過程中簡單易操作。

因此，在度量物體時，具體選擇哪一個標準，就需要根據(jù)物體的具體情況來定。這就需要自覺地感受和擁有使用計量標準的度量意識。

四、角的度量，究竟該怎么教學？

基于以上的認識，我進行了創(chuàng)造性的教學嘗試。

先把與0刻度線重合的那條邊命名為起點邊，再旋轉另一條邊，旋轉的那條邊所在的位置就決定了角的大小。因此，旋轉后的那條邊所對應的量角器上的數(shù)值，便是度量的結果。

如圖4-1，是從內圈開始旋轉，就要看內圈的刻度，最后停在了70°的位置;如圖4-2，是從外圈開始旋轉，就要看外圈的度數(shù)，最后停在了110°的位置。

從知識技能上來看，學生就能很好地區(qū)分內圈和外圈，因為角已經不是靜止的模樣，而是經歷了動態(tài)的旋轉。

有意思的是，學生還創(chuàng)編了用量角器度量角的兒歌：先定起點邊，再定終點邊。從里旋轉看內圈， 從外旋轉看外圈。不要內圈外圈傻傻不分辨。

五、經歷度量五部曲，培養(yǎng)度量意識

當學生掌握了用量角器度量角的方法后，教師可以引導學生思考用量角器量角和用直尺測量長度的相同或不同之處：

一是都有標準，直尺是以“1厘米”或“1分米”等單位長度為標準進行累加，而量角器是以“1°”為標準進行累加。

二是都有刻度，或者說是數(shù)值。從度量的本質上來講，度量就是將事物的屬性量化，賦予其一個數(shù)。而度量工具上的數(shù)值，正是為了方便得到具體的數(shù)，從而實現(xiàn)在同一維度上比較事物。

三是都借助了度量工具。量角度借助了量角器，量長度借助了直尺，它們都屬于工具度量。而不同的度量工具，都有自己不同的度量方法，正確使用度量工具，才能獲得正確的度量結果。比如量角器內圈和外圈的數(shù)值要分清，直尺也要注意測量起點等。

經過這樣的對比溝通，學生明白了：原來我們的工具度量都要經歷相同的一般流程，即明確度量對象——建立度量標準——發(fā)明度量工具——正確使用度量工具——獲得一個具體數(shù)值。這樣，學生在生活中遇到其他需要度量的事物時，就會調動這節(jié)課所獲得的認知經驗來解決問題。這就把度量技能教學的層次上升到了度量意識的培養(yǎng)。

由于打通了度量的本質“關節(jié)”，再回到用直尺度量角時，學生就能夠知道：在后續(xù)的學習中，用直尺也能度量角的度數(shù)，但那又是一套新的度量標準的建立（弧度制）。

經過對“角的度量”與“度量本質”的深入思考，能夠發(fā)現(xiàn)，從知識本質入手對教學對象進行思考，才能真正找到知識背后的邏輯體系，更好地幫助學生建立結構化的知識系統(tǒng)，打通學習的脈絡，學生才能更好地去用所學知識解決新問題，教師才能從度量技能的教學上升到度量意識培養(yǎng)的教學。

（責編 金 鈴）