岳小云，毛學(xué)志，劉思嚴(yán)，楊曉靜，邱鳳霞

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004)

模糊集的概念最早是由Zedah[1]提出的，一代又一代的學(xué)術(shù)研究者們付出了努力，加速了模糊集理論的不斷完善，促使直覺(jué)模糊集理論的產(chǎn)生，該理論是由Atanassov[2]提出。由于直覺(jué)模糊集在實(shí)際應(yīng)用中的某些情況不滿足適用條件，于是Yager[3]定義了畢達(dá)哥拉斯模糊集(Pythagorean Fuzzy Set)及集結(jié)算子。Zhang[4]研究了TOPSIS方法在畢達(dá)哥拉斯模糊集環(huán)境下的應(yīng)用。Yang[5]針對(duì)文獻(xiàn)[4]中定理3.4存在的缺陷，提出了新定理及證明過(guò)程。范建平等[6]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵，并用交叉熵代替距離測(cè)度，提高了結(jié)果的準(zhǔn)確性。杜玉琴[7]定義了畢達(dá)哥拉斯梯形模糊語(yǔ)言集及其集結(jié)算子，并以企業(yè)挑選綠色供應(yīng)商問(wèn)題為例驗(yàn)證方法實(shí)用性。李進(jìn)軍等[8]研究了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集的三類Hamming距離。施明華等[9]和李素勤[10]均提出，在畢達(dá)哥拉斯模糊集環(huán)境下的多屬性群決策的應(yīng)用。在屬性和專家權(quán)重均未知情形下，Wan等[11～13]拓展相對(duì)距離公式、確信度、信息熵和LINMAP方法于畢達(dá)哥拉斯模糊群決策，并應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資、綠色供應(yīng)鏈和霧霾治理決策。另外，考慮到?jīng)Q策有限理性，Gomes[14]提出了TODIM方法。自TODIM方法提出以來(lái)，許多學(xué)者擴(kuò)展到直覺(jué)模糊集、多值中智集和猶豫模糊語(yǔ)言集[15～17]。為此，筆者在決策信息為畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下改進(jìn)TODIM方法，進(jìn)而運(yùn)用PF-TODIM方法研究語(yǔ)言多屬性群決策問(wèn)題，以此解決遠(yuǎn)程會(huì)診協(xié)同質(zhì)量評(píng)估問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 畢達(dá)哥拉斯模糊集

定義1[18]設(shè)X是一個(gè)論域，則畢達(dá)哥拉斯模糊集(PFNs)定義為：

P=〈〈x,P(μp(x),vp(x))〉|x∈X〉

(1)

為了更好的運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯模糊集，給出畢達(dá)哥拉斯模糊集的運(yùn)算與性質(zhì)。

定義2[18]給定3個(gè)PENsβ1=〈μ1,v1〉,β2=〈μ2,v2〉和β=〈μ,v〉，基本運(yùn)算有

5)β1∧β2=〈min{μ1,μ2},max{v1,v2}〉

6)β1∨β2=〈max{μ1,μ2},min{v1,v2}〉

7)βc=〈v,μ〉

定義3[19]對(duì)于PENβ=〈μβ,vβ,πβ〉，β的得分函數(shù)定義

(2)

其中-1≤Sc(β)≤1。

定義4[19]設(shè)β1=〈μ1,v1,π1〉和β2=〈μ2,v2,π2〉是2個(gè)PFNs，β1和β2的得分函數(shù)分別為Sc(β1)和Sc(β2)，則

1) 當(dāng)Sc(β1)〉Sc(β2)，有β1優(yōu)于β2，記為β1?β2；

2) 當(dāng)Sc(β1)〈Sc(β2)，有β1劣于β2，記為β1β2；

3) 當(dāng)Sc(β1)=Sc(β2)，有β1等于β2，記為β1=β2。

定義5設(shè)β1=〈μ1,v1,π1〉和β2=〈μ2,v2,π2〉是2個(gè)PFNs，β1和β2之間距離為

(3)

1.2 畢達(dá)哥拉斯模糊集的集結(jié)算子

(4)

(5)

(6)

則稱PFWGHM算子為畢達(dá)哥拉斯加權(quán)幾何Heronian算子。

(7)

容易證明PFWGHM算子具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1(冪等性)如果所有的i,αi=〈ui,vi〉相等，記αi=α(i=1,2,…,n)，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)=α

α-≤PFWGHM(α1,α2,…,αn)≤α+

性質(zhì)3(單調(diào)性)設(shè)αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)和αi′(i=1,2,…,n)兩組PFNs，如果對(duì)任意i，有αi≤αi′，則PFWGHM(α1,α2,…,αn)≤PFWGHM(α1′,α2′,…,αn′)。

定義8設(shè)p與q為不同時(shí)為0的非負(fù)實(shí)數(shù)，αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)為PFN，若有

(8)

則稱PFOWGHM算子為畢達(dá)哥拉斯加權(quán)幾何Heronian算子，其中αi′表示αi(i=1,2,…,n)中的第i(i=1,2,…,n)大的PFN，權(quán)重向量為

n為常數(shù)，g∶[0,1]→[0,1]為一個(gè)BUM函數(shù)，并滿足g(0)=0,g(1)=1以及若x>y則g(x)≥g(y)。

定理2設(shè)p與q為不同時(shí)為0的非負(fù)實(shí)數(shù)，αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)為PFN，由PFOWGHM算子集結(jié)得到的值也是PFN，且

(9)

容易證明PFOWGHM算子有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1(冪等性)如果所有的i，αi=〈ui,vi〉相等，記αi=α(i=1,2,…,n)，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)=α

α-≤PFOWGHM(α1,α2,…,αn)≤α+

性質(zhì)3(單調(diào)性)設(shè)αi和αi′(i=1,2,…,n)為2組PFNs，如果對(duì)任意i，有αi≤αi′，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)≤PFOWGHM(α1′,α2′,…,αn′)

2 基于PFN的語(yǔ)言多屬性群決策模型

2.1 多屬性群決策問(wèn)題描述

2.2 改進(jìn)TODIM方法

TODIM方法是通過(guò)計(jì)算總優(yōu)勢(shì)度和總前景值對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)選或排序。方法中，關(guān)鍵是優(yōu)勢(shì)度的確定，具體如下:

(10)

2) 計(jì)算方案Ai的總前景值ζi，這里

(11)

TODIM方法依據(jù)總前景值越大，可行方案越優(yōu)原則。選擇最理想的可行方案或?qū)λ袀溥x方案進(jìn)行排序?？偳熬爸底畲蟮目尚蟹桨甘亲羁扇〉?。相反，具有最小值的可行方案是最差的。

2.3 模型建立

為了有效地處理2.1部分的針對(duì)決策信息和屬性權(quán)重由語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)表示的多屬性群決策問(wèn)題，下面利用PF-TODIM方法進(jìn)行研究，該方法的關(guān)鍵在于考慮了決策者的有限理性。

表1 語(yǔ)言變量與PFNs對(duì)應(yīng)關(guān)系

(12)

由決策組εk(k=1,2,…,n)給出屬性Cj(j=1,2,…,m)的語(yǔ)言權(quán)重為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，屬性權(quán)重最終通過(guò)表2來(lái)轉(zhuǎn)化。

表2 語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系

步驟2群決策矩陣的集結(jié)。群決策中，決策者εk(k=1,2,…,n)給出決策權(quán)重為σk(k=1,2,…,n)。所有決策者的決策信息通過(guò)PFWGHM算子進(jìn)行集結(jié)，記為χ=(xij)l×m，其中

xij=(uAi(Cj),vAi(Cj),πAi(Cj)),i=1,2,…,l；j=1,2,…,m

相應(yīng)地，χ=(xij)l×m表示為：

(13)

步驟5取θ=2.25，利用式(11)～式(13)計(jì)算TODIM方法中的優(yōu)勢(shì)度ψ(Ai,Ak)(i,k=1,2,…,l)和前景值ζi(i=1,2,…,l)。

步驟6對(duì)所有可行方案進(jìn)行排序。依據(jù)總前景值ζi越大，方案Ai越優(yōu)，確定最優(yōu)方案。

3 實(shí)例和對(duì)比分析

3.1 實(shí)例分析

表3 第1類決策組決策矩陣

表4 第2類決策組決策矩陣

表5 第3類決策矩陣

步驟1利用算子集結(jié)為PEN-群決策矩陣，得出

表6 PFN-群決策矩陣

步驟2由于C1，C2，C3，C4是效益型屬性，而C5是成本型屬性， 表6轉(zhuǎn)化為表7。

表7 規(guī)范化畢達(dá)哥拉斯群決策矩陣

步驟3屬性權(quán)重的確定。結(jié)合表2中語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)和畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)(PFNs)之間的關(guān)系，給出屬性權(quán)重信息如表8，由集結(jié)算子式(5)、得分函數(shù)和權(quán)重性質(zhì)計(jì)算得屬性權(quán)重ω：ω1=0.20,ω2=0.10,ω3=0.25,ω4=0.23,ω5=0.21。

表8 PFNs表示的屬性權(quán)重信息

步驟4通過(guò)式(10)計(jì)算方案Ai相對(duì)方案Ak的總優(yōu)勢(shì)度，結(jié)果見(jiàn)(表9)。

表9 方案Ai相對(duì)方案Ak的總優(yōu)勢(shì)度

步驟5利用式(11)計(jì)算方案A1的前景值A(chǔ)1=0.59，A2=0.00，A3=1.00，A4=0.55，A5=0.35。根據(jù)方案前景值越大方案越優(yōu)的原則，對(duì)所有備選方案進(jìn)行從優(yōu)到劣排序，結(jié)果為：A3?A1?A4?A5?A2。

3.2 對(duì)比分析

筆者利用文獻(xiàn)[11～13]中涉及的方法對(duì)3.1節(jié)實(shí)例進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[11]采用畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS方法進(jìn)行備選方法優(yōu)選排序，文獻(xiàn)[12]采用基于畢達(dá)哥拉斯相對(duì)貼近度和交叉信息熵的群決策方法，文獻(xiàn)[13]采用基于畢達(dá)哥拉斯相對(duì)距離和信息可能度的群決策方法。結(jié)果表明，畢達(dá)哥拉斯模糊TODIM方法和文獻(xiàn)[11～13]中得到的排序結(jié)果有些不同(表10)，筆者采用的畢達(dá)哥拉斯模糊TODIM方法得到的A1?A4，而文獻(xiàn)[11～13]得到的是A4?A1。導(dǎo)致不一致的原因在于筆者本次研究考慮了決策者的心理行為因素，而文獻(xiàn)[11～13]是在決策者完全理性的情況下決策的。在現(xiàn)實(shí)中，對(duì)于不完整的信息或其他一些因素，決策者通常不能提供準(zhǔn)確的偏好。也就是決策者在某種程度上是不合理的。畢達(dá)哥拉斯模糊TODIM方法可以合理地描述決策者在風(fēng)險(xiǎn)下的心理行為，從而有效地處理上述問(wèn)題。

表10 多屬性群決策方法比較

4 結(jié)論與討論

由于畢達(dá)哥拉斯模糊集比直覺(jué)模糊集更易于處理現(xiàn)實(shí)世界中的模糊信息，筆者采用畢達(dá)哥拉斯模糊集探討了語(yǔ)言多屬性群決策問(wèn)題。首先，由于決策有限理性，借助得分函數(shù)等改進(jìn)TODIM的總優(yōu)勢(shì)度，進(jìn)而適用于畢達(dá)哥拉斯決策環(huán)境，拓展了TODIM的適用范圍。其次，考慮到Heronian算子具有優(yōu)良的性質(zhì)，比如捕獲變量之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合Heronian算子建立畢達(dá)哥拉斯模糊群決策方法，使集結(jié)信息更加準(zhǔn)確合理。最后，該方法應(yīng)用到遠(yuǎn)程會(huì)診協(xié)同服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)中，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的合理性和有效性。該方法有望應(yīng)用于其他群決策環(huán)境，如工業(yè)工程、應(yīng)急決策、商業(yè)管理等。對(duì)于TODIM方法，屬性權(quán)重的準(zhǔn)確與否至關(guān)重要，今后應(yīng)進(jìn)一步探討畢達(dá)哥拉斯模糊決策中屬性權(quán)重的確定方法。