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        一類具有分布時滯Emden-Fowler方程的振動性

        2020-03-12 07:30:14邸聰娜
        河北科技師范學院學報 2020年4期
        關鍵詞:時滯情形矛盾

        邸聰娜,滕 博

        (河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院,河北 秦皇島,066004)

        由于Emden-Fowler型微分方程被廣泛地應用于許多重要領域,如核物理學、天體物理、流體力學等,而引起了學者們極大的關注,并且取得了一系列成果[1~7]。

        筆者考慮討論一類二階Emden-Fowler型分布時滯微分方程

        (1)

        (H5)f(t,u)∈C([t0,∞]×R,R),存在函數(shù)q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞)),使得|f(t,u)|≥q(t,ξ)|uβ|,β>0。

        1 引 理

        2 主要結(jié)果及證明

        為了方便起見,引入下列記號

        定理2設條件(H1)~(H5)成立,且存在函數(shù)φ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得當α≥β時,滿足

        (2)

        當α<β時,滿足

        (3)

        (4)

        證明反證法。設方程(1)存在一個非振蕩解x(t),不妨設x(t)為最終正解(當x(t)為最終負解時,令y(t)=-x(t),則類似可證),則存在t1≥t0,使得當t≥t1時,x(t)>0,x(τ(t,ξ))>0,x(σ(t,ξ))>0。由函數(shù)z(t)的定義有z(t)≥x(t)>0(t≥t1),且由條件(H5)得到

        (5)

        (5)式說明r(t)|z′(t)|α-1z′(t)嚴格單調(diào)減少且最終定號,進而z′(t)也最終定號,所以z′(t)最終為正或最終為負,故只要考慮下列2種情形:

        (Ⅰ)z′(t)>0(t≥t1);(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。

        令u→∞,則有

        (6)

        (7)

        另一方面,由函數(shù)z(t)的定義,(7)式及x(t)≤z(t)可得

        所以

        (8)

        作Riccati變換

        (9)

        顯然,w(t)>0(t≥t1)。對(9)式兩邊求導并利用(5)(8)式及r(t)(z′(t))α≤r(σ(t,ξ))(z′(σ(t,ξ)))α,得

        (10)

        當α≥β時,由于當t≥t1時,z(t)>0,z′(t)>0,所以當t≥t1時

        z(σ(t,ξ))≥k1

        (11)

        (12)

        于是,利用(9)(11)(12)式,由(10)式得

        (13)

        這與(2)式矛盾。

        當α<β時,由(10)式,并利用(9)(11)及引理,類似地可得

        (14)

        兩邊從t1到t積分,得

        這與(3)式矛盾。

        情形(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。因為r(t)|z′(t)|α-1z′(t)=r(t)(-z′(t))α-1z′(t)在[t1,∞)上嚴格單調(diào)減少,故r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t)(-z′(t))αz′(t),s≥t≥t1,即z′(s)≤r1/α(t)z′(t)r-1/α(s),s≥t≥t1,同情形(Ⅰ)中的證明,可得到(6)(7)(8)式仍成立。作Riccati變換

        (15)

        則v(t)<0(t≥t1),由(15)式,并注意到(5)式,則有

        (16)

        根據(jù)(5)式,當s≥t1時,有

        r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t1)(-z′(t1))α-1z′(t1)=-k(k>0是常數(shù))

        (17)

        若α>β,由z(t)>0,z′(t)<0(t≥t1)得,z(t)≤z(t1)=M,即zβ-α(t)≥Mβ-α。

        若α=β,則zβ-α=1,注意函數(shù)π(t)的定義,于是就有

        zβ-α(t)≥π(t)

        (18)

        因為z′(t)<0,故由(8)式可知

        (19)

        利用ψ(t)的定義,由(18)(19)式可得

        =ψ(t)

        將之代入(16)式,則有

        (20)

        (20)式兩邊同乘(t-s)w后積分,得

        這與條件(4)矛盾。證畢。

        3 結(jié) 論

        具有分布時滯微分方程的振動理論是微分方程振動理論的重要內(nèi)容。本次研究利用Riccati變換、不等式放縮技巧以及分類討論等方法討論了分布時滯方程(1)在非正則條件下的振動準則,并且去掉了對r′(t)>0的限制。所得結(jié)果在豐富了該類方程已有結(jié)論的同時,也擴大了該類方程在生物學、經(jīng)濟學以及物理學等方面的應用范圍。

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