譚驥

【摘要】本文主要介紹了反證法及反證法的常用場合，本文把反證法的常用場合分為六點，分別是：① 命題結構采取否定形式，結論反面卻是肯定判斷;②有關唯一性的問題;③ 命題結論是“至多”“至少”的形式;④ 命題結論涉及無限集或數(shù)目不確定的對象;⑤ 某些起始命題;⑥ 命題結論的反面較結論本身具體、簡單，直接證明難以下手時.

【關鍵詞】反證法;應用;場合

曾有數(shù)學家贊揚反證法是“數(shù)學家最精良的武器之一”，它在數(shù)學證題中確有奇效.應該指出的是，多數(shù)題目用直接法證明較為簡捷.究竟什么類型的數(shù)學題可用這精良的武器去解決呢？對“若A則B”一類的數(shù)學命題，一般都可以用反證法來加以證明，當然沒有絕對的標準，但是遇到以下幾類問題時不妨試一試.

一、命題結構采取否定形式，結論反面卻是肯定判斷

例1?證明：方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

分析?根據(jù)題目的意思，我們知道，因為1996是個偶數(shù)，所以x2，y2必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，所以x，y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).我們根據(jù)這個條件去尋找矛盾.

證明：設原方程有整數(shù)解，則x，y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).

（1）若x，y同為偶數(shù)，令x=2m，y=2n，（m，n∈Z）則

4m2+4n2=1996，即m2+n2=499，①

滿足①的m，n必須是一個為偶數(shù)，一個為奇數(shù).

令m=2m′，n=2n′-1（m′，n′∈Z）代入①得

4m′2+4n′2-4n′+1=499，

即4（m′2+n′2-n′）=498.②

②的左邊是4的倍數(shù)，而右邊不是4的倍數(shù)，矛盾，故①不成立，從而原方程沒有偶數(shù)解.

（2）若x，y同為奇數(shù)，令x=2m-1，y=2n-1（m，n∈Z）則

4（m2+n2-m-n）=1994.③

③的左邊是4的倍數(shù)，而右邊不是4的倍數(shù)，故原方程沒有奇數(shù)解.

由（1）（2）知，原方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

二、有關唯一性的問題

例2?兩條直線相交，只有一個交點.

已知：a，b為兩相交直線.

求證：a，b只有一個交點.

證明?假定兩直線a與b不止有一個交點，則至少交于兩點.設這兩個交點為A，B兩點.這就是說，經(jīng)過A，B兩點可以作兩條直線a，b，這和公理“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾.故原命題成立.兩直線相交，只有一個交點.

三、命題結論是“至多”“至少”的形式

例3?設△ABC不是正三角形，則在∠A，∠B，∠C中至少有一個大于60°.

分析?學生們在做這類題的時候反設容易出錯，由題目我們知道，至少有一個內(nèi)角不小于60°的意思是：∠A，∠B，∠C中，有一個不小于60°，或者有2個不小于60°，或者有3個不小于60°.那么，它的反面當然是有0個不小于60°，即∠A，∠B，∠C都小于60°.

證明?假設∠A，∠B，∠C都是不大于60°的角，則∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°.

從而∠A+∠B+∠C≤180°，

要使上式的等號成立，只能是∠A=∠B=∠C=60°.

于是，依題設△ABC不是正三角形，從而推出∠A+∠B+∠C<180°.

這與三角形的三個內(nèi)角的和為180°相矛盾.

因此，原命題成立.

四、命題結論涉及無限集或數(shù)目不確定的對象

例4?證明素數(shù)有無限多個.

證明?假設素數(shù)是有限個，則必有最大的素數(shù).記此最大的素數(shù)為p，作n=（2·3·5·7…p）+1.

n被任一個素數(shù)除時它的余數(shù)必等于1，即n除掉1與n外已無其他的約數(shù).因此，n是個素數(shù)且是比p大的數(shù).但這是與p為最大的素數(shù)相矛盾的，故原命題成立.

五、某些起始命題

例5?在同一平面內(nèi)設有四條直線a，b，c，d.若a與b相交，c⊥a，d⊥b，則c與d也相交.

證明?假設c∥d.因為a⊥c，所以a⊥d;又因為b⊥d，所以a∥b.這與已知條件a與b相交矛盾，故c與d也相交.

六、命題結論的反面較結論本身具體、簡單，直接證明難以下手時

例6?在△ABC中，若tgA，tgB，tgC成等比數(shù)列，求證：△ABC為銳角三角形.

分析?從題目給我們的已知條件，我們沒法計算出∠A，∠B，∠C都是小于90度的角，所以我們只能從別的方面入手，因為tgA，tgB，tgC成等比數(shù)列，所以我們不妨從這方面進行考慮.

證明?由條件知tg2B=tgA·tgB>0，則A，C均為銳角.設B為鈍角，即tgB<0，則由tgA+tgC≥2tgA·tgC=2tg2B=-2tgB，得tgA+tgB+tgC≥-tgB>0.

但另一方面，在任意三角形中，有tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC<0.

這樣就導致矛盾，故假設不成立，因此，B為銳角，△ABC為銳角三角形.

七、總?結

反證法的用處很大，它不僅應用在初等數(shù)學中，還大量應用在高等數(shù)學中，應用反證法要注意以下幾點：1.推理過程必須完全正確.2.決不能忽視原命題的題設條件，否則可能無法推出錯誤，或者無法斷定所推導出來的結論是否是謬論.3.在應用反證法時，有時要做些準備工作，為應用反證法創(chuàng)造條件.4.在否定結論時，要分析可能有的各種情況，若有兩種或兩種以上的情況，要應用窮舉法，不能有遺漏.

反證法是一種簡明實用的數(shù)學證題方法，也是一種重要的數(shù)學思想.反證法的獨特思維方式和證題方法對提高學生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的思想素質(zhì)有重要的意義.