陳 璽

(甘肅省隴南市成縣城關(guān)中學(xué) 742500)

開放性數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)以及在近二十年來迅速普及，已被人們認為是最富有教育價值的一種數(shù)學(xué)題型.開放性數(shù)學(xué)問題的教學(xué)能真正地達到“教學(xué)是師生經(jīng)驗的展現(xiàn)與交流對話；教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、促進者、組織者及引導(dǎo)者”，本能地體現(xiàn)師生互動.同時，教學(xué)還能給學(xué)生更多自主思考的空間，讓學(xué)生多一份感悟，多一份理解，并提供更多的創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)新知識的機會.

開放性數(shù)學(xué)問題是相對于傳統(tǒng)的封閉問題而言的，是指構(gòu)成問題的背境材料、結(jié)論、解題依據(jù)和解題方法四個要素中缺少某些要素的命題.若缺少的要素是假設(shè)，則為條件型開放題；若缺少的要素是判斷，則為結(jié)論型開放題；若缺少的要素是推理或解法等，則為策略型開放題.有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都要求主體在情境中自行設(shè)定與尋找，多方面、多角度、多層次地探索，則稱為綜合型開放題.

例1為使下列各式可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi))，a，p分別可以取哪些整數(shù)?

(1)x2+ax-18;(2)x2+7x+p.

分析第(1)小題中a的確定與-18的因數(shù)有關(guān)．

-18=1×(-18)=(-1)×18 =2×(-9)=(-2)×9 =3×(-6)=(-3)×6.

得到a可以取6種不同的數(shù)值，即±17，土7，±3．

第(2)小題中p的確定與7是哪兩個整數(shù)的和有關(guān)．

7=3+4=2+5=1+6=0+7=(-1)+8=(-2)+9=(-3)+10=…， 所以p可以取無窮多個整數(shù)值，如12，10，6，0，-8，-18，-30等等.

由上例可知，在講十字相乘法(新教材已刪除)時可歸納：

(1)p是已知整數(shù)，對x2+ax+p進行分解時，因p的質(zhì)因數(shù)有限，故a也有限；(2)a是已知整數(shù)，對x2+ax+p進行分解時，因a表示為兩個整數(shù)的和的方法數(shù)是無窮的，故p也是無窮的.

仿照此類型，可設(shè)計出很多開放問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

例2如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC=BD,AC、BD相交于P，根據(jù)這些條件，你能得出哪些結(jié)論?

解根據(jù)在同圓中等弧、等弦及圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)性質(zhì)及三角形全等或相似等性質(zhì)，立即可得：

(1)弧AC=弧BD,弧AD=弧BC;(2)△APD≌△BPC;(3)DC∥AB，△PCD∽△PAB;(4)四邊形ABCD是等腰梯形;(5)∠ADC+∠ABC=180°,∠DCB+∠DAB=180°.

例3今有一正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，并把這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分.若道路的寬度忽略不計，請設(shè)計三種不同的修筑方案．(山東省中考題)

解(1)連結(jié)兩條對角線；(2)連結(jié)兩組對邊中點；(3)過正方形對稱中心任意作兩條互相垂直的直線．

分析這是一道策略開放題，(1)、(2)最易想到，(3)是創(chuàng)新畫法，顯然(1)、(2)是(3)的特殊情況.

如將本題“大小相等”去掉，設(shè)計的方案是極多的．

例4如圖，當(dāng)△ABC≌△ADC時，顯然有∠BAC=∠DAC,AB=AD,BC=DC.

問題設(shè)計：在△ABC和△ADC中，有下列三個論斷：

①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．

以其中兩個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：____.(陜西西安市中考題)

分析此題基本上是將例4中的條件與結(jié)論對調(diào)，進行設(shè)計的條件及結(jié)論均開放的題目，要求具有較高的分析能力.

三個論斷中任何兩個都可以作為條件，剩余一個論斷則是結(jié)論，顯然，可構(gòu)造出3個命題：①、②?③；②、③?①；①、③?②．

其中2個是正確的，1個是錯誤的.考慮到“SSA”不能判定全等，故正確的命題是①、②?③或①、③?②．

由以上可看出，開放性數(shù)學(xué)問題的設(shè)計，必須在嚴(yán)格的邏輯性前提下，或是將原題條件抽象化，變通相應(yīng)字母或項；或是在原題設(shè)上進行引伸；或是在原題結(jié)論上拓廣；或是將題設(shè)部分與結(jié)論互調(diào)等等.既要對開放性問題進行“開放度”的把握和引導(dǎo)，又要對封閉題進行改造，讓它適度開放.“開放”多少，“開放”多深，還要看學(xué)生的知識基礎(chǔ)思維能力以及教材的內(nèi)容等.

因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，精心設(shè)計，合理、恰當(dāng)?shù)匾M開放式教學(xué)，能充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，學(xué)生的思維被全面激活，學(xué)生的概括能力和遷移能力得到提高，更好地反映學(xué)生的高層次思維，從而更有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力.同時，開放性數(shù)學(xué)問題的設(shè)計對教師的業(yè)務(wù)能力、 綜合素質(zhì)也是一個極大的挑戰(zhàn).