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        重視運(yùn)用對(duì)稱 解決代數(shù)問(wèn)題

        2020-03-02 02:29:48楊紅余
        數(shù)理化解題研究 2020年5期
        關(guān)鍵詞:解題利用

        楊紅余

        (甘肅省平?jīng)鍪械谒闹袑W(xué) 744000)

        數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含大量的對(duì)稱思想,借助對(duì)稱思想,利用對(duì)稱的特性,可以實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)中較典型的問(wèn)題的求解.針對(duì)涉及到對(duì)稱的問(wèn)題,要對(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵字眼保持一定的敏感性,如題目中包含存在關(guān)系、邏輯關(guān)系,尤其是位置關(guān)系的對(duì)稱時(shí),就可以優(yōu)先考慮利用對(duì)稱解決問(wèn)題.

        一、利用對(duì)稱性,求解函數(shù)最值問(wèn)題

        函數(shù)最值的求解方法比較多,可借助具體的數(shù)值來(lái)確定最值大小,也可以借助有關(guān)函數(shù)圖形進(jìn)行考慮.每種方法有其使用的范圍,當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)兩個(gè)甚至多個(gè)代數(shù)和是一個(gè)定值,求解滿足一定關(guān)系式的函數(shù)值時(shí),可以考慮從對(duì)稱的角度去解決.

        例1已知a>0,b>0,且z=ab,若a+b=2時(shí),求z的最大值.

        解析觀察發(fā)現(xiàn)a+b=2,即意味著a,b的和是個(gè)定值,因此當(dāng)a越大時(shí),對(duì)應(yīng)的b就越小;a越小時(shí),相對(duì)應(yīng)的b的取值就越大.若是a,b兩個(gè)取值相等,則意味著a,b在關(guān)系上是相互對(duì)稱的.因此,可以巧妙借助a,b這種相互對(duì)稱的關(guān)系,可以令a=1-r,b=1+r,此時(shí)始終滿足a+b=2的條件.最后,z=ab就等價(jià)轉(zhuǎn)化為z=(1-r)(1+r)=1-r2.由于r2永遠(yuǎn)是不小于0的,所以只有r=0時(shí),z能夠取到最大值,是1.具體解題如下:設(shè)a=1-r,b=1+r,則z=ab=(1-r)(1+r)=1-r2,又r2≥0,所以z=1-0=1,即z的最大值是1.

        反思此題借助對(duì)稱性,將a,b用特殊的式子進(jìn)行表示,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化.若采用常規(guī)的方法用b=2-a進(jìn)行表示,并代入z=ab中,結(jié)合自變量a>0以及二次函數(shù)的性質(zhì)也能求解.但有些同學(xué)會(huì)將z=-a2+2a開口方向弄錯(cuò),進(jìn)而造成結(jié)果的錯(cuò)誤.如果問(wèn)題變成a,b,c,d均大于0,且a+b+c+d=2,求z=abcd的最大值時(shí),利用對(duì)稱性解題就比較簡(jiǎn)單.

        二、依靠對(duì)稱性,判斷函數(shù)值的大小

        有關(guān)兩個(gè)函數(shù)值的大小,常常是將兩個(gè)函數(shù)值求出來(lái),然后再斷大??;也可以借助圖象進(jìn)行輔助.但是,當(dāng)函數(shù)值不便求解,甚至無(wú)法根據(jù)已知條件求出具體值時(shí),不妨借助函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì),進(jìn)行綜合考慮.

        反思借助對(duì)稱判斷點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的位置關(guān)系,然后借助位置判斷大小,不過(guò)還需要掌握函數(shù)y=x2-3x-2的圖象開口方向,然后才能借助距離判斷函數(shù)值大小.

        三、運(yùn)用對(duì)稱性,證明不等式

        在許多代數(shù)問(wèn)題中都包含對(duì)稱思想,從對(duì)稱角度出發(fā),借助對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì),可以降低不等式的證明難度.

        綜上所述,在某些具有對(duì)稱性的代數(shù)問(wèn)題中,巧妙地運(yùn)用對(duì)稱性,把握對(duì)稱的特質(zhì),往往能夠使得問(wèn)題求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明了,實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題方法與思路的優(yōu)化.

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