陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海200444)

隨著高等教育由精英教育向大眾教育發(fā)展，人才培養(yǎng)的寬口徑、厚基礎(chǔ)愈發(fā)成為社會要求。通識教育在滿足這種要求中起著重要作用。通識教育通常具有基礎(chǔ)性、整合性和普適性，具體課程既有經(jīng)典學(xué)科的簡要概述，也有新興研究課題的通俗闡述。非線性動力學(xué)就屬于后者。非線性動力學(xué)已經(jīng)成為人類知識大廈中的重要結(jié)構(gòu)，是理解多種自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的必要工具，也是一些工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的因素，具有基礎(chǔ)性。非線性動力學(xué)是數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)等多學(xué)科的交叉，提供了分析眾多具體學(xué)科領(lǐng)域包括社科人文領(lǐng)域新的視角和方法，具有整合性。非線性動力學(xué)也是放之四海而皆準(zhǔn)的客觀知識，不局限于特定文化和族群，具有普適性。因此，具有基礎(chǔ)性、整合性和普適性的非線性動力學(xué)已經(jīng)成為通識，應(yīng)該以恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)入通識課堂。

2011年，配合上海大學(xué)大類招生，開設(shè)非線性動力學(xué)方面的通識課，課程名稱自定為《混沌與非線性思維》。該課程力圖滿足學(xué)校對通識課程的要求。課時(shí)按學(xué)校統(tǒng)一規(guī)定為20 學(xué)時(shí)。不預(yù)先假定學(xué)生學(xué)過任何大學(xué)課程(零起點(diǎn))，由淺入深地展開；以學(xué)生為主體，課程設(shè)計(jì)考慮學(xué)生需要，學(xué)生的積極參與是課程不可或缺的部分；思考和分析現(xiàn)實(shí)生活問題，讓學(xué)生有機(jī)會從各種角度進(jìn)一步發(fā)展自身興趣。該課程迄今共講過15輪。每輪上課人數(shù)大多在100到150人之間，最多一次232 人選課，總聽課學(xué)生超過1800人。新生來自理工、社科、經(jīng)管、藝術(shù)等大類，二年級以上學(xué)生來自上海大學(xué)各個(gè)學(xué)院，包括理學(xué)、通訊、計(jì)算機(jī)、機(jī)自、材料、環(huán)化、土木、生科、經(jīng)濟(jì)、管理、圖書情報(bào)檔案、社科、外語、文學(xué)、美術(shù)、影視、中歐等學(xué)院，幾乎覆蓋學(xué)校各專業(yè)。

為探討非線性動力學(xué)的普及和整合科學(xué)新進(jìn)展加強(qiáng)通識課程，本文分析總結(jié)“混沌與非線性思維”課程建設(shè)情況，包括課程內(nèi)容、教學(xué)特點(diǎn)、學(xué)生參與和反饋影響幾個(gè)方面。希望該課程建設(shè)的實(shí)踐與思考不僅有助于向各專業(yè)本科生普及非線性動力學(xué)知識，也可供通俗處理其他力學(xué)新興研究領(lǐng)域如散體力學(xué)、微納米力學(xué)和力學(xué)信息學(xué)等借鑒參考。

1 課程內(nèi)容

在繁雜豐富的非線性動力學(xué)知識中，本課程突出一個(gè)主題和一個(gè)副題。主題是混沌的科學(xué)概念及文化影響，副題為既是數(shù)學(xué)模型也是思維模式的非線性。因此課程名稱為“混沌與非線性思維”?；煦绲南嗫臻g結(jié)構(gòu)往往具有分形特性，系統(tǒng)隨參數(shù)變化而出現(xiàn)混沌，通常還伴隨著分岔。因此分形和分岔也是課程的教學(xué)內(nèi)容。

本課程的教學(xué)目標(biāo)是，闡述混沌、分形、分岔等科學(xué)概念及其歷史演化和文化影響，強(qiáng)調(diào)非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，使得學(xué)生能從非線性的角度觀察和思考廣泛存在于自然和社會中的不可預(yù)測和不確定現(xiàn)象。

課程包括引言、蟲口模型、混沌、分岔、分形、學(xué)術(shù)和文化影響和結(jié)束語。課程本身以非線性展開，具有漸次放大細(xì)化的自相似結(jié)構(gòu)。引言中最簡明地提到混沌、分岔、分形和非線性。接著以蟲口模型為例進(jìn)一步說明非線性、穩(wěn)定性、分岔和混沌，也涉及分形。隨后較為詳細(xì)地分別闡述混沌、分岔和分形，以及廣泛影響。最后用結(jié)束語回顧總結(jié)全課程。

引言2 學(xué)時(shí)，介紹課程主題和副題，說明混沌概念和影響后，重點(diǎn)解釋非線性，包括線性與非線性、線性模型的意義與局限、線性思維與非線性思維、追求簡單性與探索復(fù)雜性。第一講蟲口模型2 學(xué)時(shí)，簡要說明模型建立后，重點(diǎn)分析其中的周期點(diǎn)及其穩(wěn)定性，說明穩(wěn)定性概念和判據(jù)，引入倍周期分岔和混沌的概念。第二講6 學(xué)時(shí)，闡述混沌概念及其演化，具體內(nèi)容有，中國和西方文化中的關(guān)于混沌的“言”與“意”；非線性動力學(xué)意義上的混沌，包括麥克斯韋(James Clerk Maxwell,1831-1879)、迪昂(Pierre Maurice Marie Duhem,1861-1916)等對初值敏感性的認(rèn)識，龐加萊(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，斯梅爾(Steven Smale, 1930- )馬蹄，洛倫茲(Edward Norton Lorenz, 1917-2008)方程，上田(Yoshisuke Ueda, 1936- )吸引子，混沌的李(李天巖, 1945-)-約克(James A. Yorke, 1941- )定義；混沌的物理實(shí)例與運(yùn)動的幾何表示。第三講分形4 學(xué)時(shí)，具體內(nèi)容有，自相似性、維數(shù)與分形；幾何中的分形，包括康托(Georg Cantor, 1845-1918)集及其空間推廣、科克(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924)曲線、謝爾賓斯基(Wac?aw Sierpiński, 1882-1969)三角形和地毯、門格爾(Karl Menger, 1902-1985)海綿和非規(guī)則幾何體維數(shù)分析；動力學(xué)中的分形；以及曼德布羅特(Beno?t Mandelbrot,1924-2010)集。第四講2學(xué)時(shí)，說明分岔與混沌，包括分岔概念、靜態(tài)分岔、動態(tài)分岔和進(jìn)入混沌的幾種典型路徑。第五講2 學(xué)時(shí)，概述物理和工程系統(tǒng)中的混沌及混沌對社科和人文的影響。最后結(jié)束語2 學(xué)時(shí)是全課的總結(jié)與回顧，并再次說明非線性思維，包括非線性系統(tǒng)的特性及其對現(xiàn)實(shí)世界中不確定性的認(rèn)識和應(yīng)對。

教學(xué)素材大多數(shù)取自較為國際上流行的通俗讀物[1-6]，其中多數(shù)用的是漢譯本[2-5]。這些書也是本門課程的主要參考書。

2 課程特點(diǎn)

本通識課程用通俗易懂的方式介紹現(xiàn)代非線性動力學(xué)的基本概念，使得學(xué)生對這一蓬勃發(fā)展的研究領(lǐng)域有初步的了解。同時(shí)說明非線性動力學(xué)的文化影響，以開闊視野、活躍思路，提供學(xué)生思考問題的新視角。具體有下列主要特色。

首先是通俗地闡述非線性動力學(xué)的核心概念。本課程圍繞非線性動力學(xué)的核心概念混沌展開，同時(shí)也涉及與分形和分岔概念，特別是兩者與混沌概念的關(guān)聯(lián)，即奇怪吸引子和進(jìn)入混沌路徑。所需要基礎(chǔ)知識不超過聽課學(xué)生正在學(xué)習(xí)的微積分和大學(xué)物理。討論兩類典型系統(tǒng)中的周期和混沌運(yùn)動，離散時(shí)間系統(tǒng)蟲口模型和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)非線性振子；用直觀的幾何表示，包括時(shí)間歷程、相平面圖和龐加萊映射區(qū)分周期性運(yùn)動和混沌運(yùn)動；突出混沌的初值敏感性、非周期性和長期不可預(yù)測性。分形著重說明自相似性和分?jǐn)?shù)維數(shù)，計(jì)算了規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)的維數(shù)，并說明這些計(jì)算方法向非規(guī)則結(jié)構(gòu)的推廣。用物理實(shí)例說明分岔，包括靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔；從動態(tài)分岔的角度解釋生活和工程中的動力學(xué)現(xiàn)象，例如蕩秋千和繩系衛(wèi)星的子星減振。

其次是說明非線性動力學(xué)的文化影響。非線性不僅是數(shù)學(xué)模型，也是種思維模式。在課程中說明現(xiàn)實(shí)世界的多樣性和不確定性。線性世界里“種瓜得瓜，種豆得豆”“一分耕耘，一分收獲”。習(xí)慣于整體為部分之和、投入產(chǎn)出成比例就落入了線性思維的窠臼。現(xiàn)實(shí)世界有時(shí)候呈現(xiàn)非線性的特征，“播下的是龍種，收獲的卻是跳蚤”“失之毫厘，差以千里”。非線性思維也許難以概括為具體的規(guī)則，最重要的是時(shí)刻保持開放的心態(tài)，以應(yīng)對各種可能性。除思維模式外，混沌等非線性概念也對文學(xué)藝術(shù)有一定影響。例如倍周期分岔圖用于時(shí)裝設(shè)計(jì)，分形圖用于美術(shù)裝飾，一些小說和電影中也有“蝴蝶效應(yīng)”等概念。

第三，強(qiáng)調(diào)概念的歷史演化過程。本課程同時(shí)具有科學(xué)史的屬性。在歷史與邏輯的雙重變奏中，讓學(xué)生理解非線性動力學(xué)的核心概念。對于混沌概念，詳盡地分析了其歷史演化過程，揭示不穩(wěn)定性、非周期性、不可預(yù)測性和初值敏感性是如何逐漸成為其內(nèi)涵。對于分形概念，說明了數(shù)學(xué)工具分?jǐn)?shù)維的起源以及曼德布羅特的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。對于分岔概念，說明了最早的分岔問題，壓桿屈曲。在教學(xué)中介紹了非線性動力學(xué)開創(chuàng)者如龐加萊, 斯梅爾, 洛倫茲, 費(fèi)根鮑姆(Mitchell Feigenbaum, 1944- ), 曼德布羅特等的生平和貢獻(xiàn)，并且推薦他們的經(jīng)典論文[7-12]、評論性文章[13]或者回顧性文章[14]供學(xué)生課外閱讀。

第四，注重用經(jīng)典和文學(xué)語言幫助學(xué)生理解科學(xué)概念。講解混沌概念時(shí)，從中外典籍中引用了亞里士多德《論天》中的“在起點(diǎn)中微不足道的東西在終點(diǎn)中就會變得舉足輕重?！薄抖Y記·經(jīng)解》中的“差若豪厘，謬以千里”，《尚書·盤庚上》中的“若火之燎于原，不可向邇，其猶不可撲滅”，《五燈會元》中的“毫厘有差，天地懸隔”，蘇軾的詩句“竹中一滴曹溪水，漲起西江十八灘?！睘閷ψ置嬉馑加懈逦恼J(rèn)識，分別借助《辭源》和《牛津大字典》解釋“混沌(chaos)”的詞義，并引征《莊子·應(yīng)帝王》《三五歷記》《白虎通·天地》和唐詩中有“混沌”的內(nèi)容，還引征了《神譜》《變形記》《圣經(jīng)》等中英文譯本中有“混沌(chaos)”的內(nèi)容。講解分形概念的自相似性時(shí)，布萊克(William Blake) 詩《天真的預(yù)言(Auguries of Innocence)》的片段，“一花一世界，一沙一天國，君掌盛無邊，剎那含永劫?！敝v解分岔概念時(shí)，引用《易傳·系辭上》中的“易有大極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”類比倍周期分岔。

最后，重視信息技術(shù)應(yīng)用，收集相關(guān)視頻使抽象的概念可視化。我們制作了基于磁耦合雙擺的玩具體操運(yùn)動員[15]的視頻和一種復(fù)合擺教具[16]的視頻，形象地展示了混沌運(yùn)動。還在網(wǎng)絡(luò)上收集自由雙擺、洛倫茲水輪等混沌運(yùn)動視頻在課堂或課件播放。為提高學(xué)生的興趣，還從影視作品如《侏羅紀(jì)公園》和《生活大爆炸》中截取部分視頻，讓劇中人物解釋混沌概念。

3 學(xué)生參與

學(xué)生的投入與參與是課程取得良好效果的重要因素。在課程開始時(shí)，就引用先賢名言說明該課程的特點(diǎn)和注意事宜。“人皆知有用之用，卻不知無用之用也?！碧嵝褜W(xué)生注重知識及其增長方式，不過早、過分地糾結(jié)于所學(xué)知識的具體用處?！白x書切戒在慌忙，涵泳工夫興味長。未曉不妨權(quán)放過，切身須要急思量?！苯ㄗh學(xué)生積極嘗試新的學(xué)習(xí)方式。關(guān)注受到的啟發(fā)和能夠理解的內(nèi)容，而不郁悶于不明白的內(nèi)容。針對班上文理科學(xué)生都有的情況，倡導(dǎo)“兩腳踏中西文化，一心評宇宙文章?！北３珠_放心態(tài)，不執(zhí)著于現(xiàn)有已知的界限，文理之分、對錯(cuò)之分、中外之分等。

考察和考核也是調(diào)動學(xué)生積極性的手段。期末成績按學(xué)校要求用五分十三等計(jì)分。課程成績由三部分構(gòu)成。一個(gè)讀書報(bào)告，占40%；一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)，占45%，課堂上5 分鐘的PPT 分享與討論，占10%。提交的讀書報(bào)告或?qū)W習(xí)，如果與書刊網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)重合超過20% 又無引用說明不計(jì)分。盡管教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)這一原則，幾乎每輪都有學(xué)生因重復(fù)率過高而掛科。讀書報(bào)告和學(xué)習(xí)總結(jié)評分取決于內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、提交時(shí)間等。

除了前兩輪讀書報(bào)告為自由閱讀外，后面幾輪都要求閱讀參考書或者推薦讀物的指定部分，一般是數(shù)頁到十余頁。全班通常分6～8 組，按學(xué)號的同余數(shù)確定組別，每組有中英文材料，任選其一。讀書報(bào)告結(jié)構(gòu)統(tǒng)一為內(nèi)容概述、觀點(diǎn)評論和閱讀體會三部分，在第八周結(jié)束之前提交電子版。

學(xué)習(xí)總結(jié)限制篇幅在一千漢字之內(nèi)。總結(jié)要求有過程回顧、內(nèi)容概述和收獲體會三部分，也可以有與成績無關(guān)的建議和意見部分。第10 周上課時(shí)提交紙質(zhì)版，作為學(xué)校要求歸檔的試卷。

課堂上的PPT 分享，要求與課程相關(guān)，淺顯、具體、生動。后來要求學(xué)生提前一周提交，教師審閱通過后安排報(bào)告。報(bào)告通常安排在最后三周。有些分享還是比較有趣的。例如通訊專業(yè)學(xué)生介紹他人的研究工作，用混沌算法的敏感性和遍歷性進(jìn)行圖像加密，特別是由于遍歷性，加密圖像損壞后，均勻地降低解密后圖像的質(zhì)量，但仍然可以辨認(rèn)。

4 反饋影響

該課程受到選課學(xué)生的歡迎。因教室限制班級人數(shù)只能在100 人或150 人時(shí)，選課人數(shù)都超出上限。有些學(xué)生在實(shí)名的課程總結(jié)或匿名的網(wǎng)上評論中，對該課程教學(xué)給予正面評價(jià)。

教學(xué)內(nèi)容及其處理得到同行肯定，他們多次邀請筆者開設(shè)講座。利用本課程的素材，準(zhǔn)備了一或兩學(xué)時(shí)的報(bào)告《混沌的科學(xué)概念和文化影響》，在十所高校為本科生或研究生講授。這些學(xué)校和報(bào)告時(shí)間為上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院(2012)、南京理工大學(xué)(2012)、沈陽航空航天大學(xué)(2013)、大連民族大學(xué)(2013)、蘇州科技學(xué)院(2013)、清華大學(xué)(2013)、紹興文理學(xué)院(2014)、上海大學(xué)錢偉長學(xué)院(2014)、廈門理工大學(xué)(2015)和哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) (2017)。在本課程素材基礎(chǔ)上，增加部分周期運(yùn)動的內(nèi)容，形成兩學(xué)時(shí)講座《周而復(fù)始與雜亂無章——淺談混沌與周期運(yùn)動》，在遼寧科技大學(xué)(2015)和福州農(nóng)林大學(xué)(2016)報(bào)告；并成為上海大學(xué)核心通識課“無處不在的力學(xué)”中的一講，在2019 年首次講授。應(yīng)用這些素材的兩學(xué)時(shí)講座《從單擺的等時(shí)性談起：周期、非線性與混沌》，作為上海交通大學(xué)致遠(yuǎn)學(xué)院課程“科學(xué)思想背后的小故事”中的一講，在2017 和2018 年兩次講授。

在課程進(jìn)行過程中，筆者對教學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)行總結(jié)思考，并在國內(nèi)外學(xué)術(shù)會議上交流和在國際期刊上發(fā)表。2012 年，在第23 屆國際力學(xué)家大會的力學(xué)教育分會場，筆者做了題為《教大學(xué)新生混沌的通識課》的口頭報(bào)告[17]。剛開課時(shí)，前兩屆聽課的學(xué)生主要是一年級學(xué)生。這是我們期待的情況，但后來高年級學(xué)生更有選課經(jīng)驗(yàn)，只有少數(shù)新生選修該課。前述口頭報(bào)告[17]的內(nèi)容加以充實(shí)后，2013年發(fā)表于《機(jī)械工程教育國際期刊》[18]。2013 年底，在高校力學(xué)課程教學(xué)系列報(bào)告會(即全國力學(xué)課程報(bào)告論壇)上，應(yīng)邀做了題為《“混沌與非線性思維”通識課建設(shè)》的大會報(bào)告[19]。

基于對該課程的通俗化處理，形成了一些科普性文章，固化教學(xué)內(nèi)容。例如通俗闡述混沌概念的《混沌淺釋》[20]和通俗解釋穩(wěn)定性概念的《穩(wěn)定性漫談》[21]。把從古代典籍中收集的有關(guān)混沌和初態(tài)敏感性的描述整理成文[22]，以便于其他同行在教學(xué)或科普中引用。此外，對教學(xué)中建議學(xué)生動手的一個(gè)混沌擺教具進(jìn)行了建模和仿真[21]。

5 總結(jié)

以上是“混沌與非線性思維”通識教育課程建設(shè)情況。該課程的教學(xué)聚焦于混沌、分形、分岔的科學(xué)概念和文化影響。課程的特點(diǎn)包括通俗地闡述科學(xué)概念、展現(xiàn)科學(xué)概念的文化影響、注重邏輯歷史統(tǒng)一、提升文化品位和追求生動形象。除聽課外，學(xué)生以課外閱讀、課堂分享和學(xué)習(xí)總結(jié)的方式參與教學(xué)過程。教學(xué)實(shí)踐表明，非線性動力學(xué)經(jīng)過適當(dāng)普及后能形成通識教育課程，并被各專業(yè)的本科生接受。