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        一道中考題的答題分析與教學(xué)建議

        2020-02-14 06:11:53孫勇
        理科考試研究·初中 2020年1期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)建議邏輯推理

        孫勇

        摘要:本文以2019年安徽省舍肥市中考數(shù)學(xué)試卷第22題為例,首先進(jìn)行試題背景分析與簡(jiǎn)要賞析,然后對(duì)其答題情況進(jìn)行分析,感悟數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的諸多問(wèn)題,并提出三點(diǎn)教學(xué)建議:一是注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的形式化轉(zhuǎn)換;二是注重邏輯推理能力的培養(yǎng);三是注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的浸潤(rùn)。

        關(guān)鍵詞:教學(xué)建議;數(shù)學(xué)語(yǔ)言;邏輯推理;數(shù)學(xué)思想

        1試題背景及呈現(xiàn)

        1.1試題背景

        近幾年,安徽省的中考數(shù)學(xué)試題在不斷創(chuàng)新中展現(xiàn)出其獨(dú)有的魅力和顯著的特色,獨(dú)樹(shù)一幟,“似曾相識(shí)燕歸來(lái),小園香徑獨(dú)徘徊”——今年的安徽省數(shù)學(xué)試卷在繼續(xù)保持原有風(fēng)格的基礎(chǔ)上做出了一些調(diào)整與創(chuàng)新,概括為以下三點(diǎn):一是增加了對(duì)于高一級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的知識(shí)、技能和方法的考查;二是注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,使教師和學(xué)生意識(shí)到依靠刷題和重復(fù)訓(xùn)練得高分是不可能的;三是基于數(shù)學(xué)教學(xué)承載著對(duì)于學(xué)生思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重任,因而有適度增加數(shù)學(xué)試卷難度的趨勢(shì),筆者認(rèn)為,今年的數(shù)學(xué)試題難度與近幾年相比無(wú)疑是較大的,其中第14題和第22題涉及函數(shù)問(wèn)題的壓軸題,考查了學(xué)生的抽象思維能力,整體的答題情況不容樂(lè)觀,引起教師對(duì)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的重視,基于此,筆者根據(jù)合肥市中考數(shù)學(xué)的閱卷情況,以第22題為例進(jìn)行簡(jiǎn)要分析:

        1.2原題呈現(xiàn)

        題目(安徽省2019年中考數(shù)學(xué)第22題)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.2),另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),

        (1)求k,a,c的值;

        (2)過(guò)點(diǎn)A(O,m)(O2+c的圖象交于B,c兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),記W=OA2+BC2,求W關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求W的最小值。

        1.3簡(jiǎn)要賞析

        本題一改往年二次函數(shù)壓軸題風(fēng)格,不再考查學(xué)生常見(jiàn)的利潤(rùn)最大值、面積最大值等問(wèn)題,而是讓學(xué)生走出“題?!?,關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)、突出學(xué)科特點(diǎn),注重?cái)?shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)以及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,著重考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力和理性思辨能力,能夠有效檢測(cè)出學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性以及計(jì)算、閱讀理解、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)等技能,從考查內(nèi)容上來(lái)看,本題作為函數(shù)壓軸題,著重考查了學(xué)生對(duì)于一次函數(shù)與二次函數(shù)基本概念的理解、函數(shù)圖象的性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系;同時(shí)還考查了一些與函數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn),如一元二次方程的解法、二次根式的運(yùn)算、分母有理化、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的配方等知識(shí),可以說(shuō)本題全方位地考查了學(xué)生的“四基”。

        2答題情況及分析

        2.1答題情況

        從合肥市中考數(shù)學(xué)閱卷數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)情況來(lái)看,第22題平均得分為6.65分,難度系數(shù)0.55.與總體難度系數(shù)0.72相比,得分率偏低,因而屬于壓軸型較難題,下面逐一分析此問(wèn)題的多種解法以及閱卷過(guò)程中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤,以期為后續(xù)的教學(xué)找到問(wèn)題的源頭。

        2.2答題分析

        第(1)問(wèn)的解法相對(duì)單一,絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于k值求解不存在問(wèn)題,但卻無(wú)法求解n,c的值,錯(cuò)因主要表現(xiàn)為對(duì)函數(shù)y=ax2+c圖象性質(zhì)不熟悉,未能意識(shí)到該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(O,c),代人一次函數(shù)即可求得c的值,從而陷入困境,所以教師對(duì)于二次函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該注重函數(shù)的本質(zhì),使學(xué)生對(duì)于一些基本函數(shù)圖象和特殊性質(zhì)以及它們之間內(nèi)在的聯(lián)系有更加形象透徹的理解(如y=AX2,y=AX2+c,y=ax2+bx,y=n(x+k)2),同時(shí)強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象之間的關(guān)系和性質(zhì)的生成過(guò)程;另外,在平時(shí)的教學(xué)中還要注意培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和良好的審題習(xí)慣,以避免一些學(xué)生由于漏看題干條件(如交點(diǎn)為二次函數(shù)頂點(diǎn))而錯(cuò)失本題的關(guān)鍵信息,

        第(2)問(wèn)的解法可以分為三步:第一步求出OA=m(或OA2=m2)的值;第二步用含m的代數(shù)式表示BC(或BC2)是本題的關(guān)鍵和難點(diǎn);第三步對(duì)W進(jìn)行配方求解最值。

        大多數(shù)學(xué)生都能直接求出第一步的答案,但學(xué)生的錯(cuò)誤率在第二步明顯比較高,這個(gè)過(guò)程著重考查學(xué)生的邏輯推理能力、計(jì)算能力,學(xué)生的做法主要有以下三種:

        其中,解法1主要是在含參數(shù)方程解法中出現(xiàn)問(wèn)題,分母有理化錯(cuò)誤導(dǎo)致兩個(gè)解無(wú)法解出,只有少數(shù)學(xué)生能夠完整求出;而一部分學(xué)生未采取分母有理化,后期通過(guò)平方運(yùn)算直接得到結(jié)果;還有一部分學(xué)生對(duì)分母有理化理解不清楚,更是不熟練平方運(yùn)算、根式運(yùn)算,直接造成出錯(cuò),解法2和解法3對(duì)學(xué)生的思維要求較高,采取這種方法的同學(xué)基本屬于思維能力較好,計(jì)算能力過(guò)關(guān)的學(xué)生,能獨(dú)立處理本題。

        在第三步中,二次函數(shù)求最大值屬于常見(jiàn)題型,但仍有學(xué)生寫(xiě)出了W關(guān)于m的解析式,在利用配方法求解過(guò)程中出錯(cuò),說(shuō)明其基本計(jì)算能力不過(guò)關(guān),當(dāng)然一部分學(xué)生通過(guò)公式法求得最值也體現(xiàn)了在求解二次函數(shù)最值問(wèn)題中方法的多樣性。

        從學(xué)生對(duì)于綜合性較強(qiáng)、對(duì)綜合能力要求較高的第(2)問(wèn)的答題情況來(lái)看,錯(cuò)誤點(diǎn)來(lái)源于基礎(chǔ)知識(shí),如不會(huì)解一元二次方程、未進(jìn)行分母有理化、二次根式運(yùn)算出現(xiàn)問(wèn)題、配方不完整等等,所以,基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的培養(yǎng)一直是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽略的任務(wù);同時(shí)在初三的復(fù)習(xí)中也要關(guān)注細(xì)節(jié)、關(guān)注基本知識(shí)點(diǎn)、關(guān)注知識(shí)的來(lái)源與生成,不可高估學(xué)生的能力;在新課的教學(xué)中更要一步一個(gè)腳印,不可人為拔高知識(shí)難度。

        3教學(xué)建議

        3.1注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的形式化轉(zhuǎn)換

        3.1.1強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確理解

        初中階段的數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要以形象、通俗易懂的呈現(xiàn)方式進(jìn)行表達(dá),學(xué)生在理解題意方面基本上沒(méi)有太大的障礙,而受應(yīng)試的影響,教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中容易忽視對(duì)概念的逐字逐句的理解與拓展,缺乏與高一級(jí)學(xué)段數(shù)學(xué)語(yǔ)言的銜接,更沒(méi)有進(jìn)行任何有針對(duì)性的訓(xùn)練,導(dǎo)致學(xué)生面對(duì)較為抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算、函數(shù)及圖象語(yǔ)言時(shí),無(wú)法理解題目中的信息,讀不出題目中所隱含的解題要領(lǐng)和條件,比如題目中常有“若a為實(shí)數(shù)”這樣的條件,學(xué)生大都對(duì)其忽略,認(rèn)為其對(duì)解題沒(méi)有多大的幫助,其實(shí)它的存在能啟發(fā)學(xué)生采用一種快速且簡(jiǎn)潔的方法——特殊值法。

        對(duì)于這樣的選擇題型,讀懂題中“點(diǎn)E在線段AD上”這個(gè)條件至關(guān)重要,因?yàn)橹苯訉Ⅻc(diǎn)E放在點(diǎn)D上即可迎刃而解,所以,初中數(shù)學(xué)課堂還是需要重視閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、初高中的適當(dāng)銜接,這樣才能真正提升學(xué)生的綜合解題水平。

        3.1.2強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換

        和學(xué)習(xí)各門(mén)功課一樣,掌握數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言以及圖形語(yǔ)言是必備基礎(chǔ),它們之間既可相互轉(zhuǎn)換、又可獨(dú)成一體,平時(shí)的教學(xué)中受初中數(shù)學(xué)表達(dá)的局限以及不同學(xué)段的要求,教師雖然也很重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換,但對(duì)內(nèi)涵的挖掘不深、廣度不大、拓展不寬均可直接導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法直擊核心問(wèn)題,找不到解決問(wèn)題的關(guān)鍵方法。

        3.2注重邏輯推理能力的培養(yǎng)

        3.2.1數(shù)學(xué)課堂更需要“理性思辨”

        從安徽省中考第22題的典型答題錯(cuò)誤的案例分析中,不難發(fā)現(xiàn)主要存在兩方面問(wèn)題:一是數(shù)學(xué)課堂“理性”的成分不足,造成學(xué)生基本功不扎實(shí),蜻蜓點(diǎn)水,一知半解,混個(gè)半壇水就夠了,不求深,不求實(shí),主要表現(xiàn)為計(jì)算能力嚴(yán)重不足、邏輯推理混亂、書(shū)寫(xiě)不規(guī)范等,因此,教師在教學(xué)中要狠抓基礎(chǔ),基本運(yùn)算,推理要熟練,有速度;數(shù)學(xué)常數(shù)、數(shù)學(xué)公式要精準(zhǔn)記憶,有較豐富的數(shù)學(xué)積累;解題呈現(xiàn)要求規(guī)范、認(rèn)真、布局合理,二是數(shù)學(xué)課堂的“思辨”氛圍不濃,造成學(xué)生思維惰性和定勢(shì),盲目崇尚解題模型,此原因與課堂中的一些不良習(xí)慣和教學(xué)組織方式有關(guān),教師為了營(yíng)造課堂氛圍,往往會(huì)組織一些小組討論、交流,從而大量使用電化設(shè)備輔助教學(xué),代替了學(xué)生的獨(dú)立思考、動(dòng)手操作以及深層次的批判性思辨能力的訓(xùn)練,造成學(xué)生思維的靈活性不強(qiáng)、獨(dú)立解題能力嚴(yán)重不足,因此,課堂中要營(yíng)造理性思考以及“頓悟”的鍥機(jī),引導(dǎo)學(xué)生深入探究,積極思辨,靈活運(yùn)用,融會(huì)貫通,形成良好而高效的思維品質(zhì)和水平。

        3.2.2數(shù)學(xué)課堂更需要“縝密推理”

        無(wú)論是幾何推理還是代數(shù)推理,都要遵循“縝密”原則,從中考的答題情況來(lái)看,因解題過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn)造成的失分還是較為普遍的,由于初中階段大多是演繹推理(也有用到不完全歸納等合情推理),所以在教學(xué)中除了讓學(xué)生掌握好應(yīng)有的性質(zhì)和判定定理外,教給學(xué)生一種能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行推理與判斷的“縝密推理”方法也是至關(guān)重要的,“從已知到可知,從未知到需知”,俗稱“打隧道”,即從問(wèn)題的題設(shè)或結(jié)論入手,向各自方向找間接條件,當(dāng)所要的條件與所能找到的條件一致時(shí),“隧道”打通了,再將一步一步尋找的過(guò)程用數(shù)學(xué)符號(hào)呈現(xiàn)出來(lái),就能實(shí)現(xiàn)邏輯推理的“縝密”性。

        3.3注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的浸潤(rùn)

        3.3.1由“形→數(shù)”向“數(shù)→形”轉(zhuǎn)變

        眾所周知,小學(xué)低段的思維以形象思維為主導(dǎo),通常是由具體圖形中發(fā)現(xiàn)數(shù)(表象),隨著數(shù)學(xué)積累的不斷增加,思維方式也逐漸發(fā)展到形式運(yùn)算階段,思維水平已超出具體的感知,進(jìn)而進(jìn)入抽象的形式思維,進(jìn)入初中階段,數(shù)形結(jié)合思想更著重于由數(shù)到形(抽象)的轉(zhuǎn)變,因此教師在教學(xué)中需逐步滲透抽象思維的含量,將培養(yǎng)抽象思維能力放在非常重要的地位,如2019年安徽省中考第22題,解決這道壓軸題的關(guān)鍵策略是將題目中的數(shù)(數(shù)學(xué)符號(hào))轉(zhuǎn)換為圖象語(yǔ)言,再根據(jù)圖象的性質(zhì)和特征解決問(wèn)題,所以在平時(shí)的教學(xué)中必須要注重“由數(shù)到形”的轉(zhuǎn)換,尤其是中考復(fù)習(xí)階段,更要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,力求做到透過(guò)現(xiàn)象問(wèn)本質(zhì),因?yàn)樵秸莆諉?wèn)題本質(zhì),抽象程度就越高,越能抵達(dá)問(wèn)題實(shí)質(zhì),所以不能瞻前顧后、左顧右盼,擔(dān)心學(xué)生達(dá)不到心智能力而降低思維水平的要求。

        3.3.2抽象思維能力的訓(xùn)練是關(guān)鍵

        抽象是人類獲得自然界本質(zhì)的內(nèi)在認(rèn)識(shí)的唯一思維工具和手段,列寧說(shuō):“認(rèn)識(shí)是人對(duì)自然界的反應(yīng),但并不是直接的、簡(jiǎn)單的、完全的反應(yīng),而是一系列抽象思維的過(guò)程,即概念、規(guī)律等的構(gòu)成、形成過(guò)程,”高中階段的數(shù)學(xué)抽象首先體現(xiàn)在把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型,即將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化,這種抽象能力在高中的數(shù)學(xué)活動(dòng)中占有非常重要的地位,為了讓學(xué)生在高中能夠順利適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),因此,初中的數(shù)學(xué)課堂也要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、歸納、證明,進(jìn)而抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和本領(lǐng),其中,運(yùn)算、方程、函數(shù)以及圖形的性質(zhì)和判定等學(xué)習(xí)都是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的重要素材和手段,能促使學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)研究、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

        總體而言,2019年安徽省中考第22題的考查暴露了考生在處理新題型上存在諸多問(wèn)題,尤其暴露了教師在平時(shí)教學(xué)、乃至備考期問(wèn)存在的功利性思想或行為,所以在教學(xué)中不僅要注重知識(shí)的教學(xué),更多的要關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng),翻看歷年的中考題也不難發(fā)現(xiàn),未來(lái)的中考題型必定越來(lái)越豐富,對(duì)學(xué)生的能力要求也越來(lái)越高,所以對(duì)教師平時(shí)教學(xué)的要求也越來(lái)越高,需要教師從知識(shí)的傳授者向能力的培養(yǎng)者轉(zhuǎn)化,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的形式化轉(zhuǎn)換、注重邏輯推理能力的培養(yǎng),注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的浸潤(rùn),使數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠落地生根,使學(xué)生的思維能力在潛移默化中得到培養(yǎng)。

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