葉繼紅，陸明飛

(1.江蘇省土木工程環(huán)境災(zāi)變與結(jié)構(gòu)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，徐州 221116;2.混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，東南大學(xué)，南京 211102)

經(jīng)典的單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)以合理的結(jié)構(gòu)形式得到了廣泛使用。近年來，自由曲面結(jié)構(gòu)以其富有美感的造型，日益得到建筑師和業(yè)主的青睞[1]。與雙層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)相比，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)不僅輕盈通透，而且可以節(jié)約建筑材料[2]。為保證結(jié)構(gòu)傳力的連續(xù)性，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)應(yīng)同時(shí)傳遞軸力和彎矩。例如，中國(guó)設(shè)計(jì)規(guī)范《JGJ7―2010空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[3]明確要求單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)必須采用剛性節(jié)點(diǎn)。因此，與雙層網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、索結(jié)構(gòu)和整體張拉結(jié)構(gòu)相比，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的剛性節(jié)點(diǎn)受力復(fù)雜。同時(shí)，節(jié)點(diǎn)的性能又顯著影響結(jié)構(gòu)的安全[4]、剛度[5－6]、穩(wěn)定[7－11]和動(dòng)力倒塌[12－13]等結(jié)構(gòu)性能。因此，新型節(jié)點(diǎn)開發(fā)是空間結(jié)構(gòu)研究中的一個(gè)熱點(diǎn)。

一種研發(fā)方法是類比Eurocode 3[14]中鋼框架結(jié)構(gòu)梁柱節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法(component method)，借鑒經(jīng)典節(jié)點(diǎn)，同時(shí)考慮施工工藝，通過構(gòu)造設(shè)計(jì)開發(fā)新型節(jié)點(diǎn)。典型的節(jié)點(diǎn)有FREE節(jié)點(diǎn)[2]、半剛性螺栓球節(jié)點(diǎn)[15－16]、ORTZ 節(jié)點(diǎn)[17]、環(huán)狀節(jié)點(diǎn)[18]、Socket節(jié)點(diǎn)[19]、螺紋套筒節(jié)點(diǎn)[20]、環(huán)形套筒節(jié)點(diǎn)[21]、柱板式節(jié)點(diǎn)[22]等。文獻(xiàn)[23－24]對(duì)這類節(jié)點(diǎn)做了系統(tǒng)的總結(jié)。因充分考慮了構(gòu)造措施，一般這類節(jié)點(diǎn)施工方便，但在受力合理性方面，一般是直接給出節(jié)點(diǎn)形式，然后再驗(yàn)證其合理性，因此，這種研發(fā)方法往往依賴研發(fā)者的經(jīng)驗(yàn)，而且對(duì)節(jié)點(diǎn)如何合理受力缺少具體的推理過程。另一種方法是單純利用拓?fù)鋬?yōu)化方法(topology optimization)開發(fā)新節(jié)點(diǎn)。Lu等[25]利用拓?fù)鋬?yōu)化方法研發(fā)了高層建筑結(jié)構(gòu)中太陽能板連接件。Ren等[26－27]對(duì)海牙某整體張拉式結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化。趙陽等[28]進(jìn)行了面向增材制造的索桿結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Seifi等[29]以世博會(huì)陽光谷結(jié)構(gòu)的實(shí)際節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，力與位移邊界條件如圖1所示，研究了僅軸向力作用下節(jié)點(diǎn)的拓?fù)鋬?yōu)化。Seifi等[30]利用BESO方法對(duì)空間剛性節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化，但僅考慮了一個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。在文獻(xiàn)[29－30]中，拓?fù)鋬?yōu)化是在給定了桿件截面尺寸后進(jìn)行的，其優(yōu)化節(jié)點(diǎn)對(duì)其它尺寸的截面并不適用。同時(shí)，與雙層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、索結(jié)構(gòu)和整體張拉結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)不同，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)不僅須傳遞軸力，也須傳遞彎矩；與框架節(jié)點(diǎn)不同，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)并無明顯的主軸與弱軸之分。因此單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)受力更為復(fù)雜，設(shè)計(jì)要求更為苛刻。隨著空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形狀多樣化的發(fā)展，節(jié)點(diǎn)的幾何適應(yīng)性要求和個(gè)性化要求更高，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)研發(fā)方法難以全面滿足新時(shí)代的設(shè)計(jì)需要。

圖1 文獻(xiàn)[29]中的力及位移邊界條件Fig.1 Loads and boundary conditions in Ref [29]

本文介紹了一種節(jié)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法——將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和構(gòu)造設(shè)計(jì)相結(jié)合。對(duì)節(jié)點(diǎn)連接端，依靠工程經(jīng)驗(yàn)考慮連接、施工等要求，通過構(gòu)造設(shè)計(jì)合理的連接界面實(shí)現(xiàn)可靠、通用、方便的連接；對(duì)節(jié)點(diǎn)的受力核心區(qū)，采用拓?fù)鋬?yōu)化，設(shè)計(jì)出受力合理的結(jié)構(gòu)形式。在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，若將力與約束直接作用在設(shè)計(jì)域，則人為假定該區(qū)域的單元存在，限制了探索更多結(jié)構(gòu)形式的可能；若優(yōu)化模型中考慮應(yīng)力問題，則加載點(diǎn)附近可能會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異，同時(shí)，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果會(huì)因力與位移邊界條件的微小改變而迥然不同。在剛性節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)過程中，必然要解決桿端力、等效節(jié)點(diǎn)集中力和邊界條件如何合理施加的問題，并降低拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)邊界條件的敏感性，以得到穩(wěn)定、可靠的優(yōu)化結(jié)果。本文對(duì)上述諸多技術(shù)難題提出了相應(yīng)的解決方法。然后以一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，利用上述方法和技術(shù)手段研發(fā)了新型節(jié)點(diǎn)。與傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)相比，經(jīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的節(jié)點(diǎn)受力合理、連接可靠、施工方便，驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的適用性。最后簡(jiǎn)介了實(shí)現(xiàn)優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的技術(shù)手段——先進(jìn)制造技術(shù)。

1 空間結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)基本組成部分

了解空間結(jié)構(gòu)基本組成部分是進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。Arciszewski[31]對(duì)空間鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了細(xì)致而全面的研究，將節(jié)點(diǎn)分解為八大基本組成部分，如圖2所示。桿件內(nèi)力通過連接⑦傳遞至節(jié)點(diǎn)端②，最后經(jīng)連接⑥，傳遞至由元素①和元素⑤成的節(jié)點(diǎn)核。最終，所有桿端力匯集于節(jié)點(diǎn)核，形成平衡力系。

圖2 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)基本組成部分Fig.2 Components of a node system

因所有的桿端力均匯聚到節(jié)點(diǎn)核，節(jié)點(diǎn)核最容易發(fā)生強(qiáng)度破壞；同時(shí)，節(jié)點(diǎn)變形也主要發(fā)生在節(jié)點(diǎn)核，因此節(jié)點(diǎn)核對(duì)節(jié)點(diǎn)剛度的影響最大。在各個(gè)連接均安全可靠的前提下，節(jié)點(diǎn)核的力學(xué)性能對(duì)節(jié)點(diǎn)的整體性能至關(guān)重要。因此，本文利用拓?fù)鋬?yōu)化方法，尋求有限的材料如何在節(jié)點(diǎn)核設(shè)計(jì)空間中放置，從而提高節(jié)點(diǎn)的力學(xué)性能。

節(jié)點(diǎn)端(元素②)一端通過連接⑥與節(jié)點(diǎn)核相連，一端通過連接⑦與桿件端相連。因此，節(jié)點(diǎn)端的形式?jīng)Q定了具體的連接方式、節(jié)點(diǎn)安裝方法和整體結(jié)構(gòu)施工工藝。合理節(jié)點(diǎn)端的選取不僅須考慮力學(xué)特性，也須考慮施工工藝。這是拓?fù)鋬?yōu)化方法所不能完全考慮的，必然需要工程經(jīng)驗(yàn)。因此，本文借鑒component method，構(gòu)造出合理的節(jié)點(diǎn)端形式。

2 待優(yōu)化節(jié)點(diǎn)

球面網(wǎng)殼、柱面網(wǎng)殼和自由曲面是常見的單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形式。本文以一般中等跨度 50 m的單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)為研究對(duì)象，該節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)中的位置見圖3(a)中紅色虛線圈所示。與該節(jié)點(diǎn)相連的 6根桿件均為Φ140 3的圓鋼管，每根桿件的長(zhǎng)度為3.142 m。原始節(jié)點(diǎn)為傳統(tǒng)的焊接空心球節(jié)點(diǎn)，如圖3(b)所示，該焊接空心球節(jié)點(diǎn)的性能分析見4.4節(jié)。以傳統(tǒng)焊接空心球節(jié)點(diǎn)作為對(duì)照節(jié)點(diǎn)，驗(yàn)證優(yōu)化后節(jié)點(diǎn)的性能。為減少節(jié)點(diǎn)用鋼量、提高節(jié)點(diǎn)性能，通過構(gòu)造設(shè)計(jì)出圖3(c)所示節(jié)點(diǎn)基本構(gòu)型。其中六棱柱部分為待拓?fù)鋬?yōu)化的節(jié)點(diǎn)核心區(qū)設(shè)計(jì)域，與桿件相連的方形球面部分為節(jié)點(diǎn)端。

圖3 一般單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)及示例節(jié)點(diǎn)Fig.3 A single-layer grid-shell structure and the corresponding illustrative node

3 節(jié)點(diǎn)構(gòu)造設(shè)計(jì)

因圓鋼管無方向性，高空安裝過程中可以免去方向調(diào)節(jié)，在單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中普遍使用。因此，在設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)端時(shí)，假定桿件截面形式為圓管。

3.1 節(jié)點(diǎn)性能要求

文獻(xiàn)[24]結(jié)合節(jié)點(diǎn)的功能特性和市場(chǎng)需求，對(duì)新型節(jié)點(diǎn)提出了5項(xiàng)原則，其中包括幾何適應(yīng)性和誤差容忍性。幾何適應(yīng)性是指：隨著單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的造型日趨豐富，空間桿件的相交趨于復(fù)雜，節(jié)點(diǎn)對(duì)相連桿件的切面投影角、切面外傾角和軸線轉(zhuǎn)角應(yīng)有良好的適應(yīng)能力。節(jié)點(diǎn)的幾何適應(yīng)性決定了該節(jié)點(diǎn)的市場(chǎng)潛力。誤差容忍性是指：節(jié)點(diǎn)對(duì)制造和安裝過程中出現(xiàn)的偏差能有效控制和調(diào)整。節(jié)點(diǎn)的誤差容忍性關(guān)系到整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全和施工工期。

針對(duì)本文中的節(jié)點(diǎn)和圓管桿件，具體要求如下：

1)節(jié)點(diǎn)無方向性要求：節(jié)點(diǎn)的力學(xué)性能不因桿件連接方位的不同而發(fā)生變化。無方向性節(jié)點(diǎn)施工方便，剔除了因高空施工錯(cuò)誤而導(dǎo)致的力學(xué)性能改變，安全可靠。典型的無方向性節(jié)點(diǎn)如Mero標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)、焊接空心球節(jié)點(diǎn)等。

2)幾何適應(yīng)性：無論桿件的空間位置導(dǎo)致多么復(fù)雜的連接界面、切面投影角、切面外傾面和軸線轉(zhuǎn)角，節(jié)點(diǎn)應(yīng)與桿件緊密、可靠地連接。

3)輔助對(duì)中要求：節(jié)點(diǎn)應(yīng)有相關(guān)措施，保證所連桿件的軸線交匯于節(jié)點(diǎn)的形心。因空間結(jié)構(gòu)的拼裝有時(shí)在高空進(jìn)行，桿件對(duì)中難度大。桿件不對(duì)中會(huì)造成節(jié)點(diǎn)次應(yīng)力，同時(shí)造成結(jié)構(gòu)缺陷，顯著降低結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。因此節(jié)點(diǎn)應(yīng)具有輔助桿件對(duì)中的構(gòu)造。

4)微調(diào)節(jié)能力：因制作、施工誤差及施工過程中結(jié)構(gòu)變形等因素，節(jié)點(diǎn)應(yīng)具有微調(diào)能力以容忍誤差。

5)桿件適應(yīng)性：一種節(jié)點(diǎn)能與截面規(guī)格相似的多種桿件可靠連接。首先，空間結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)一般與多跟桿件相連，當(dāng)這些桿件截面尺寸不一時(shí)，節(jié)點(diǎn)應(yīng)能適應(yīng)所有相連桿件；其次，在一個(gè)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中，在一定范圍內(nèi)減少節(jié)點(diǎn)種類，可方便施工，實(shí)現(xiàn)規(guī)模生產(chǎn)，降低成本。

3.2 方形球面桿件端

針對(duì)3.1節(jié)中的五項(xiàng)具體要求，將圖3(c)中的節(jié)點(diǎn)端設(shè)為方形球面節(jié)點(diǎn)端，整個(gè)節(jié)點(diǎn)如圖4所示。球面以節(jié)點(diǎn)的形心為球心，半徑為R，方形桿件端的邊長(zhǎng)為a。通過設(shè)置方形球面桿件端，可以滿足上述五項(xiàng)具體要求。

通過對(duì)稱設(shè)置節(jié)點(diǎn)端和等邊六棱柱節(jié)點(diǎn)核(待拓?fù)鋬?yōu)化)，實(shí)現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)無方向性。在圓管桿件加工過程中，只須保證桿端截面與桿件軸線垂直，則球形連接界面和圓管桿件可實(shí)現(xiàn)緊密的連接，且桿件軸線必然交匯于球心。同時(shí)，在球面連接界面上還可以采用諸多其它成熟的連接方式，例如螺紋套筒連接[20]、Okata-S[32]連接等。當(dāng)桿件外徑小于a時(shí)(a的幾何示意見圖4)，即節(jié)點(diǎn)端尺寸大于桿件外徑時(shí)，則桿件可沿著球面進(jìn)行一定的調(diào)整以滿足復(fù)雜的角度，具有微調(diào)能力，如圖5所示。同時(shí)，由圖5可得，理論上無論桿件的壁厚取多少，只需桿件外徑小于a時(shí)，桿件均可與該節(jié)點(diǎn)可靠連接，實(shí)現(xiàn)良好的桿件適應(yīng)性。

圖4 經(jīng)構(gòu)造設(shè)計(jì)的優(yōu)化初始節(jié)點(diǎn)Fig.4 Initial node considering the structural requirements

圖5 不同尺寸的桿件與節(jié)點(diǎn)在不同角度進(jìn)行連接Fig.5 Bars with different sizes connected to the node towards different directions

4 節(jié)點(diǎn)核拓?fù)鋬?yōu)化

4.1 拓?fù)鋬?yōu)化方法

拓?fù)鋬?yōu)化是利用科學(xué)方法尋求有限的材料如何在空間中分布，從而得到最佳的結(jié)構(gòu)性能[33]。對(duì)于受力復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果普遍優(yōu)于依據(jù)經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。主要的拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化方法、變密度合法、水平集方法以及漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法等[33－34]，其中變密度法中固體各向同性材料懲罰模型(SIMP方法)的應(yīng)用最為廣泛[35－36]。SIMP方法以單元的相對(duì)密度ρ表示單元的狀態(tài)。當(dāng)ρ=1，表示該單元存在；當(dāng)ρ=0，表示該單元不存在；同時(shí)允許單元相對(duì)密度在0~1之間連續(xù)取值，即允許中間密度單元的存在。則所有單元的相對(duì)密度ρ=[ρ1,ρ2,…,ρn]，可表示整個(gè)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。為體現(xiàn)中間密度單元對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，建立中間密度單元與該單元彈性模量之間的關(guān)系，如式(1)所示：

式中：ρi表示該單元i的相對(duì)密度；E0是該實(shí)體材料的彈性模量；p為懲罰系數(shù)，一般取值為3。

通過敏感度分析，得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)對(duì)每一個(gè)單元的敏感度。繼而，基于敏感度分析結(jié)果，利用優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criteria, OC)進(jìn)行迭代，可以得到下一優(yōu)化步結(jié)構(gòu)的密度分布，即：

式中：ρk和ρk+1分別為第k優(yōu)化步和第k+1優(yōu)化步結(jié)構(gòu)的密度分布。

5.2 節(jié)點(diǎn)性能與優(yōu)化模型

羅永峰和沈祖炎院士[37]研究了節(jié)點(diǎn)體對(duì)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)承載力的影響，指出當(dāng)節(jié)點(diǎn)體約小于桿長(zhǎng)的5%時(shí)可以忽略節(jié)點(diǎn)的影響。劉海峰等[38]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)焊接球節(jié)點(diǎn)的直徑小于桿件幾何長(zhǎng)度的12%時(shí)，節(jié)點(diǎn)對(duì)軸力剛度影響較小，而對(duì)彎曲剛度影響很大。范峰等[9]研究發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)彎曲剛度顯著影響結(jié)構(gòu)承載力。對(duì)于節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度，F(xiàn)an等[39]指出節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)極限荷載影響很小。因此，彎曲剛度是空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)剛性節(jié)點(diǎn)最為顯著的力學(xué)性能。

傳統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)可以將節(jié)點(diǎn)彎曲剛度分解為繞強(qiáng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和繞弱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。對(duì)于單層網(wǎng)格中的節(jié)點(diǎn)，難以用正交直角坐標(biāo)系表示其剛度，可用曲面在該節(jié)點(diǎn)的法向向量和切平面表示剛度分量。將節(jié)點(diǎn)在切平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度定義為殼體平面內(nèi)剛度，對(duì)與之正交方向上的彎曲剛度稱之為殼體平面外剛度。對(duì)于球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)平面外剛度為主導(dǎo)；對(duì)于柱面網(wǎng)殼，則節(jié)點(diǎn)平面內(nèi)剛度為主導(dǎo)；對(duì)于單層自由曲面結(jié)構(gòu)，則無一般性規(guī)律可言。因此，單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)應(yīng)具有足夠的殼體平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和殼體平面外轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，從而能傳遞任意方向上的彎矩。

單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)空間受力，結(jié)構(gòu)整體也沒有明顯的強(qiáng)軸和弱軸，這亦區(qū)別于傳統(tǒng)框架。同時(shí)，正是因?yàn)樗目臻g受力特征，導(dǎo)致應(yīng)盡可能考慮多種風(fēng)荷載及地震作用方向，即更多的荷載組合工況。若在優(yōu)化中考慮如此繁多的工況，則不僅計(jì)算效率低下，而且只針對(duì)特定的工程和特定的荷載工況，無法實(shí)現(xiàn)通用。另一方面，節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度是節(jié)點(diǎn)的自身特性，獨(dú)立于外荷載，只有這樣才能保證節(jié)點(diǎn)在任意荷載工況下均有良好的彎矩傳遞能力，并具有良好的通用性。

為表示節(jié)點(diǎn)的平面外剛度，在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)端施加平面外彎矩，如圖6(a)所示，形成自平衡力系My，節(jié)點(diǎn)區(qū)的柔度(即應(yīng)變能)為CMy。為表示節(jié)點(diǎn)的平面內(nèi)剛度，在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)端施加單位平面內(nèi)彎矩，且相鄰節(jié)點(diǎn)端彎矩方向相反，如圖6(b)所示，形成自平衡力系Mz，節(jié)點(diǎn)區(qū)的柔度(即應(yīng)變能)為CMz。兩個(gè)力系的荷載當(dāng)量相同，故CMy和CMz在衡量節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度上是相當(dāng)?shù)?。前文已述，與框架結(jié)構(gòu)不同，空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)空間受力，節(jié)點(diǎn)需傳遞兩個(gè)方向上彎矩，并且沒有明顯的主軸和弱軸之分，因此，兩個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度應(yīng)給予相同的權(quán)重。節(jié)點(diǎn)彎曲剛度的最大化對(duì)應(yīng)于彎曲柔度的最小化。

圖6 節(jié)點(diǎn)平面內(nèi)彎矩與平面外彎矩Fig.6 Moment within & outside the plane

綜上，一般單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)剛性節(jié)點(diǎn)剛度優(yōu)化模型可表示如下：

式中：優(yōu)化變量ρ=[ρ1,ρ2,···ρi···ρn]T為單元的相對(duì)密度向量；CMy和CMz.分別表示節(jié)點(diǎn)核在力系My和Mz作用下，節(jié)點(diǎn)域的應(yīng)變能；F、K和U分別表示節(jié)點(diǎn)的外荷載向量、整體剛度和位移向量；m(ρ)表示節(jié)點(diǎn)關(guān)于變量ρ的質(zhì)量；mthres表示給定的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量上限；σmax(ρ)表示在設(shè)計(jì)荷載工況下，節(jié)點(diǎn)關(guān)于變量ρ的最大等效應(yīng)力(本文圖3(a)所示結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)荷載為3.45 kN/m2)；f為材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，本文選取Q345鋼材作為設(shè)計(jì)材料，f=310 N/mm2。

4.3 拓?fù)鋬?yōu)化關(guān)鍵技術(shù)——節(jié)點(diǎn)力的施加

拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果與力邊界條件和位移邊界條件密切相關(guān)，邊界條件的微小改變會(huì)導(dǎo)致截然不同的優(yōu)化結(jié)果。因此，在建立分析模型時(shí)，應(yīng)正確反映各個(gè)邊界條件，降低優(yōu)化結(jié)果對(duì)邊界條件的敏感性，從而獲得穩(wěn)定、可靠的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

在設(shè)計(jì)荷載工況下，對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析時(shí)，須將節(jié)點(diǎn)受荷區(qū)內(nèi)的面荷載等效成集中荷載P施加在節(jié)點(diǎn)上。取節(jié)點(diǎn)為隔離體，在設(shè)計(jì)荷載工況下，節(jié)點(diǎn)隔離體是在桿端力反作用力和等效節(jié)點(diǎn)集中荷載P下的平衡，如圖7所示。若將集中荷載P直接施加在節(jié)點(diǎn)核，對(duì)于式(3)考慮應(yīng)力的優(yōu)化模型而言，相當(dāng)于事先假定加載點(diǎn)附近必然有材料分布，限制了拓?fù)鋬?yōu)化探索更優(yōu)節(jié)點(diǎn)形式的可能。同時(shí)在加載點(diǎn)附近也可能出現(xiàn)應(yīng)力奇異的現(xiàn)象，導(dǎo)致應(yīng)力約束失真。若不直接以力的形式施加荷載P，而是通過約束處的支座反力實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)平衡，則優(yōu)化結(jié)果依賴約束施加的位置。當(dāng)約束施加在不同的位置時(shí)，支座反力作用點(diǎn)不同，優(yōu)化結(jié)果不同，呈現(xiàn)出顯著的邊界敏感性。

圖7 節(jié)點(diǎn)在等效集中荷載與桿端反力下的平衡Fig.7 Equilibrium of node subjected to the equivalent concentrated load and the counterforces of bar ends

為避免在設(shè)計(jì)域施加集中荷載以及優(yōu)化結(jié)果對(duì)邊界條件的依賴，本文提出了在設(shè)計(jì)空間中施加加速度場(chǎng)，通過慣性力來等效集中荷載?？紤]到優(yōu)化趨于收斂時(shí)，節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量m逐漸收斂于質(zhì)量閾值mthres，加速度數(shù)值a可按式(4)計(jì)算，方向與P相反。通過施加性質(zhì)為體力的慣性力等效集中荷載，既避免了在設(shè)計(jì)域直接施加集中荷載可能導(dǎo)致的問題，也使節(jié)點(diǎn)達(dá)到自平衡，位移邊界條件僅僅是為限制剛體位移，降低了優(yōu)化結(jié)果對(duì)邊界條件的敏感性。實(shí)際優(yōu)化結(jié)果也表明，通過該方法處理節(jié)點(diǎn)集中力后，將約束施加在任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)端上，優(yōu)化結(jié)果是相同的。

4.4 對(duì)照節(jié)點(diǎn)的力學(xué)性能——焊接空心球節(jié)點(diǎn)

對(duì)于單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可供選擇的剛性節(jié)點(diǎn)形式并不多。本文選擇最為常見的焊接空心球節(jié)點(diǎn)。根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范《JGJ 7―2010 空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[3]的設(shè)計(jì)要求，焊接空心球節(jié)點(diǎn)宜滿足球外徑與球壁厚之比、球外徑與主鋼管外徑之比、球壁厚與主鋼管壁厚之比以及球壁厚最小值等各項(xiàng)要求。為使對(duì)比具有說服力，應(yīng)選擇較小的節(jié)點(diǎn)尺寸。經(jīng)設(shè)計(jì)，焊接空心球外徑D=400 mm，壁厚t=10 mm，如圖3(b)所示。經(jīng)計(jì)算，節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為 34.95 kg；在力系My下，焊接空心球節(jié)點(diǎn)的柔度CMy=2.9459×10-7J；在力系Mz下，焊接空心球節(jié)點(diǎn)的柔度CMz=3.7387×10-7J；經(jīng)驗(yàn)算，該節(jié)點(diǎn)同時(shí)滿足承載力要求。

4.5 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)構(gòu)往往以較小的體積、較少的材料獲得更優(yōu)的結(jié)構(gòu)性能。將節(jié)點(diǎn)半徑R(R的幾何示意見圖4)設(shè)為 200 mm，則優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的最大幾何尺寸與焊接空心球節(jié)點(diǎn)相同。其它尺寸如下：a=140 mm(a的幾何示意見圖4)，圖6(a)中節(jié)點(diǎn)總高度為 180 mm，圖6(b)中六棱柱節(jié)點(diǎn)核邊長(zhǎng)為180 mm。優(yōu)化模型中，選擇較小的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量閾值，令mthres=30.91 kg，利用本文優(yōu)化模型，借助Altair Optistruct平臺(tái)，得到優(yōu)化節(jié)點(diǎn)I，如圖8所示。優(yōu)化節(jié)點(diǎn)在力系My下，CMy=1.8500×10-7J；在力系Mz下，CMz=2.8500×10-7J。在設(shè)計(jì)荷載下，滿足強(qiáng)度要求。與焊接空心球節(jié)點(diǎn)相比，優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量略小，但其在兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的剛度均有顯著的優(yōu)勢(shì)。

圖8 質(zhì)量為30.91 kg的優(yōu)化節(jié)點(diǎn)IFig.8 Optimal node I with a mass of 30.91 kg

將質(zhì)量閾值設(shè)為24.58 kg，得到優(yōu)化節(jié)點(diǎn)III，見圖9。優(yōu)化節(jié)點(diǎn)在力系My下，CMy=3.6798×10-7J；在力系Mz下，CMz=3.8271×10-7J。在設(shè)計(jì)荷載下，滿足強(qiáng)度要求。優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)剛度上與焊接空心球節(jié)點(diǎn)相近，但質(zhì)量明顯小于焊接空心球節(jié)點(diǎn)(34.95 kg)。再將質(zhì)量閾值取中間值26.12 kg，得到優(yōu)化節(jié)點(diǎn)II，其形狀與圖9相似。優(yōu)化節(jié)點(diǎn)在力系My下，CMy=3.3215×10-7J；在力系Mz下，CMz=3.4520×10-7J。在設(shè)計(jì)荷載下，滿足強(qiáng)度要求。

4.6 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

盡管質(zhì)量閾值不同，但優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)形式是相同的，即均優(yōu)化出雙層轂式節(jié)點(diǎn)形式。取上半部分為例，如圖9(d)所示，節(jié)點(diǎn)端受到的力由徑向單元將力傳遞至中心的環(huán)向轂結(jié)構(gòu)，類比拱結(jié)構(gòu)，環(huán)向轂全截面受力，平衡6個(gè)節(jié)點(diǎn)端傳遞來的荷載。下半部分與上半部分的結(jié)構(gòu)形式完全相同，二者對(duì)稱地分布在節(jié)點(diǎn)的最上方和最下方，如圖9(c)所示，最大程度地增加力臂，從而高效地抵抗彎矩。3個(gè)優(yōu)化節(jié)點(diǎn)和傳統(tǒng)焊接空心球節(jié)點(diǎn)的對(duì)比見表1。由表1可得，經(jīng)優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)性能優(yōu)越。

圖9 質(zhì)量為24.58 kg的優(yōu)化節(jié)點(diǎn)IIFig.9 Optimal node II with a mass of 24.58 kg

由表1可得各優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的最大應(yīng)力、CMy和CMz隨節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的關(guān)系，如圖10所示。由圖10可得，優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的最大應(yīng)力、剛度與節(jié)點(diǎn)質(zhì)量近似呈線性關(guān)系。這表明：隨著節(jié)點(diǎn)質(zhì)量增大，后增加的材料分布在對(duì)提高節(jié)點(diǎn)性能最有效的地方，因此節(jié)點(diǎn)性能呈現(xiàn)出隨質(zhì)量線性變化的關(guān)系。這進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化方法的正確性。

表1 節(jié)點(diǎn)性能對(duì)比Table 1 Comparison of nodes’ performance

圖10 優(yōu)化節(jié)點(diǎn)性能隨質(zhì)量變化關(guān)系Fig.10 Performances of optimal nodes with different masses

6 結(jié)論與展望

本文提出了一種空間結(jié)構(gòu)剛性節(jié)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的技術(shù)難點(diǎn)提出了相應(yīng)的解決方法。以一個(gè)實(shí)際節(jié)點(diǎn)為例，與傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)對(duì)比，進(jìn)行了說明與驗(yàn)證。主要結(jié)論如下：

(1)本文提出了一種將構(gòu)造設(shè)計(jì)(經(jīng)驗(yàn))與拓?fù)鋬?yōu)化(數(shù)值)相結(jié)合的單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)剛性節(jié)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過工程師的經(jīng)驗(yàn)，借鑒經(jīng)典節(jié)點(diǎn)形式，構(gòu)造出合理的節(jié)點(diǎn)端，創(chuàng)造連接界面，實(shí)現(xiàn)桿件與節(jié)點(diǎn)可靠、方便、通用的連接；對(duì)于受力復(fù)雜的節(jié)點(diǎn)核，利用拓?fù)鋬?yōu)化方法，探索高效的受力節(jié)點(diǎn)形式。

(2)在拓?fù)鋬?yōu)化模型中，通過施加自平衡力系表示節(jié)點(diǎn)剛度，避免了優(yōu)化結(jié)果對(duì)荷載工況及結(jié)構(gòu)形式的依賴性，使得優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)具有通用性。在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，通過施加慣性力等效節(jié)點(diǎn)集中荷載，既避免了集中力直接施加在設(shè)計(jì)域可能導(dǎo)致的應(yīng)力奇異問題以及節(jié)點(diǎn)形式受限的缺點(diǎn)，也避免了支座提供平衡力，使得邊界條件僅為限制剛體位移，從而得到獨(dú)立于邊界條件的優(yōu)化結(jié)果。通過上述方法，解決了拓?fù)鋬?yōu)化中關(guān)鍵技術(shù)難點(diǎn)。

(3)經(jīng)該方法優(yōu)化設(shè)計(jì)的剛節(jié)點(diǎn)，具有無方向性、良好的幾何適應(yīng)性、良好的桿件適應(yīng)性，并具有輔助對(duì)中功能和微調(diào)能力。與傳統(tǒng)焊接空心節(jié)點(diǎn)相比，優(yōu)化節(jié)點(diǎn)以較少的質(zhì)量獲得更好的力學(xué)性能。

優(yōu)化節(jié)點(diǎn)可通過多種先進(jìn)制造方式制造。謝億民院士團(tuán)隊(duì)[29―30]、奧雅納公司[26―27]、趙陽教授等[28]已經(jīng)嘗試?yán)迷霾闹圃旆椒ㄖ苯又圃炝藢?shí)際節(jié)點(diǎn)。增材制造，亦稱3D打印，是一種新興的工業(yè)制造技術(shù)，通常是以逐層疊加的方式，通過添加材料而實(shí)現(xiàn)三維模型的制造。雖然增材制造降低了人力成本，但所需要的金屬粉末價(jià)格昂貴。為降低成本，人們提出了諸多增材制造結(jié)合傳統(tǒng)鑄造的方法。例如：以廉價(jià)的砂土為材料，3D打印砂土模具，在模具中鑄造節(jié)點(diǎn)；以廉價(jià)的蠟?zāi)椴牧希?D打印節(jié)點(diǎn)，然后掛漿形成模具再進(jìn)行鑄造等等。隨著技術(shù)的進(jìn)步和商業(yè)化生產(chǎn)，增材制造的成本會(huì)逐漸降低[40]，可實(shí)現(xiàn)單層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的工業(yè)化生產(chǎn)。

剛性節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法研究是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程。限于篇幅，本文僅介紹了主要的方法。對(duì)于節(jié)點(diǎn)彈塑性行為、極限承載力、簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)公式、細(xì)部構(gòu)造等仍有待研究。