李京川

摘? 要：從x（3872）被發(fā)現(xiàn)以來，物理學家對含粲共振態(tài)產(chǎn)生了濃厚的興趣，組分夸克模型對傳統(tǒng)的兩夸克組成的介子和三夸克組成的重子能譜解釋得十分到位。文章以變分法解四夸克體系的薛定諤方程用以解釋含粲共振態(tài)質(zhì)量，主要是用諧振子波函數(shù)展開四夸克波函數(shù)的空間部分，通過四體Moshinsky變換等方式得到任意兩個夸克的相互作用。

關(guān)鍵詞：夸克勢模型;四體系統(tǒng);諧振子

中圖分類號：O572? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）03-0010-02

Abstract： Since the discovery of X （3872）， physicists have developed a strong interest in the resonance with charm. The component quark model has a very good explanation for the energy spectrum of baryons composed of two quarks and three quarks. In this paper， the Schrodinger equation of the four quark system is solved by the variational method to explain the mass of the four quark system with charm. The main way is to expand the space part of the four quark wave function by the harmonic wave function. The interaction of any two quarks is obtained by the four body Moshinsky transformation.

Keywords： quark potential model; four body system; harmonic oscillator

廣泛被人接受的是，物理學家們認為強子有兩大類，即由兩夸克構(gòu)成的介子，以及三夸克構(gòu)成的重子。在以量子色動力學[1]為基礎(chǔ)的夸克勢模型的框架下，很多強子的質(zhì)量已經(jīng)成功地被計算了出來，強子內(nèi)部夸克間的勢由短程區(qū)域起主要作用的單膠子交換勢和長程區(qū)域起主要作用禁閉勢構(gòu)成，其中禁閉勢是唯像的給出，量子色動力學要求：（1）色禁閉，由帶顏色的夸克構(gòu)成的強子其整體對外必須是處于色單態(tài)的，即整體不顯顏色。（2）在短程區(qū)域，QCD相互作用是漸進自由的，跑動耦合常數(shù)在大動量轉(zhuǎn)移時大小接近于零，即夸克之間自由運動。（3）守征對稱性自發(fā)破缺，流夸克獲得動力學質(zhì)量變?yōu)榻M分夸克。

量子色動力學并沒有排除由兩個夸克和兩個反夸克構(gòu)成的四夸克態(tài)。自從x（3872）[2]等含粲共振態(tài)被發(fā)現(xiàn)以來，物理學家嘗試用組分夸克模型解釋它們。常見的比如有，解釋為粲偶素的激發(fā)態(tài)，分子態(tài)，四夸克態(tài)[3]等等。粲偶素的激發(fā)態(tài)指的是將其看做兩夸克組成的介子，分子態(tài)指的是兩組夸克反夸克組成色單態(tài)后再整體呈色單態(tài)，四夸克態(tài)有三種情況：其一，夸克夸克構(gòu)成的反三重態(tài)再與反夸克反夸克構(gòu)成的三重態(tài)共同構(gòu)成色單態(tài);其二，夸克夸克構(gòu)成的六重態(tài)再與反夸克反夸克構(gòu)成的反六重態(tài)共同構(gòu)成色單態(tài);其三，兩對夸克反夸克構(gòu)成色八重態(tài)后再整體呈色單態(tài)。

夸克間的哈密頓量為：

勢能部分為單膠子交換勢和標量禁閉勢和矢量禁閉勢。

單膠子交換勢為：

標量禁閉勢為：

矢量禁閉勢為：

其色波函數(shù)可以用楊圖表示為（見圖1）

圖1

相應的群表示為

其剛好為顏色算符的本征態(tài)

以及

得到其本征值。

但對于顏色算符4等，色波函數(shù)就不是其本征態(tài)，我們需要利用

得到其本征態(tài)，進而得到顏色矩陣元。

對于其自旋空間部分

這里s12，s34代表一二粒子以及三四粒子的自旋，S代表總自旋。？籽代表一二粒子相對坐標，？姿代表三四粒子的相對坐標。K代表一二粒子以及三四粒子的質(zhì)心的相對坐標。l？籽？姿代表前兩個諧振子角動量的矢量和，lk代表第三個諧振子的角動量。波函數(shù)為算符的本征態(tài)，可以直接作用。

但對于

對自旋部分可以根據(jù)不可約張量算符進行運算，但空間部分需要在另一組諧振子坐標下展開

這里下標？籽？籽代表一三粒子的相對坐標，？姿？姿代表二四粒子的相對坐標，v（r13）就方便運算了。

參考文獻：

[1]D. J. Gross and F. Wilkes， Phys. Rev. Lett. 1973， 30， 1343.

[2]D. E. Acosta，et al.， [CDF II Collaboration]， Phys. Rev. Lett.， 2004，93： 072001.

[3]H. HΦgaasen， J.-M. Richard， and P. Scorba， Phys. Rev. D， 2006，73： 054013.