宋麗君 ，周 蕾，李紹良，付強文

(1.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，西安 710055；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072)

0 引言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyro,HRG)是一種具有高精度、高可靠性、抗沖擊、不需預(yù)熱、啟動時間短、壽命長等突出優(yōu)點的新型陀螺，是利用球殼徑向振動產(chǎn)生的駐波沿環(huán)向進動敏感基座旋轉(zhuǎn)的振動陀螺，其以可擴展空間慣性參考系統(tǒng)(Scalable Space Inertial Reference Unit，SSIRU)為基礎(chǔ)，在高精度慣性傳感器領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。

HRG主要敏感部件是具有超低阻尼的半球諧振子，也正是因為半球諧振子的優(yōu)越性能，HRG廣泛應(yīng)用于海陸空天電等技術(shù)領(lǐng)域。本文圍繞半球諧振子成型工藝、性能指標(biāo)和最終用戶要求，對半球陀螺諧振子環(huán)向振型進動特性進行分析，建立半球陀螺能量型諧振子數(shù)學(xué)模型，確定半球殼體旋轉(zhuǎn)時應(yīng)選取的最佳振型與進動因子，為后續(xù)大批量、低成本可行的成型工藝路線提供理論研究基礎(chǔ)，以加快HRG的研制及其應(yīng)用進程。

1 半球諧振子運動方程

半球諧振子由薄壁半球殼體與支撐桿兩部分構(gòu)成。薄壁半球殼體使諧振腔材料對彎曲能量儲存達到最大值，支撐桿通過銦焊方式固定，起到約束和支撐諧振子的作用，同時還進行電信號的傳遞。本文在半球諧振子基?；舴?李雅夫數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了基于能量守恒原理的能量型半球諧振子數(shù)學(xué)模型，而且諧振頻率和進動因子的具體表達式也是基于能量守恒原理給出。在采用能量型諧振子數(shù)學(xué)模型分析諧振子振動特性的同時，還分析了諧振子底端角φ0、頂端角φF和壁厚h(φ)的非理想性等因工藝缺陷引起半球諧振子參數(shù)對進動因子的影響。

半球諧振子坐標(biāo)示意圖如圖1所示[4-5]。

圖1 半球諧振子坐標(biāo)示意圖Fig.1 The coordinates of hemispherical resonator

圖1中，x軸為諧振子中心軸；R和h(φ)分別為諧振子半球殼的中面半徑和壁厚；φ0為諧振子底端角，是諧振子約束端與中心軸的夾角，其大小由諧振子支撐桿半徑與半球殼半徑比值決定；φF為諧振子頂端角，為諧振子自由端與中心軸的夾角，在沒有任何約束的情況下，φ0=0°，φF=90°。

殼體上A點的位移矢量為

V=au+bv+cw

其中，u、v、w分別為殼體母線、切線和徑向的位移分量，a、b、c分別為相應(yīng)的動矢量。

半球諧振子形變和應(yīng)力受薄殼彈性力學(xué)約束，假設(shè)當(dāng)半球諧振子在慣性空間以角速度Ω=Ωx+Ωyz旋轉(zhuǎn)時，依據(jù)參考文獻[10]，旋轉(zhuǎn)空間的半球諧振子振型可以表示為

(1)

其中，u(φ)、v(φ)、w(φ)分別為沿各向分布的振型，ψ為振型進動角，n為環(huán)向波數(shù)，ωn為諧振頻率，K為進動因子。

由彈性薄殼理論可知，半球諧振子的彈性勢能為

(2)

式中，E為彈性模量，μ為材料的泊松比。

半球殼中，式(2)中可拉伸半球薄殼的中面應(yīng)變和中面彎曲變形分別為

(3)

在實際系統(tǒng)中，半球殼頂端自由，底端受到約束并處于微幅振動狀態(tài)，因此半球殼體滿足中面不擴張理論，即中面法向應(yīng)變和切向應(yīng)變?yōu)?，則振型u(φ)、v(φ)、w(φ)有如下關(guān)系

(4)

因底端約束邊界條件

u(φ0)=v(φ0)=w(φ0)=0

可得

(5)

其中，C1為一待定常數(shù)，由振動的初始激勵條件確定[6-9]。

2 半球陀螺諧振子的進動特性

2.1 HRG的工作原理

HRG基于科氏效應(yīng)原理對輸入的角速度或者角度進行測量。當(dāng)HRG不旋轉(zhuǎn)時，波腹點和波節(jié)點的位置相對于半球殼是靜止?fàn)顟B(tài)，對諧振子施加外部激振，使諧振子的能量在不同模態(tài)之間轉(zhuǎn)換，形成穩(wěn)定振形。當(dāng)HRG旋轉(zhuǎn)時，陀螺內(nèi)穩(wěn)定振動的諧振子振形會滯后于陀螺本體的物理旋轉(zhuǎn)，其滯后量約為旋轉(zhuǎn)角度的30%，其工作原理如圖2所示。

圖2 諧振子角度滯后原理示意圖Fig.2 The angular hysteresis principle of hemispherical resonator

2.2 半球諧振子的諧振頻率

在研究半球諧振子的諧振頻率時,除考慮作用在半球諧振子體積元上的慣性力之外，還需要考慮作用在諧振子表面邊緣的外力。

設(shè)彈性力做的虛功為δWK，角速度Ω引起的外力做的虛功為δWe，振動慣性力做的虛功為δT。

依據(jù)參考文獻[10]，在位移V下，可得振動慣性力F所做虛功為

因旋轉(zhuǎn)慣性力在引起旋轉(zhuǎn)加速度a(Ω)=a(Ωx)+a(Ωyz)，需要考慮角速度Ω引起的外力，依據(jù)參考文獻[10],可得旋轉(zhuǎn)慣性力所做虛功為

殼體彈性勢能由彈性力產(chǎn)生,彈性力所做虛功為

δWK=δ(-U)

依據(jù)參考文獻[10],可得彈性力所作虛功為

根據(jù)虛位移原理，保持靜止的條件是虛位移所做的功總和為0，可得

δT+δWe+δWK=0

由此可得半球諧振子的諧振頻率為

(6)

其中

sinφh(φ)dφ

2.3 半球諧振子振型的進動因子

當(dāng)諧振子在慣性空間以角速度Ω旋轉(zhuǎn)時，此時，環(huán)向振型則以P=KΩx的速率沿Ωx的反向轉(zhuǎn)過ψ角[11-12]。

半球諧振子殼體任一點處慣性力為

F=F0+F(Ωx)+F(Ωyz)

其中：F0、F(Ωx)和F(Ωyz)分別為半球諧振子不旋轉(zhuǎn)時的慣性力，在虛位移下所做的虛功為

δT=δT0+δT(Ωx)+δT(Ωyz)+δT(Ω)-δW(Ω)

其中

w(φ)δw]Rh(φ)dφ

w(φ)δw]Rh(φ)dφ+2πρnPΩxcos2ωt·

sinφv(φ)δw+sinφw(φ)δv]Rh(φ)dφ

δT(Ωyz)=0

δW(Ω)為由Ω引起的初始彈性力所做虛功，即δWK0，于是由虛位移原理可得

δT+δWK0=0

即

δWK0-δWK(Ω)+δT0+δT(Ω)=0

在半球諧振子振動模態(tài)中，δWK0-δWK(Ω)為模態(tài)彈性力的虛功，δT0為該模態(tài)下彈性力所做虛功。當(dāng)諧振子在慣性空間以角速度Ω=Ωx+Ωyz旋轉(zhuǎn)時，其沿Ωx的旋轉(zhuǎn)為主振動，根據(jù)主振動能量保持不變、主振動動能與勢能之和保持不變的原理可知，當(dāng)半球諧振子殼體發(fā)生轉(zhuǎn)動時，可得

δT(Ωx)=0

設(shè)

sinφv(φ)δw+sinφw(φ)δv]Rh(φ)dφ

可得

nPG1+2G2Ωx=0

整理可得進動因子

(7)

其中，G1和G2只與振型以及諧振子的約束關(guān)系和殼體的幾何特性有關(guān)，也反映了殼體上產(chǎn)生的哥氏效應(yīng)和慣性力的大小。

3 諧振子參數(shù)誤差對陀螺性能的影響

本文針對某型高精度半球陀螺諧振子成型技術(shù)研究要求：設(shè)計球半徑為15mm，為保證諧振頻率的穩(wěn)定性，球殼半徑誤差不大于0.014%，約為2μm；諧振子壁厚0.6mm，壁厚誤差不大于0.067%，約為0.402μm；球殼球度不大于0.0003mm；支撐桿半徑2mm，支撐桿誤差不大于0.13%，約為7.8μm；由支撐桿半徑和半球殼半徑的比值可得底端角φ0=7.3°；頂端角與底端角精度不大于0.01°；支撐桿與半球同軸度不大于0.0015mm，品質(zhì)因數(shù)Q值不小于1×107。

3.1 最佳環(huán)向波數(shù)

采用式(6)與式(7)對半球諧振子的諧振頻率和進動因子進行計算，如表1所示。

表1 半球諧振頻率與進動因子

隨著半球諧振子環(huán)向波數(shù)n的增加，半球諧振子振型越來越復(fù)雜，維持諧振子振動的能量持續(xù)增加，諧振頻率也越來越高。而半球諧振子的進動因子隨環(huán)向波數(shù)n單調(diào)減小,振型的進動特性減弱，檢測靈敏度降低。

從半球諧振子能量損耗的角度考慮，希望維持半球諧振子振型所需能量越少越好，而且，振型的復(fù)雜變化不利于半球諧振子的激振和信號檢測與控制。綜合考慮HRG工程應(yīng)用要求和振動實現(xiàn)條件，半球諧振子振型選取最佳環(huán)向波數(shù)為n=2，此時K≈0.3。本文后續(xù)分析采用環(huán)向波數(shù)為n=2。

3.2 頂端角與底端角對進動因子的影響

為便于分析，設(shè)半球諧振子進動因子K的變化率為

σK=ΔK/K0

其中，K0是諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足設(shè)計要求(φ0=7.3°、φF=90°)時的進動因子，ΔK是進動因子變化量[13-14]。

進動因子K的具體表達式如下

(8)

當(dāng)振型環(huán)向波數(shù)為2時，諧振子頂端角φF、φ0與K的關(guān)系如圖3和圖4所示。

圖3 φF與K關(guān)系圖(φ0=7.3°)Fig.3 The relationship between φF and K(φ0=7.3°)

圖4 φ0與K關(guān)系圖(φF=90°)Fig.4 The relationship between φ0and K(φF=90°)

由圖3和圖4可知：

當(dāng)諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足設(shè)計要求時，即φ0=7.3°,φF=90°，理想進動因子K0=-0.2981762；當(dāng)φ0變化區(qū)間為[7°,8°]時，其σK的變化區(qū)間為[-0.0139%,0.00037%]，即進動因子K對底端角φ0變化不敏感；而當(dāng)φF變化區(qū)間為[89°,91°]時，其σK的變化區(qū)間為[1.2425%,-1.4761%]，即進動因子K對頂端角φF變化相對敏感。

設(shè)計指標(biāo)中要求半球諧振子頂端角精度不大于0.01°。

當(dāng)Δφ0=0.01°時，ΔK=1.2×10-6，如果輸入角速度是1(°)/s，則由ΔK引起的角速度誤差是ΔΩ=0.00432(°)/h。

當(dāng)ΔφF=0.01°時，ΔK=4×10-5，如果輸入角速度是1(°)/s，則由ΔK引起的角速度誤差是ΔΩ=0.144(°)/h。

由此可知，Δφ0引起的角速度誤差遠遠小于相同的ΔφF引起的角速度誤差。

3.3 壁厚不均勻?qū)M動因子的影響

加工高精度球殼結(jié)構(gòu)半球諧振子是半球諧振陀螺的技術(shù)核心，參考國內(nèi)外半球諧振子超精密加工技術(shù)的研究成果和經(jīng)驗，結(jié)合熔融石英玻璃在加工中存在的技術(shù)瓶頸，針對半球諧振子的材料和結(jié)構(gòu)特點，充分考慮熔融石英玻璃的加工性能,進行加工性能研究。

對于環(huán)向波數(shù)固定的振型，由于加工造成的壁厚不均勻會引起諧振頻率變化，同時也會對進動因子產(chǎn)生影響，其影響主要分為以下兩種情況：

1)諧振子底部壁厚增加，此時諧振子壁厚變化規(guī)律函數(shù)如下

h(φ)=h(1+αcosφ)

2)諧振子頂部壁厚增加，此時諧振子壁厚變化規(guī)律函數(shù)如下

h(φ)=h(1+αsinφ)

其中，半球諧振子的球心角φ的變化為0°≤φ≤90°，α是壁厚變化因子。

當(dāng)振型環(huán)向波數(shù)為2時，諧振子底部與頂部壁厚增加時K的變化如圖5和圖6所示。

圖5 底部壁厚增加時的進動因子Fig.5 The precession factor with increasing of bottom wall thickness

圖6 頂部壁厚增加時的進動因子Fig.6 The precession factor with increasing of top wall thickness

由圖5和圖6可知，半球諧振子底部壁厚增加使進動因子K的絕對值減小，當(dāng)α變化區(qū)間為[0,0.25]時，其σK的變化區(qū)間為[-0.012308%,-1.1021%]；半球諧振子頂部壁厚增加使進動因子K的絕對值增加，當(dāng)α變化區(qū)間為[0,0.25]時，其σK的變化區(qū)間為[0.0126435%,1.0503186%]。

4 仿真設(shè)計

4.1 半球諧振子有限元分析

有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似方法對真實物理系統(tǒng)進行模擬仿真分析。半球諧振子旋轉(zhuǎn)引起的特性變化會影響HRG的工作性能，尤其是半球諧振子結(jié)構(gòu)是影響半球諧振子振動特性的關(guān)鍵因素，因此必須對半球諧振子振動特性以及影響半球諧振子振動特性的因素進行分析。本文采用有限元計算方法對半球諧振子模態(tài)進行分析，最終識別半球諧振子的模態(tài)參數(shù)，為其振動特性分析、振動故障診斷和預(yù)報以及結(jié)構(gòu)動力特性優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。

假定半球諧振子在沒有旋轉(zhuǎn)的自由狀態(tài)下作有阻尼或無阻尼振動，此時多自由度運動的微分方程表示為

(9)

將式(9)時間域方程變換到拉氏域復(fù)變量p，并假設(shè)初始位移和初始速度為0，則得到拉氏域方程

Mp2+Cp+K=Q(p)

(10)

經(jīng)過變換可得傳遞函數(shù)

(11)

它的根即是極點

(12)

假設(shè)半球諧振子在一個振蕩周期內(nèi)能量損失非常微小，為便于分析，近似忽略施加在半球諧振子上的阻尼影響，此時，微分方程簡化為

(13)

當(dāng)半球諧振子的結(jié)點載荷向量為0時，則微分方程進一步簡化為

(14)

式(14)為半球諧振子的自由振動方程，又稱為動力特性方程，由此方程可以解出半球諧振子的固有頻率和固有振型。

4.2 半球諧振子有限元仿真

對于高品質(zhì)半球諧振子,一方面要保證諧振頻率穩(wěn)定性,另一方面還要保證振型穩(wěn)定性。目前，半球諧振子的理想材料為熔融石英玻璃。采用這種材料的半球諧振子具有穩(wěn)定的振動頻率、短延遲時間、高機械穩(wěn)定性、低熱膨脹率和較大的內(nèi)應(yīng)力。采用熔融石英玻璃制造的半球諧振子能夠在較大的溫度范圍內(nèi)工作，降低維持陀螺振動所需的能量損耗。在制造加工過程中，半球諧振子的傾斜、旋轉(zhuǎn)以及支撐桿的變形和振動都是對陀螺正常工作極其有害的，因此應(yīng)盡量避免。

半球諧振子要求熔融石英玻璃具有各向同性和高的品質(zhì)因數(shù)，要求溫度系數(shù)小且系數(shù)穩(wěn)定。通常彈性模量E=7.67×1010Pa，泊松比μ=0.17，密度ρ=2500kg/m3。本文HRG工作時的邊界約束為底端固定，頂端自由，仿真中采用的具體方法是在ANSYS中對支桿底端面的所有自由度均進行限制，半球諧振子及以下部分采用自由狀態(tài)。

為減少半球諧振子建模的工作量，在建立模型時采用AUTOCAD進行靜態(tài)模型建立，再導(dǎo)入ANSYS中，最終映射網(wǎng)格劃分。半球諧振子模型與網(wǎng)格劃分如圖7(a)與圖7(b)所示。

(a)

(b)

半球諧振子中間支桿底端固定情況下，對半球諧振子施加力，仿真結(jié)果中半球諧振子與下半段支桿的顏色發(fā)生改變，也即發(fā)生了變形。從諧振子總變形平視圖中可以發(fā)現(xiàn)，半球諧振子與桿的變形是越靠近半球邊緣，其變形越大，呈遞進趨勢。半球諧振子總變形平視圖與底視圖如圖8(a)與圖8(b)所示。

在半球諧振子中間支桿底端固定、頂端自由情況下，其應(yīng)力變化是半球諧振子與桿連接處最大，從支桿向外逐漸減小。應(yīng)力變化較大的地方為中心桿和半球諧振子的接觸面，且由內(nèi)向外延伸，并隨著半球諧振子的移動，發(fā)生了一定的形變。半球諧振子等效應(yīng)力平視圖與底視圖如圖9(a)與圖9(b)所示。

(a)

(b)

(a)

(b)

5 結(jié)論

本文針對HRG能量型諧振子數(shù)學(xué)模型，研究非理想因素對諧振頻率和進動因子的影響，以及諧振子頂端角、底端角和壁厚的非理想性對進動因子的影響。其中，HRG的進動因子對頂端角變化的敏感性遠大于對底端角變化的敏感性，且頂端角變化引起的HRG角速度誤差遠大于相同底端角變化引起的HRG角速度誤差。因此，在實際制造過程中，對頂端角的制造精度要求遠高于對底端角的制造精度要求。隨著半球諧振子壁厚增加，半球諧振子剛度將隨之增加，諧振頻率也隨之增加，諧振頻率的增加將使半球諧振子不易激振。而且當(dāng)半球殼壁厚減少時，由于制造上所造成的非軸對稱影響非常顯著，也會導(dǎo)致測量誤差增加。因此，在實際加工制造過程中，壁厚選擇需要綜合考慮，其加工制造精度也是精密加工中最難以保證的環(huán)節(jié)，是半球諧振子研制的技術(shù)瓶頸。