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        一道習(xí)題的拓廣與應(yīng)用

        2020-02-04 06:37:30石峰魏磊
        關(guān)鍵詞:三角尺平行線過點(diǎn)

        石峰 魏磊

        解答數(shù)學(xué)問題時(shí),要善于發(fā)現(xiàn)問題本身所隱含的規(guī)律或特征,或者經(jīng)過變式研究后,得到新的規(guī)律或特征,然后運(yùn)用這些規(guī)律或特征,幫助我們快速解決相關(guān)的問題,本文從一道課本習(xí)題出發(fā).通過反思、拓廣、應(yīng)用,讓同學(xué)們感受.數(shù)學(xué)探究的美妙過程.

        例1(人教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第23頁第7題第(2)小題)如圖1,如果AB//CD//EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ).

        A.180°

        B.270°

        C.360°

        D.540°

        解析:因?yàn)锳B//CD,所∠BAC+∠ACD=180°,同理可得∠DCE+∠ CEF=180°.

        所以∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=( ∠BA C+∠ACD)+(∠DCE+∠CEF) =180° +180°=360°,故選C.

        【反思1】去掉圖1中的射線CD,如圖2,我們思考:若AB//EF,則∠BAC+ ∠ACE+∠ CEF=360°還會(huì)成立嗎?

        圖2中沒有與兩平行線相關(guān)的三線八角模型,結(jié)合例1中問題情境,考慮在圖2中通過作輔助線構(gòu)造基本圖形解決問題.

        如圖3,過點(diǎn)C作CD//AB,則∠BAC+∠ACD=180°.

        因?yàn)锳B//EF,所以CD//EF,所以∠DCE+∠ CEF=180°.

        所以 ∠BAC+ ∠ACE+ ∠CEF=( ∠BAC+∠ACD )+( ∠DCE+ ∠CEF)=180°+180°=360°.

        于是得到下面結(jié)論:

        拓廣1:如圖2,若AB//EF,則∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

        這是一個(gè)非常有用的基本模型,它可以幫助我們快速而準(zhǔn)確地解決與此相關(guān)的選擇題或填空題,

        例2一大門欄桿的平面示意圖如圖4所示,BA垂直地面AE于點(diǎn)A.CD平行于地面AE.若∠BCD=150°,則∠ABC=____ .

        分析:根據(jù)上述模型及結(jié)論知:∠C+∠ABC+∠BAE=360°.從而150°+∠ABC+90°=360°.故∠ABC=120°.

        【反思2】再觀察圖2,在直線AB與直線EF之間移動(dòng)點(diǎn)C時(shí),如下頁圖5,上述結(jié)論還會(huì)成立嗎?

        過點(diǎn)C向左作CD//AB,如下頁圖6,同上可得CD//EF,可證得∠BAC=∠DCA,∠CEF= ∠DCE,故∠ACE=∠DCA+∠DCE=∠BAC+∠CEF.

        于是又得到下面結(jié)論:

        拓廣2:如圖5,若AB//EF,則∠ACE=∠BAC+∠CEF.

        這又是一個(gè)非常有用的“M”模型,

        例3 如圖7,將一副三角尺和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放:兩塊三角尺的一直角邊在同一直線上,含300角的三角尺的斜邊與紙條一邊在同一直線上,含45°角的三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上.則∠1的度數(shù)是____ .

        解析:圖7中,AB//CD,“B-A -E-C-D”正好構(gòu)成一個(gè)“M”模型,根據(jù)拓廣2,得∠AEC=∠1+∠ECD.

        故∠1=∠AEC-∠ECD=45°-30°=15°.

        例4 (2019年東營,改編)將一副三角尺(∠A =30°,∠E=45°)按如圖8所示的方式擺放,使得BA //EF、則∠BCE-∠AHF等于( ).

        A.15°

        B.30°

        C.45°

        D.50°

        解析:由∠E=45°得∠F=45°,再由∠A=30°得∠B=60°.

        因?yàn)锳B//EF,所以圖8中,“A-B-G-E-F'和“B-A -H-F-E”都分別構(gòu)成“M”模型,根據(jù)拓廣2,得∠BGE= ∠B+ ∠E,∠AHF=∠A+∠F,所以∠BGE- ∠AHF=(∠B+∠E)一( ∠A+∠ F)=(60°+45°)-(30°+45°)=30°.故應(yīng)選B.

        【反思3】再觀察圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方或直線EF下方時(shí),結(jié)論又會(huì)是怎樣的呢?

        (1)當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方時(shí),會(huì)出現(xiàn)兩種情況,如圖9、圖10.

        過點(diǎn)C向左作CD //AB,因?yàn)锳B∥EF,所以CD//EF.

        在圖9中,∠BAC= ∠DCA,∠CEF=∠DCE,故∠A CE= ∠DCA - ∠DCE= ∠BA C-∠CEF.在圖10中,∠CEF= ∠DCE,∠BA C=∠DCA.故∠A CE=∠DCE-∠DCA=∠CEF-∠BAC.

        (2)當(dāng)點(diǎn)C在直線EF下方時(shí),仍然會(huì)出現(xiàn)兩種情況,如圖11、圖12.

        同上分析,得到圖11中有∠ACE=∠ CEF-∠BAC成立,圖12中有∠A CE=∠BA C-∠CEF成立.

        上述四個(gè)模型及結(jié)論可合并歸納為:

        拓廣3:已知直線l1//l2,A,B依次是L1.上兩點(diǎn),E,F(xiàn)依次是l2上兩點(diǎn),點(diǎn)C不在L1,l2上,也不在l1.與l2之間,則∠ACE,∠BAC和∠CEF三個(gè)角中,最大的角總等于另外兩個(gè)角的和.

        運(yùn)用拓廣3同樣可以幫助我們快速而準(zhǔn)確地解決與此相關(guān)的選擇題或填空題,

        例5如圖13,直線a//b,含30°角的三角尺如圖放置,∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°,則∠2=____.

        解析:直接利用上述模型有∠3=∠1+∠B=70°,故∠2=90°-∠3=20°.

        要說明的是,上述四個(gè)模型中,平行線與平行線上的點(diǎn)有特定的位置關(guān)系,如果問題中的圖形結(jié)構(gòu)不滿足這里的“特定的位置關(guān)系”,就不要盲目套用模型解題.

        例6如圖14,若AB//CD,則∠B,∠C,∠CEB之間的數(shù)量關(guān)系為____ ,

        解析:仔細(xì)觀察,此題圖形與上述模型有區(qū)別,若直接利用上述結(jié)論,則會(huì)出錯(cuò).我們用最基本的方法解答,

        如圖,過點(diǎn)E作EF//AB,則∠B=∠BEF,∠C+∠CEF=180°.

        所以∠C+∠BEF+∠CEB=180°,故∠C+∠B+∠CEB=180°.

        練一練

        1.(2019年涼山)如圖15,若BD//EF,AE與BD交于點(diǎn)C,∠B=30°,∠A =75°,則∠E的度數(shù)為( ).

        A.135°

        B.125°

        C.115°

        D.105°

        2.(2019年齊齊哈爾)如圖16,直線a//b,將一塊含30°角(∠BAC=30°)的三角尺按圖中方式放置,其中A和C兩點(diǎn)分別落在直線a和b上,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為( ).

        A.20°

        B.30°

        C.40°

        D.50°

        3.(2019年寧波)已知直線m∥n.將一塊含45°角的三角尺ABC按如圖17所示的方式放置,其中斜邊BC與直線n交于點(diǎn)D.若∠1=25°.則∠2的度數(shù)為(? ).

        A.60°

        B.65°

        C.70°

        D.75°

        4.如圖18,若AB∥ CD,則∠B,∠C,∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系為(? ).

        A.∠B+ ∠C+ ∠E=180°

        B.∠B+∠C-∠E=180°

        C.∠B=∠E+∠C

        D.∠B一∠C=2∠E

        5.如圖19,若AB//CD,則∠A,∠AEF,∠EFC,∠FCD之間的數(shù)量關(guān)系為(? ).

        A.∠A+∠EFC+∠FCD= ∠A EF+180°

        B.∠A+∠EFC= ∠A EF+∠FCD

        C.∠A+∠FCD= ∠AEF+∠EFC

        D. ∠A +∠AEF=∠EFC+∠FCD

        參考答案:1.D 2.C 3.C 4.B 5.A

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