郭敏

摘? 要：在近幾年初中數(shù)學中考壓軸題中，常涉及到隱形圓，這些題目難度較大，得分率低。本文通過歸納了能構(gòu)造隱形圓的三個條件，使學生對這類問題找到突破口，從而提升數(shù)學思維能力和解題能力。

關(guān)鍵詞：定點;定長;定角;構(gòu)造;隱形圓;四點共圓

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1992-7711（2020）35-045-02

在近幾年不少地區(qū)的初中數(shù)學中考題中，有一些壓軸題，呈現(xiàn)方式多樣、入手較難、得分率低，但深入挖掘題目中的隱含條件或潛在信息，通過一定的轉(zhuǎn)化或變形，反而可以轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，最終利用圓的知識來解決，我們稱這類問題為隱形圓問題。因此，為了提高學生的數(shù)學思維能力和解題技巧，在第二輪中考復習中，筆者在講隱形圓這個專題時，給學生歸納了構(gòu)造隱形圓解題的三種思路。

一、由定長構(gòu)造隱形圓

當題目中的條件出現(xiàn)“定長”這個條件時，可考慮作隱形圓，然后利用圓中相關(guān)性質(zhì)來解題，達到化難為易、事半功倍的解題效果。

分析：觀察題目中的條件EA=EB=EC，既A、B、C三點到點E的距離相等，這就聯(lián)想到圓的定義：到定點的距離等于定長的所有點的組成的圖形叫做圓。則以點E為圓心，EA長為半徑作出隱形圓，如圖2，由圓的性質(zhì)：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可求得∠AEC=2∠ABC=140°，然后再通過四邊形內(nèi)角和，就可以得到∠DAE+∠DCE=360°-∠AEC-∠ADC=360°-140°-70°=150°.

該題的難度不大，比較容易從條件EA=EB=EC中構(gòu)造出隱形圓，先讓學生進行一個熱身，再進入難度稍大的題目，這樣學生就比較容易理解了。

分析：由條件AC = BC = DC，可以構(gòu)造出以點C為圓心，AC為半徑的隱形圓，如圖4.再延長AC交⊙C于E，連接DE.因為AC = BC = DC= 4，所以AE=2AC=8，又因為AC=DC，所以∠DAC=∠ADC.又因為AB∥CD，則∠BAD=∠ADC，所以∠DAC=∠BAD.根據(jù)在同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，可得弧BD=弧ED，所以BD=ED.又因為AE是直徑，由直徑所對的圓周角是直角，所以∠ADE=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理可得ED=? 82-62 =2? 7，所以BD=2? 7 .

學生在理解了例1后，做這題時可以很快構(gòu)造出隱形圓，再利用圓的相關(guān)性質(zhì)就可以求出BD的長了。

歸納：當題目條件中出現(xiàn)一個定點，并能找到這個定點的距離等于定長的這些條件時，就可以根據(jù)圓的定義構(gòu)造出隱形圓，再結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，化繁為簡，化難為易，從而提升學生的數(shù)學綜合思維和解題能力。

二、由定角構(gòu)造隱形圓

當題目中出現(xiàn) “定角”這個條件時，可考慮構(gòu)造隱形圓來解題。這是根據(jù)圓中的任意一條弦長確定后，則所對的圓周角也確定而來的。

例3：如圖5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°，求線段CP的最小值。

分析：由P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°，這個條件中可以看到：P點在運動過程中，始終保持∠APB=90°。因此，點P在以AB為直徑的圓上運動，作出此圓，圓心為O，如圖6.連接OC，交⊙O于點P，由“兩點之間線段最短”就可以得知此時的CP長度最小。因為AB=6，所以O(shè)B=OP=? ? AB=3.在Rt△OBC中，由勾股定理可得OC=? 32+42? =5，所以CP=OC-OP=5-3=2.

本題由“P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°”可知∠APB是一個定角，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，得出點P的運動軌跡是以AB為直徑的圓弧上，從而構(gòu)造出隱形圓。

例4：如圖7，在四邊形ABCD中，∠B=60，∠D=30，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度數(shù)

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）若AB=1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足AE2=BE2+CE2。求點E運動路徑的長度。

歸納：根據(jù)定理“同弧或等弧所對的圓周角相等”，當題目條件中存在“定角”時，可知這些問題中的動點的運動軌跡在某個圓上，從而構(gòu)造出隱形圓，使問題中隱晦不清的關(guān)系清晰展現(xiàn)出來。

三、由四點共圓構(gòu)造隱形圓

當題目中的條件有“對角互補”這樣的條件時，可考慮構(gòu)造隱形圓來解題。

分析：由條件∠ACB=∠ADB=90°，則可由四邊形的一組對角互補可證得A、B、C、D四點共圓，從而構(gòu)造出隱形圓，如圖11，再利用同弧所對的圓周角相等，得∠ADC=∠ABC=25°。

例6：已知四邊形ABCD是正方形，AB=4，點E在AD邊上，點F在AB的延長線上，∠DCE=∠BCF，AE= 1 . 求：tan∠ACE.

分析：由正方形ABCD可得∠DAB=∠DCB=∠D=∠ABC

筆者在講隱形圓專題時，根據(jù)學生的實際能力，設(shè)計的習題由淺入深，逐步鞏固強化。使學生對存在類似這三種條件的題目，知道入手方向，更好地借助圓的相關(guān)性質(zhì)來解題。

在數(shù)學教學中，構(gòu)造隱形圓來解決數(shù)學問題是一種廣泛的解題技巧。解題時，需要我們通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱形圓，運用數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、特殊與一般結(jié)合等思想方法。這也要求在平時的教學中教師多引導學生善于從復雜的幾何圖形中抓住圖形的本質(zhì)特征，抽象出常用的數(shù)學模型，化繁為簡，化難為易，從而不斷提高數(shù)學思維能力和解題能力。

參考文獻：

[1]沈萍華.道是無“緣”卻有“圓”──構(gòu)造隱形圓解題的幾種思路 [J]. 中學數(shù)學月刊，2018（3）：59—61.

[2]蔡衛(wèi)兵.“隱形圓”模型的探究與運用[J].中國數(shù)學教育，2017（4）：56—59.

[3]王運思.圖中無圓，心中有圓，“圓”來真好 [J] .數(shù)理化學習，2018（5）：3—4.

（作者單位：廣州市花都區(qū)新華街云山學校，廣東? ?廣州? ?510000）