文 吳曉剛

“空間觀念”是新課標(biāo)中凸顯的十大核心理念之一，考查同學(xué)們根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，或根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體的能力。三視圖很好地承載了這種理念，也為同學(xué)們將來(lái)學(xué)習(xí)高中立體幾何做鋪墊。下面吳老師就帶領(lǐng)同學(xué)們一起走進(jìn)中考試卷中繽紛的“視圖”世界。

一、由立體圖形得三視圖

例1 （2019·揚(yáng)州）如圖1所示，物體的左視圖是（ ）。

圖1

【解析】左視圖是從左面看到的圖形。本題中的物體從左邊看到的是一個(gè)矩形，由于中間還有兩條看得見的輪廓分割線，所以矩形的中間有兩條實(shí)線。故答案為B。

【點(diǎn)評(píng)】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形。解答此類問(wèn)題時(shí)要注意題目要求，并且還要注意幾何體是否有被擋住的部分，以確定輪廓線的虛實(shí)。

二、由三視圖得立體圖形

例2 （2019·常州）如圖2是某幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）。

A.圓柱 B.正方體

C.圓錐 D.球

圖2

【解析】根據(jù)該幾何體的主視圖和左視圖是長(zhǎng)方形，可判斷出該幾何體為柱體。再根據(jù)俯視圖是圓，可知該幾何體是圓柱。

【點(diǎn)評(píng)】由視圖描述幾何體的過(guò)程是根據(jù)視圖想象出空間形狀和結(jié)構(gòu)的過(guò)程，需運(yùn)用逆向思維，需要同學(xué)們加強(qiáng)空間想象能力的培養(yǎng)。當(dāng)同學(xué)們對(duì)一些常見幾何體的三視圖比較熟悉的時(shí)候，就能很自然地實(shí)現(xiàn)二維到三維的轉(zhuǎn)換，這也是一種較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。

三、與三視圖有關(guān)的計(jì)算

例3 （2019·大慶）一個(gè)“糧倉(cāng)”的三視圖如圖3所示（單位：m），則它的體積是（ ）。

A.21πm3B.30πm3

C.45πm3D.63πm3

圖3

【解析】由“糧倉(cāng)”的三視圖可知該幾何體為圓柱和圓錐的組合體。圓柱和圓錐的底面圓直徑同為6m，高分別為4m和3m，所以該幾何體的體積為32π×3=45πm3。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的主要性質(zhì)，“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，俯左寬相等”。根據(jù)這條性質(zhì)可以得到幾何體的長(zhǎng)、寬、高，即本題中的直徑和高，這是解決此類題的要點(diǎn)。

四、搭小正方體與三視圖

例4 （2019·宜賓）已知一個(gè)組合體是由幾個(gè)相同的正方體疊合在一起組成的，該組合體的主視圖與俯視圖如圖4所示，則該組合體中正方體的個(gè)數(shù)最多有（ ）個(gè)。

A.10 B.9 C.8 D.7

圖4

【解析】借助所給俯視圖來(lái)搭小正方體。先根據(jù)主視圖分析得出每列小正方體的最高層數(shù)從左往右依次為2、2、1，再由此確定每個(gè)位置的具體個(gè)數(shù)。該組合體中正方體的個(gè)數(shù)最多的具體搭法如圖5所示，故答案為2+2+2+2+1=9。

圖5

圖6

圖7

圖8

【點(diǎn)評(píng)】“三缺一”是“搭小正方體”與三視圖問(wèn)題中的經(jīng)典題型，解題策略是抓住三視圖的基本性質(zhì)，由主視圖可得幾何體的長(zhǎng)和高，由左視圖可得幾何體的高和寬，由俯視圖可得幾何體的長(zhǎng)和寬。解題要點(diǎn)是抓住俯視圖進(jìn)行搭建，再由主視圖分析出每列中的小正方體的最多個(gè)數(shù)，由左視圖分析出每行中的小正方體的最多個(gè)數(shù)。

本題也可以求出小正方體的最少個(gè)數(shù)，只要保證每行每列中有一處是最多個(gè)數(shù)，其他都為最少的1個(gè)即可，例如圖6的搭法。

若已知左視圖和俯視圖，求法類似；而若已知主視圖和左視圖，則挑戰(zhàn)性就比較大了，因?yàn)槿鄙俑┮晥D，解題就缺少抓手，需先分析出俯視圖。如本題，將條件中的俯視圖改為左視圖，則根據(jù)主視圖可得幾何體的長(zhǎng)為3個(gè)單位，根據(jù)左視圖可得幾何體的寬為3個(gè)單位，由此得到圖7所示的俯視圖，再由上面的方法可得小正方體的個(gè)數(shù)最多的搭法，如圖8所示。