張景中 鄒 宇 彭翕成

(1. 廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院 510006；2. 華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079)

0 引言

英國(guó)數(shù)學(xué)家莫萊(Frank Morley，1860—1937)在1904年給朋友的信中提到莫萊定理：一個(gè)三角形的角的三等分線的、分別靠近三邊的三個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)成正三角形.

莫萊定理因?yàn)樯婕敖堑娜确志€，通常的證明方法是利用正弦定理和余弦定理來(lái)計(jì)算出待證的正三角形的邊長(zhǎng)，求解過(guò)程比較巧妙.莫萊定理吸引了眾多幾何愛(ài)好者的眼球，證明有很多.該定理自從被提出來(lái)之后至今，很多的愛(ài)好者在不斷尋求更簡(jiǎn)潔的證明.

筆者在文[1]提出了一種更方便的幾何代數(shù)系統(tǒng)——點(diǎn)幾何，它兼有坐標(biāo)方法、向量方法和質(zhì)點(diǎn)幾何方法三者的長(zhǎng)處.為了簡(jiǎn)化涉及角度的幾何問(wèn)題，點(diǎn)幾何中引進(jìn)了“復(fù)數(shù)乘點(diǎn)”的概念.文[1]介紹了復(fù)數(shù)乘點(diǎn)的ASA公式，并基于該公式給出了莫萊定理的兩個(gè)簡(jiǎn)潔證明.

莫萊定理只是三角形的角的三等分線交點(diǎn)一種特殊情形，廣義的莫萊定理是對(duì)莫萊定理的推廣，但涉及到內(nèi)、外角三等分線的27種情形的交點(diǎn).本文先對(duì)廣義莫萊定理進(jìn)行了表述，然后利用復(fù)數(shù)乘點(diǎn)的ASA公式，結(jié)合點(diǎn)幾何的恒等式證明方法[2-5]，統(tǒng)一給出廣義莫萊定理眾多情形的點(diǎn)幾何證明.

1 廣義莫萊定理

為方便表述廣義的莫萊定理，先說(shuō)明一些記號(hào).

定義1 (角的0號(hào)、1號(hào)、2號(hào)主三分線和副三分線)設(shè)三角形的三頂點(diǎn)A-B-C沿反時(shí)針?lè)较蚺帕校?/p>

(1)通常一個(gè)角有兩條三分角線，過(guò)頂點(diǎn)A而離AB邊較近的三分角線稱為角A的0號(hào)主三分線，另一條則稱為角A的0號(hào)副三分線；類似地，過(guò)頂點(diǎn)B而離BC邊較近的三分角線稱為角B的0號(hào)主三分線，另一條稱為角B的0號(hào)副三分線；過(guò)頂點(diǎn)C而離CA邊較近的三分角線稱為角C的0號(hào)主三分線，另一條稱為角C的0號(hào)副三分線；

(2)角的0號(hào)主三分線反時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得該角的1號(hào)主三分線，繼續(xù)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得該角的2號(hào)主三分線；

(3)角的0號(hào)副三分線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得該角的1號(hào)副三分線，繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得該角的2號(hào)副三分線.

定義2 (編號(hào)為kmn的三角形PQR)設(shè)k、m、n是三個(gè)小于3的非負(fù)整數(shù)：

(1)記角A的k號(hào)主三分線與角B的m號(hào)副三分線的交點(diǎn)為P；

(2)記角B的m號(hào)主三分線與角C的n號(hào)副三分線的交點(diǎn)為R；

(3)記角C的n號(hào)主三分線與角A的k號(hào)副三分線的交點(diǎn)為Q.

下面圖1～圖10列出了10種情形，對(duì)應(yīng)的編號(hào)為000、100、020、101、102、022、111、212、112、222，其中編號(hào)102意為k=1、m=0、n=2；其他類推.

圖中的實(shí)直線表示主三分線，虛直線表示副三分線.

圖1 情形k=0 m=0 n=0

圖2 情形k=1 m=0 n=0

圖3 情形k=0 m=2 n=0

圖4 情形k=1 m=0 n=1

圖5 情形k=1 m=0 n=2

圖6 情形k=0 m=2 n=2

圖7 情形k=1 m=1 n=1

圖8 情形k=2 m=1 n=2

圖9 情形k=1 m=1 n=2

圖10 情形k=2 m=2 n=2

廣義莫萊定理斷言：若k+m+n被3除的余數(shù)不為2，則△PQR為正三角形.

容易算出，這里共有27種情形，在其中18種情形下,△PQR為正三角形.

2 廣義莫萊定理的點(diǎn)幾何證明

引理(復(fù)數(shù)乘點(diǎn)的ASA公式[1])如圖11，若已知三角形一邊AB及兩夾角α=∠CAB和β=∠CBA，當(dāng)三頂點(diǎn)A-B-C呈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，有下列公式：

下面利用上述公式給出廣義莫萊定理的點(diǎn)幾何恒等式證明.

要證的結(jié)果可表示為

①

即Q-ωδR=(1-ωδ)P，

其中當(dāng)P-Q-R為順時(shí)針?lè)较驎r(shí)(如上圖000、111、222、102情形)時(shí)δ=1，而P-Q-R為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)(如上圖100、022、112情形)時(shí)δ=-1.

設(shè)△ABC中∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ,

并記e-2iα=u，e-2iβ=v，

當(dāng)A為原點(diǎn)時(shí)，有

②

“角A的k號(hào)主三分線與角B的m號(hào)副三分線的交點(diǎn)為P”可表示為

“角B的m號(hào)主三分線與角C的n號(hào)副三分線的交點(diǎn)為R”可表示為

④

“角C的n號(hào)主三分線與角A的k號(hào)副三分線的交點(diǎn)為Q”可表示為

⑤

于是，若下列等式為恒等式，則命題真：

(1-ωδ)P).

⑥

下面檢驗(yàn)⑥式在什么條件下是恒等式：

將⑥式化簡(jiǎn)得

整理得到

通分后約去分母共同因式得

展開(kāi)整理得

當(dāng)k+m+n為0、3、6而δ=1時(shí)，上式整理成為

去分母得

(u3v3(-ω)2k+m-(-ω)k+2n)C

=(v3(-ω)2m+n-(-ω)k+2n+3)B

?(u3v3-1)C=(v3-1)B，

故編號(hào)為000、111、012、102、120、021、201、210、222的這9種情形恒等式驗(yàn)證通過(guò)；

當(dāng)k+m+n為1、4而δ=-1時(shí)，上式整理成為

去分母得

(u3v3(-ω)2k+m-(-ω)k+2n+1)C

=(v3(-ω)2m+n+2-(-ω)k+2n+1)B

?(u3v3-1)C=(v3-1)B，

故編號(hào)為001、010、100、112、121、211、202、220、022這9種情形恒等式驗(yàn)證通過(guò).

3 討論

莫萊定理因?yàn)槠錁?gòu)圖的復(fù)雜性，也常常被用來(lái)檢驗(yàn)幾何定理機(jī)器證明方法的有效性.吳文俊院士在文[6]中也提到，用吳法來(lái)證明廣義的莫萊定理，證明過(guò)程中不止一次出現(xiàn)了12個(gè)變量的含有一千多項(xiàng)(有的有1960項(xiàng))的多項(xiàng)式，并認(rèn)為，不用機(jī)器而用人工來(lái)處理這樣的問(wèn)題，是非常困難的.

相比之下，本文用點(diǎn)幾何的方法給出的證明過(guò)程是比較簡(jiǎn)短的，而且是對(duì)多種情形的統(tǒng)一證明.這從另一個(gè)角度說(shuō)明了點(diǎn)幾何的優(yōu)勢(shì)所在.