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        數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

        2019-12-26 07:16:12王典輝
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年11期
        關(guān)鍵詞:外心比雪夫增函數(shù)

        2019年10月號(hào)問(wèn)題解答

        (解答由問(wèn)題提供人給出)

        2506在k邊形A1A2…AK(k≥3)中,a1,a2,…,ak為其各邊長(zhǎng),s為周長(zhǎng),n∈N+且n≥2,0<λ≤1,求證:

        (安徽省岳西中學(xué) 儲(chǔ)百六 246600)

        證明先證一不等式:當(dāng)x∈[0,1]時(shí),

        (1)

        所以f′(x)在[0,1]上為增函數(shù),

        所以存在x0∈(0,1),使得f′(x0)=0,于是

        當(dāng)0

        當(dāng)x0>1時(shí),f′(x)>0,

        所以f(x)在[0,x0]上為減函數(shù),在[x0,1]上為增函數(shù);

        所以,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤max{f(0),f(1)}=0,故(1)式成立

        再將這k個(gè)式子相加可得

        2507如圖,已知四邊形ABCD,E、F、I、J分別是四邊的中點(diǎn),分別連接AJ、IB、DJ、IC交G、H,IJ、EF交O,求證:GH∥EF.

        (江西師范高等??茖W(xué)校 王建榮 335000)

        證明如圖,設(shè)AJ、DJ、IB、IC分別交EF于M、N、K、L,連AO、BO、IM、IN,由梅氏定理,

        △IKO、△ILO分別被直線GMJ、HNJ所截,

        如果

        2508在銳角△ABC中,有

        (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

        證明首先證明兩個(gè)必要的不等式

        (2)

        (3)

        即有

        (4)

        同理有

        (5)

        (6)

        (4)+(5)+(6)整理即得(2)式成立.下面再證(3)式成立.

        利用熟知的三角恒等式

        tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,

        我們可得

        ?(cosA+cosB+cosC)tanAtanBtanC

        ≥3(sinA+sinB+sinC)

        ?(cosA+cosB+cosC)(tanA+tanB+tanC)

        ≥3(sinA+sinB+sinC)

        記以上最后一式為不等式(7),即有(3)?(7).

        由于不等式(7)的全對(duì)稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

        則有sinA≥sinB≥sinC,

        那么由切比雪夫不等式,立得

        ≥2(sinA+sinB+sinC),

        即不等式(7)成立,從而不等式(3)也成立.

        最后證明不等式(1)成立.

        (2)+2×(3)立得

        兩邊開(kāi)方即得不等式(1)成立.

        2509如圖1:在△ABC中,∠BCA的平分線與△ABC的外接圓交于點(diǎn)R,∠BCX=∠ACY,邊BC的垂直平分線交CX于點(diǎn)P,邊CA的垂直平分線交CY于點(diǎn)Q,K是BC的中點(diǎn),L是AC的中點(diǎn),則△RPK和△RQL面積相等.

        圖1

        (安徽省旌德中學(xué) 趙忠華 242600)

        證明如圖2,如果AC=BC,則△ABC是等腰三角形,則△RPK和△RQL關(guān)于角平分線CR是對(duì)稱的,結(jié)論明顯成立.

        圖2

        如果AC≠BC,不妨設(shè)AC

        用O表示△ABC的外心,

        注意到Rt△CLF∽R(shí)t△CKE,

        則∠CEK=∠CFL=∠OFE,

        設(shè)l是弦CR的垂直平分線,則l過(guò)外心O,

        由于△OEF是等腰三角形,

        所以E,F是CR上關(guān)于l對(duì)稱兩點(diǎn),

        故RE=CF,RF=CE.(2)

        又∠REK=∠RFL,所以S△REK=S△RFL.(3)

        又∠REP=∠RFQ,所以S△REP=S△RFQ.(4)

        由(3)-(4)可得S△RPK=S△RQL.

        2510已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求證:

        (陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)

        注意到,當(dāng)a≥b≥c>1,時(shí),有

        于是,應(yīng)用切比雪夫不等式,得

        2019年11月號(hào)問(wèn)題

        (來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

        2511已知△ABC的角A,B,C的角平分線分別交邊BC、AC、AB的垂直平分線于D、E、F,求證:△ABC的周長(zhǎng)≤△DEF的周長(zhǎng).

        ( 山東省泰安市寧陽(yáng)第一中學(xué) 劉才華 271400)

        2512已知正數(shù)a,b,c,d滿足abcd=1,求證:

        (安徽省岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 蘇岳祥 246620)

        圖1

        2513如圖1,分別以△ABC邊AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABDE和矩形ACFG,CD交BF于點(diǎn)P.若AB=kAE,AC=kAG,直線AP分別交BC、EG于點(diǎn)M、N.求證:

        (1)MN⊥BC.(2)點(diǎn)N是EG的中點(diǎn).

        (四川省巴中市巴州區(qū)大和初中 李發(fā)勇 636031)

        (四川省成都華西中學(xué) 彭艷玲 張?jiān)迫A 610051)

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