趙旭安

(北京師范大學數(shù)學科學學院，教育部數(shù)學和復雜系統(tǒng)重點實驗室 100875 )

平面歐氏幾何是中學數(shù)學教學的重要內(nèi)容.對其中的經(jīng)典結果，人們非常熟悉.而對和歐氏幾何完全平行的另一種幾何，閔科夫斯基幾何，很多人都不了解.閔科夫斯基幾何和歐氏幾何有諸多相似之處，但也有一些本質(zhì)的差異.利用閔科夫斯基變換可以很容易地解釋狹義相對論中關于運動的參照系中所謂的尺縮和鐘慢效應.本文不討論閔科夫斯基幾何的物理背景，只介紹相關的幾何內(nèi)容.下面為了敘述方便，我們把閔科夫斯基幾何簡稱為閔氏幾何.

平面歐氏幾何是空間的幾何，而平面閔氏幾何是時空的幾何.如果選取適當?shù)淖鴺讼?，兩個歐氏坐標都是空間坐標，而閔氏坐標同時包含時間坐標和空間坐標.愛因斯坦革新了牛頓的存在獨立的時間和空間的錯誤認識，將對引力的研究歸結為對時空幾何的研究.本文也秉承這一思想，在討論中將閔氏幾何的坐標用(x,y)而不是(x,t)表示，這樣也可以更好地與歐氏幾何進行比較.根據(jù)Klein關于幾何學的觀點，研究一種幾何，首先要看這種幾何允許什么樣的變換.因此下文會仔細介紹平面閔科夫斯基變換的概念.

1 閔科夫斯基平面M2

首先我們引進閔氏平面M2的概念.在平面上選取原點O和坐標軸x,y軸，對于向量(x,y)，定義閔科夫斯基度量d2(x,y)=x2-y2.如果這里將減號改為加號，我們的就得到歐氏度量.平面帶上閔科夫斯基度量稱為閔科夫斯基平面，簡稱閔氏平面.對于歐氏情形，d2(x,y)≥0成立，可以開方得到距離d(x,y).對于閔氏情形，d2(x,y)可以大于、小于或等于零，一般不能開方.因此可以給出以下定義.

定義1若d2(a)>0，=0或<0，則稱向量a=(x,y)為類時、類光或類空向量.

類光向量a=(x,y)滿足x2-y2=0，它們給出平面上過原點的兩條直線，稱為原點處的光錐.光錐(兩條相交直線)將平面分成四部分，左右兩部分中點的坐標滿足x2-y2=k2>0，上下兩部分中點的坐標滿足x2-y2=-k2<0.

在歐氏幾何中，曲線x2+y2=1稱為單位圓，它是非常重要的幾何對象.而在閔氏幾何中，沒有圓的概念.其原因在于圓在歐氏變換(平移、旋轉和反射)下仍然變成圓.而這一性質(zhì)在閔氏變換下不再成立.單位圓x2+y2=1的參數(shù)方程大家都很熟悉，它可以由x=cos(t),y=sin (t)給出，這里t是歐氏的角度參數(shù).在閔氏幾何下，最重要的曲線是將單位圓的方程中加號變成減號得到的單位雙曲線x2-y2=1.

在歐氏情形下，我們有

引理1單位圓周x2+y2=1的參數(shù)方程為x=cos(t),y=sin (t)，這里t滿足0≤t<2π.

證明設x2+y2=1，則有(x+iy)(x-iy)=1.這說明(x+iy)和(x-iy)都是單位復數(shù).于是存在實數(shù)t使得x+iy=eit，且x-iy=e-it.根據(jù)歐拉定理eit=cos(t)+isin (t)可知引理成立.

順便地我們得到了

和歐氏情形不同的是雙曲線x2-y2=1包含兩個連通分支，如果我們只選取x>0的分支，則相應的參數(shù)方程為

下面我們通過求參數(shù)方程的過程，也可以得到閔氏幾何類似于角度的參數(shù).

如果和歐氏情形進行比較，不難看出這里的參數(shù)t也具有某種類似角度的屬性，差別是這里參數(shù)t的取值范圍是整個實數(shù)軸.

上面結果進一步說明閔氏和歐氏情形之間存在緊密的聯(lián)系.對應于與三角函數(shù)的等式cos2(t)+sin2(t)=1.我們有雙曲三角函數(shù)對應的結果cosh2(t)-sinh2(t)=1.

為了書寫方便，下面我們把cosh和sinh簡寫為ch和sh.

2 閔科夫斯基變換

為了定義平面閔氏變換，我們先討論歐氏情形是如何定義的.平面歐氏變換群Euc(2)包含平移、旋轉和反射三種基本的變換.

下面我們定義平面閔氏變換群Min(2).它包含平面上的平移變換群及平面上保持原點不動的子群O(1,1).這里O(1,1)稱為(1,1)型的正交群.

下面我們來求T的具體形式.將TtCT=C寫成分量形式得到

這里有四類解的原因是關于時間和空間都可以做反射.

定義5參數(shù)為t的閔氏旋轉由表達式

給出.對應于上面其它三種矩陣的變換分別是閔科夫斯基旋轉和關于x軸、y軸的反射的復合變換和關于原點的中心對稱的復合變換.

根據(jù)定義不難看出閔氏變換把平面上的雙曲線x2-y2=k2，x2-y2=-k2<0和光錐保持不變.閔氏旋轉可以把雙曲線x2-y2=1某一分支的一點旋轉至此分支上的任意其它點.平面上關于x軸的反射將坐標y變號，并且保持坐標x不變；關于y軸的反射將坐標x變號，并且保持坐標y不變.利用這兩種反射及其復合變換可以把平面上一點變換到第一象限(包括邊界)或者把光錐分割出的左右(或者上下)兩個區(qū)域相互交換.容易驗證參數(shù)為s的閔氏變換將雙曲線x2-y2上參數(shù)為t的點變?yōu)閰?shù)為s+t的點.這類似于歐氏平面上的參數(shù)為θ的旋轉將單位圓上參數(shù)為φ的點映為參數(shù)為θ+φ的點.

參數(shù)s的閔氏旋轉和參數(shù)t的閔氏旋轉的復合是參數(shù)s+t的閔氏旋轉.這在代數(shù)上等價于公式ch(s+t)=ch(s)ch(t)+sh(s)sh(t)和sh(s+t)=ch(s)sh(t)+sh(s)ch(t).讀者可以利用雙曲函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接證明.

一個一般的閔氏變換是O(1,1)中變換和一個平移變換的復合變換.它具有形式

(x,y)=(x′,y′)T+(x0,y0).

對于歐氏情形有以下簡單的結論.

命題1E2中的任一向量a=(x,y)可以通過以原點為中心的歐氏旋轉變換變成標準形式(k,0),k>0或者(0,0).

對于閔氏幾何，事情會更復雜一些.

命題2M2中的任一向量a=(x,y)可以通過以原點為中心的閔氏旋轉和關于x和y軸的反射變換變成四類標準形式(k,0),(0,k),k>0,(1,1),(0,0)之一.

證明任取一點，設其坐標為(x,y).若a=(0,0)，則它變?yōu)?0,0).若它在光錐上，且不是原點，則x2-y2=0，利用反射可以將它變?yōu)?x,x),x>0.再通過閔氏旋轉可以變?yōu)?/p>

=(x,x)et

若x>0，通過選取適當?shù)膖可以使得(x,x)et=(1,1).

類似的若x2-y2=k2>0，則能夠將(x,y)變?yōu)?k,0)；若x2-y2=k2<0，則(x,y)可以變?yōu)?0,k).讀者可以自己去驗證.

3 閔科夫斯基空間的直線和二次曲線的分類.

歐氏平面上的任意直線可以通過歐氏變換變成x軸.閔氏平面上的直線可以通過閔氏變換變成x軸、y軸或者直線y=x.出現(xiàn)這三種情形是因為直線的方向向量有類時、類空和類光三種情形.

我們也可以討論閔氏空間中的二次曲線的分類，因為分類比較復雜，所以不再贅述.讀者可參考文獻[1]中歐氏情形的討論，自己嘗試去給出相應結果.