江蘇省如東縣馬塘中學 江雪梅

三角函數和立體幾何部分是高中數學知識的重要組成部分，堪稱高中數學的兩大巨頭，更是高考數學試題的熱門考點，它們占據了大量的試題分值，是當之無愧的兩大巨頭.研究這兩部分知識在高考數學試卷中的題目分布、出題類型，總結高考數學這兩部分考題的解題注意事項，對于提高學生的數學考試成績和今后數學學習的針對性具有重要的意義.

一、2018年高考數學三角函數部分問題分析

1.三角函數部分考題概述

三角函數部分是高中數學教學的重點，也是難點，高考對三角函數部分知識的考查主要涵蓋誘導公式、同角三角函數關系、兩角和及二倍角的三角函數、三角函數的應用、三角函數的圖像及性質等.在2018年江蘇省高考數學試題中，單獨考查三角函數計算的問題僅有16題一題，其他關于三角函數的問題均是與其他知識點相結合，考查學生應用三角函數去解題的能力.

2.三角函數部分問題分析

三角函數的部分是很多學生學習的難點，在解答高考中三角函數問題時，要靈活應用三角函數的相關知識，對三角函數題目進行靈活轉化，將不常見的三角函數問題，轉變成常見的三角函數問題.

例1 （2018年江蘇省高考數學16題）已知α和β均為銳角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

問題解析：（1）在求cos2α的值時，首先要根據同角三角函數的關系對原三角函數進行變形，從而求出cos2α，然后再利用二倍角的余弦公式求出結果.因為，進而得出，又因為sin2α+cos2α=1，進而得出

（2）利用二倍角正切公式求出tan2α，再利用兩角差正切公式求出tan（α-β）的值.已知α和β均為銳角，可以得知α+β的取值范圍為（0，π），又因為所以所以tan（α+β）=-所以tan（α-β）=tan［2α-（α+β）］=

例2 （2018年江蘇省高考數學17題）圖1所示的是一塊農田，它的邊界是由圓O的一段圓弧MPN（P為圓弧的中點）和MN構成，其中圓O的半徑為40米，P到MN的距離為50米，現在要在農田上建立兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為三角形DCP，要求A、B均在線段MN上，C、D均在圓弧上，OC與MN所成夾角為θ.

圖1

圖2

（1）用θ分別表示出矩形ABCD和三角形DCP的面積，并確定出sinθ的取值范圍.

（2）如果在大棚Ⅰ中種植甲種蔬菜，在大棚Ⅱ中種植乙種蔬菜，甲、乙兩種蔬菜的單位面積產值之比為4∶3，求θ取什么值，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

問題解析：這道題主要是考查學生三角函數的應用、用導數求最值等基礎知識，同時考查學生利用所學數學知識解決實際問題的能力.在本道題的第一問中，首先要根據給定的已知條件來求出矩形的長和寬、三角形的底和高，然后根據矩形面積公式和三角形面積公式列出相關的關系式，最后結合生活實際，限定sinθ的取值范圍.具體過程如下：

（1）連接PO，使其延長線交MN于點H，則PH⊥MN，OH=10.過O點作OE⊥BC交BC于點E，那么OE∥MN，則∠COE=θ，OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面積=2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），三角形CDP的面積sinθcosθ）.過點N作GN垂直MN，交圓弧于點G，交OE的延長線于點K，那么GK=KN=10，令∠GOK=θ0，那么sinθ0=當才能夠滿足條件中矩形ABCD的要求，sinθ的取值范圍為

（2）根據已知條件甲、乙兩種蔬菜的單位面積產值之比為4 ∶3，設甲單位面積年產值為4k，乙單位面積年產值為3k，那么甲、乙兩種蔬菜年總產值為4k×800·（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）=8000k·，設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈，那么f ′（θ）=cos2θ·sin2θ·sinθ=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）·（sinθ+1）.令f ′（θ）=0，則，當θ∈時，f ′（θ）＞0，f（θ）是增函數；當時，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數.當時，f（θ）取最大值，因此，當時，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

3.三角函數部分問題小結

對于高考數學中三角函數類問題，考生需要認真審題，明白題目要考查的主要內容，不要盲目的分析.要靈活運用三角函數的性質和圖像，對需要變形的函數進行轉換，對那些不需要轉換的三角函數問題，在解題的時候要有依據，可以應用導數、數形結合等思想方法，切不可想當然.

二、2018年高考數學立體幾何部分問題分析

1.立體幾何部分考題概述

立體幾何問題是高考數學的熱門考點，它幾乎涉及了高考數學的所有題型，是每年高考數學的必考內容，也是學生必須要拿下的題型.從2018年江蘇省高考數學試卷來看，立體幾何部分的題目主要有第10題、第15題、第22題，占據分值為29分，可謂是具有舉足輕重的地位.從對學生知識的考查來看，主要涉及對幾何體的理解、對不同幾何體隱含條件的理解與應用、直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關系、空間向量、異面直線所成角和線面角等知識.

2.立體幾何部分問題分析

對于立體幾何部分問題，學生具有較強的空間想象能力是解題的基礎，要能夠準確地把握目標圖形的特點，尋找圖形中的隱含條件，結合其他的數學知識完成解答.

圖3

例3 （2018年江蘇省高考數學10題）如圖3所示，正方體的棱長為2，那么以所有面中點為頂點的多面體的體積是多少？

問題解析：解決這一問題的關鍵是能夠準確把握題目中幾何體的結構特征，對于那些不規(guī)則立體幾何圖形，能夠利用割補法將它們轉變?yōu)榫邆溆嬎愎降膸缀螆D形，最終完成求解.該題中的幾何圖形就可以看成是兩個全等的正四棱錐組成的幾何體，先求出其中一個正四棱錐的體積，然后就知道這個多面體的體積，從而可以順利完成求解.

3.立體幾何部分問題小結

立體幾何部分的問題相對較為簡單，是學生必須要拿分的問題.在解決這類問題的時候，要充分利用立體幾何的性質、概念、定義去尋找解題的思路和方法.當涉及空間向量的問題時，要先把幾何問題轉化為向量問題，通過向量運算后，再將向量問題轉化為幾何問題，以此完成求解.對于涉及空間直角坐標系的問題，首先要建立空間直角坐標系，列出各點的坐標，然后借助向量坐標和向量的相關知識來完成求解.