江蘇省灌云縣第一中學(xué) 何 靜

二項(xiàng)式定理，其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于a，b的恒等式，對(duì)于a，b 的一切值都成立.因此，為了解決問題，我們通?？蓪，b 設(shè)定為一些特殊的值，即賦值法，這個(gè)方法能幫助大家解決二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題，然而，如何把這個(gè)方法用好，卻并非容易的事.那么，面對(duì)這類問題究竟如何賦值？讓我們一起從具體問題的解決中感悟吧.

引例 已知（3x-1）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，則a1+a3+a5+a7的值為______.

分析：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的x 的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令x=1，x=-1，則偶數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到a1+a3+a5+a7的值

解：令x=1，可得28=a0+a1+…+a8；①

令x=-1，可得48=a0-a1+a2-…+a8.②

①-②，可得28-48=2（a1+a3+a5+a7）.

評(píng)注：設(shè)f（x）=（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.

①令x=1，則有a0+a1+a2+…+an=（2×1+1）n=f（1），即展開式的系數(shù)和；

②令x=0，則有a0=（2×0+1）n=f（0），即常數(shù)項(xiàng)；

③令x=-1，設(shè)n 為偶數(shù)，則有a0-a1+a2-a3+…+an=（-1×2+1）n=f（-1）?（a0+a2+…+an）-（a1+a3+…+an-1）=f（-1），即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差.再由①③即可求出（a0+a2+…+an）和（a1+a3+…+an-1）的值.

那么在各類考試中，有關(guān)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題還會(huì)出現(xiàn)哪些問題呢？

變式1：已知（x2+1）（x-2）9=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a11（x-1）11，則a1+a2+…+a11的值為（ ）.

A.0 B.2 C.255 D.-2

解析：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過對(duì)x賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點(diǎn)，可令x=2，得到a0+a1+…+a11=0，只需再求出a0即可.令x=1可得a0=-2，所以a1+a2+…+a11=2.故選B.

評(píng)注：本題要求（x-1）i（i=1，2，…，11）前面的系數(shù)之和，只需把x-1 看成整體，令它為1，即可找到x 的賦值為2.

A.16 B.-16 C.1 D.-1

解析：所求（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4），在恒等式中令x=1 可得a0+a1+a2+a3+a4=（2+令x=-1可得所以故選A.

評(píng)注：本題將（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2因式分解后，才可確定x 的賦值為1 和-1，利用方程思想，有效地將二項(xiàng)式展開式中偶次項(xiàng)系數(shù)和奇次項(xiàng)系數(shù)分離.

解析：雖然（2-3x）5展開式的系數(shù)有正有負(fù)，但（2-3x）5與（2+3x）5對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值相同，且（2+3x）5均為正數(shù).所以只需計(jì)算（2+3x）5展開式的系數(shù)和即可.令x=1，可得系數(shù)和為55，所以｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜+｜a4｜+｜a5｜=55.答案：55.

評(píng)注：求系數(shù)的絕對(duì)值之和，就是將原系數(shù)中的負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，只需將二項(xiàng)式中的負(fù)的系數(shù)“轉(zhuǎn)正”，然后令x=1.

變式4：若（1-2x）2019=a0+a1x+…+a2019x2019，則（a0+a1）+（a0+a2）+…+（a0+a2019）=______.

解析：所求表達(dá)式可變形為2018a0+（a0+a1+…+a2019），從而只需求出a0和系數(shù)和即可.令x=0可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+…+a2019=-1.

所以2018a0+（a0+a1+…+a2019）=2017.答案：2017.

評(píng)注：本題要求的表達(dá)式中a0出現(xiàn)了2019 個(gè)，可將它分離出2018 個(gè)出來，于是只需分別賦值0 和1，就可算得a0和a0+a1+…+a2019的值.

解析：所求表達(dá)式中的項(xiàng)連續(xù)出現(xiàn)2 的指數(shù)冪遞增的特點(diǎn)，考察待求表達(dá)式可發(fā)現(xiàn)，令可得，令x=0，可得a0=-1，所以所以所求表達(dá)式變形為，而a1x=，所以a1=4026，從而表達(dá)式的值為故選D.

評(píng)注：變式5 利用了組合數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而再用賦值法.而變式6 如何賦值需考察所求表達(dá)式，由于所求表達(dá)式中沒有a0，故需先求出它的值.解答本題的關(guān)鍵是將所求表達(dá)式根據(jù)賦值后的恒等式進(jìn)行變形.

變式7：已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an-1=29-n，則n 的值為______.

解析：在恒等式中令x=1可得系數(shù)和a0+a1+…+an=與條件聯(lián)系可考慮先求出a0，an，令x=0，可得a0=n，展開式中an為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以an=1，所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1.所以2n+1-2-n-1=29-n，即2n+1=32，解得n=4.答案：4.

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是利用賦值法先求出a0，an，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程問題，本題的亮點(diǎn)是將二項(xiàng)式系數(shù)問題與等比數(shù)列求和綜合在一起.

變式8：若（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是______.

解析：觀察所求式子中ai項(xiàng)的系數(shù)剛好與二項(xiàng)式展開式中ai所在項(xiàng)的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：（xn）′=nxn-1，從而設(shè)f（x）=（2x-3）5，恒等式兩邊求導(dǎo)再令x=1 可解得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再在原恒等式中令x=0 計(jì)算出a0即可.

設(shè)f（x）=（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

則f′（x）=5（2x-3）4·2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，

令x=1 可得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，

而在（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0 可得a0=-35=-243，

所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-233.答案：-233.

評(píng)注：解答本題，應(yīng)從所求表達(dá)式的特點(diǎn)聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，就是將原二項(xiàng)展開恒等式兩邊分別對(duì)x 求導(dǎo)，再利用賦值法求值.本題將二項(xiàng)式問題與導(dǎo)數(shù)綜合起來，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題方法的靈活性，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用，具有一定難度.

從以上一例八變中不難看出，“賦值法”是二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題的常用方法，它普遍適用于恒等式，對(duì)于二項(xiàng)式問題來說，它是一種十分重要的方法，巧妙賦值，能給我們解題帶來意想不到的快捷效果.然而如何賦值，卻沒有固定的模式與規(guī)律，一切應(yīng)從題目的實(shí)際出發(fā)，根據(jù)所求表達(dá)式的特征來確定.F