廣西柳州市第二中學 簡 璐

一、選題背景

2018年8月以來，我校高三年級數(shù)學組開始使用江西南昌教育風向標公司推出的知心慧學提分寶（以下簡稱“提分寶”）.在最初的使用階段，學生每周進行一次周測，在大數(shù)據(jù)技術的支撐下提分寶針對每個學生的錯題推送兩個變式題，皆符合學生當前的能力層級，科學地實現(xiàn)分層，效果良好.使用中后期，也伴隨高考備考復習進入二輪復習階段，筆者在專題復習與精準教學的結合方面做了一些嘗試，即筆者依據(jù)大數(shù)據(jù)平臺的數(shù)據(jù)分析研究設計試卷講評課，將微專題復習與試卷講評有機結合.既明確試卷講評課的任務，又優(yōu)化微專題復習的效果；既留出足夠的認知空間給學生“悟”，又體現(xiàn)了教師的主導作用；既在課堂上實現(xiàn)“一題多解”，又做到“多題歸一”.筆者認為“試卷講評+微專題復習”的模式符合高三二輪復習階段的迫切需求，一方面，解決了學生普遍存在的問題，針對性強；另一方面，教師通過微專題復習，突出了教學的重難點，將教師對于考綱、考點、考題的研究轉化為具體的試題，可操作性強；再通過多種解法的呈現(xiàn)，讓學生通過對比、轉化、歸納等方法領悟學科知識的本質，從而在今后遇到此類問題時，思維清晰，邏輯嚴密，提高答題正確率.

二、課前準備

上課前一天，學生自主用40分鐘做了一份微專題作業(yè)：圓錐曲線的離心率問題專題小測.題量是6個選擇題+4個填空題；分值為100分，每題10分；內(nèi)容是橢圓與雙曲線的離心率問題，考查兩曲線的定義、幾何性質、數(shù)形結合的思想、方程的思想、函數(shù)與不等式結合解決范圍問題.教師全批全改.大數(shù)據(jù)平臺提供的數(shù)據(jù)分析如下：（1）班級學生人數(shù)：55人，成績是3個滿分，5個90分；（2）具體列出大幅進步、大幅退步的5位學生；（3）各題錯誤率；（4）知識點掌握情況的列表.教師通過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線的定義和幾何性質掌握得較好；但問題涉及比較復雜的幾何圖形關系、多條曲線的關聯(lián)等，正確率下降（這是本節(jié)試卷講評課主要突破的內(nèi)容）；數(shù)量關系涉及不等式關系或函數(shù)最值問題時，正確率最低，不作為當前的教學重點.

為提高試卷講評課的課堂效率，突破重難點，制作了導學案.在PPT中預先展示了許多學生試卷上的答題過程，以備課堂討論之用.

下面以試卷講評課“圓錐曲線的離心率問題”的教學設計為例，探討大數(shù)據(jù)平臺下多題歸一思想的高三微專題復習.

三、教學設計

（一）內(nèi)容解讀

《圓錐曲線的離心率問題》隸屬高中數(shù)學八大板塊中的“平面解析幾何”板塊，該板塊學習了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線五種曲線，分別從曲線的定義、標準方程、曲線的幾何性質方面系統(tǒng)研究，板塊內(nèi)的知識融合體現(xiàn)在：①直線與圓，直線與圓錐曲線的位置關系；②除直線外的兩種曲線相交、相切的問題；③在復雜的曲線位置關系中特殊幾何性質的考查.例如：漸近線、離心率.該板塊是高中數(shù)學的集大成者，包含了數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類討論、轉化與化歸四大數(shù)學思想，融通了函數(shù)、三角、向量、平面幾何、平面解析幾何的相關內(nèi)容，試題具有很高的邏輯性、綜合性、創(chuàng)新性.《圓錐曲線的離心率問題》是其中的一個核心考點，它有利于培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)，多出現(xiàn)在小題，具有基礎性好、靈活性強、思維發(fā)散性廣的特點.伴隨高考改革，這部分試題的難度近年來有所下降，成為學生取得理想成績的必備復習內(nèi)容.

（二）教學目標

1.知識與技能

了解離心率（橢圓、雙曲線）問題的基本解法是找到橢圓、雙曲線標準方程中a，b，c的等量關系或不等關系，并聯(lián)合a，b，c自身的勾股性質，得到a，b，c三個元中兩個元的齊次式（或齊次不等式），從而得到離心率e的方程（或不等式）.

2.過程與方法

（1）通過直觀想象，利用三角形中的邊角關系、平面幾何相關的性質定理等，在尋求等量關系時可以減少計算量，體現(xiàn)高考“多一點想，少一點算”的考查原則.

（2）通過一題多解，體會代數(shù)法、幾何法的特點和優(yōu)勢，領悟通性通法在解題中的重要作用.

（3）通過多題歸一，歸納總結此類問題的解題流程，體會高三微專題復習的要領和學習方法，落實數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)過程.

3.情感態(tài)度與價值觀

通過學生與學生的交流、多種方法思維的碰撞、教師的適度引導，認識圓錐曲線離心率問題的本質，培養(yǎng)高層次數(shù)學思維，通過轉化與化歸，領悟各變量間的相互關系，抓住解決問題的本質，實現(xiàn)多題歸一.

（三）教學重點和難點

重點：用通性通法（方程思想、數(shù)形結合思想）求解橢圓或雙曲線的離心率，在問題有多種解決方案時，選擇簡便的途徑，并且歸納出此類問題的解題流程.

難點：求解橢圓或雙曲線的離心率的范圍、最值問題.

（四）教學過程設計

1.考試情況反饋

通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，展示幾組數(shù)據(jù)：

（1）表揚班級的前5名，大幅進步的5名同學.

（2）各題錯誤率（表1），根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”原理（錯誤率40%～70%），確定試卷講評課講3個題，即第3，5，6題.

（3）展示知識點掌握情況，分析發(fā)現(xiàn)：當離心率問題涉及比較復雜的幾何圖形關系或多條曲線關聯(lián)時，問題解決的錯誤率升高了.因此，明確本節(jié)課的主要任務.

（4）展示兩份優(yōu)秀試卷.優(yōu)秀的依據(jù)是正確率高，規(guī)范，試卷上有解題的思路和部分過程，易于糾錯.

2.綜述知識與例題探究

問題1：通過課前專題小測，你能體會老師編寫微專題的意圖嗎？

設計意圖：高三數(shù)學微專題復習發(fā)生在一輪各章節(jié)知識點系統(tǒng)復習之后，其目的是針對學生目前存在的主要錯誤，糾正認知偏差，夯實基礎，明晰概念本質，強化通性通法.因此，首先引導學生總結現(xiàn)有知識網(wǎng)絡，即學生須明白，哪些內(nèi)容是已經(jīng)掌握的.

課堂反饋：學生體會解決圓錐曲線的離心率問題，方程思想很重要.由圓錐曲線的定義和幾何性質等，得到關于a，c的關系，從而得到e的方程或不等式，求解e的值或范圍.顯然，基本數(shù)學思想和通性通法已經(jīng)明確.

問題2：（前測3）F1，F(xiàn)2是雙曲線0）的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）.

設計意圖：當問題涉及的“量”增加時，學生將面臨三個困難：①正確畫圖，將數(shù)學語言轉化為圖形語言，準確地翻譯題目；②在眾多變量的相互關系中尋求穩(wěn)定不變的關系；③將關系用盡量少的變量來表示.這三個困難只要有一個環(huán)節(jié)出錯，都將導致解題錯誤.試題很好地體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化與化歸數(shù)學思想的應用.這也是學生差異產(chǎn)生的源頭所在.

課堂反饋：

（1）前測3學生A講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意設｜BF2｜=m，則｜AB｜=m，｜AF1｜=｜BF1｜-｜AB｜=m+2a-m=2a，知｜AF1｜=2a，則｜AF2｜=4a，｜F1F2｜=2c.所 以所以

故選項C正確.

（2）前測5學生B講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意，由｜OE｜=2｜ON｜，可設N（0，1），E（0，-2），所以由A（-a，0）的方程為由B（a，0），N（0，1）的方程為兩直線交于點M，得x=-3a.因為點M在直線PF上，所以-3a=-c?e=3.

前測5學生C講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

故選項A正確.

課堂評價：三個同學的共同優(yōu)點是圖形美觀，解題步驟簡潔清楚，數(shù)學表述重點突出、邏輯性強.解題中靈活應用了定值模型、三角形的余弦定理、直線的方程、平面幾何的相似關系，體現(xiàn)了綜合應用知識的能力.學生A運用雙曲線的定義巧妙選擇變量；學生B運用特殊值，結合曲線的方程（解析幾何通法），用代數(shù)方法解決幾何問題；學生C運用直觀想象發(fā)現(xiàn)相似的特性，用比值解決問題，計算量大大減少.

3.梳理總結

筆者請同學們由本節(jié)課的幾個題總結出關于圓錐曲線的離心率問題的解題流程.學生能畫出簡單的思維導圖，解題流程如下：

審題，作圖，直觀想象→有無常見的背景或模型→尋找?guī)缀翁卣髋c性質，實現(xiàn)轉化→設點設線，用解析法解決問題.

從數(shù)學素養(yǎng)養(yǎng)成的角度，上述流程分別對應著：直觀想象，數(shù)學建模，邏輯推理，數(shù)學運算.

四、教學反思

（一）多題歸一思想的微專題復習創(chuàng)造試卷講評課的高效模式

高三復習備考階段，學生和教師都要面臨大量的題目，有許多同類型的題.有知識點不同，但思想方法一樣的題；有所屬知識板塊不同，但考查的核心素養(yǎng)一致的題……為了提高學生的復習效果，增強復習的信心，教師一頭扎進題海，摸索一番之后，多題歸一思想的微專題復習最終將許多的題揉成一條線，線頭一觸動，一串題全解決，而線頭就是學科知識的本質.它造就了大數(shù)據(jù)平臺下的新型試卷講評課，筆者將它命名為“微專題復習+試卷講評模式”.

這樣的試卷講評課避免了就題講題，目標不清晰，任務不明確，重復低效的狀況，同時在大數(shù)據(jù)平臺數(shù)據(jù)分析的引導下，它是高效、針對性強、目標清晰的一堂課，學生通過“課前、課中、課后”的一條龍引領啟發(fā)，優(yōu)化復習方法，感悟學科精髓，最終學會學習，學會借數(shù)學思想解決問題，學會用數(shù)學的眼光看待世界.

（二）多題歸一思想的微專題復習創(chuàng)造學生大放光彩的課堂

學生是學習的主體，學生的“悟”是學習的最高境界.試卷講評課的前提是學生對大部分題目都有自己的解法，而數(shù)學題大多可以一題多解，特別是到了二輪復習階段更是如此，所以講評課堂留出大塊的時間讓學生講、討論、表述、反復推演、梳理、總結.這樣的課堂極大地培養(yǎng)了學生的自信心、思辨能力、表達能力.許多學生為了能在課上說自己的解題方法，課下加倍做功課，例如：反復推理解題的嚴謹性；慎重思考運算的合理性；積極尋求其他方法的巧妙性，這難道不是學好數(shù)學的催化劑嗎？更進一步，學生還學會自己總結一些小專題，與同學老師分享.多題歸一思想的微專題復習教會學生尋找規(guī)律，尋同，求異，學會變通轉化，既開拓思路又匯聚要領.它是學生數(shù)學核心素養(yǎng)培育的肥沃土壤.

當然，這樣的課堂對教師的要求很高.看似一堂課，考驗十年功.教師的課前選題，課堂拓展，課后強化要做到“高效+精準+全面”，需要教師學上一桶，方能舀出一勺.

（三）大數(shù)據(jù)精準教學系統(tǒng)實現(xiàn)學生的個性化學習，關注每一個學生

考試后，大數(shù)據(jù)平臺給學生推送“提分寶”試題.教學中，筆者給學生留出專門的時間完成，并經(jīng)常檢查，開展個別輔導.一定不要讓針對性很強的作業(yè)被其他形式的作業(yè)掩蓋，導致不理解的知識點還是吃不透，某一些計算還是同樣出錯，思維需要完備的環(huán)節(jié)始終不完整……這些都是導致丟分的直接原因.大數(shù)據(jù)平臺對學生所處層級科學定位，準確推題，教師引領，真正改變當前落后的教育狀況：學生毫無選擇，身心疲憊，進展緩慢；老師疲于奔命，抱怨生源下降，教多少遍都會不了.當然，數(shù)學題的知識點多，結合點多，方法靈活多變，所以學生應該對學習中的困難有充分的準備，踏實學習；教師應該以教研引領研究考綱考題，更新觀念學習新技術，立足知識本源，揭示學科本質，在新興科技創(chuàng)造無限可能性的今天，讓學習事半功倍，關注學生的持續(xù)發(fā)展.