南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 吳 茹

南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 孔德鵬

一、問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及情感態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).對(duì)于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，很多一線(xiàn)老師已經(jīng)從單純的理論學(xué)習(xí)階段上升到探索實(shí)踐階段，大家都在思考采取哪些有效的措施來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，其中數(shù)學(xué)問(wèn)題既有純數(shù)學(xué)問(wèn)題，又有與數(shù)學(xué)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，后者涉及一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)——數(shù)學(xué)建模.如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是一種必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以“函數(shù)模型及其應(yīng)用”為例，探討基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主題教學(xué)整體設(shè)計(jì)問(wèn)題.

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材要素分析

1.對(duì)教學(xué)內(nèi)容的基本認(rèn)識(shí)

函數(shù)模型及其應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)必修課程系列主題二函數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)這三種函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用題.同時(shí)，讓學(xué)生深入感受到函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中自然規(guī)律的重要模型，進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)模型的理解與認(rèn)識(shí)，循序漸進(jìn)、不斷深入，為后面研究其他數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用打下基礎(chǔ).

函數(shù)模型及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的重要體現(xiàn)，其思想價(jià)值在于用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.在解決問(wèn)題的同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).函數(shù)模型及其應(yīng)用是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的上好素材，所以設(shè)計(jì)好、上好這部分內(nèi)容有重要的理論與實(shí)踐價(jià)值.

2.學(xué)情分析

學(xué)生在高中以前積累了較豐富的解決應(yīng)用題的經(jīng)驗(yàn)，特別是利用一次函數(shù)、二次函數(shù)等解決實(shí)際問(wèn)題.在高中預(yù)備知識(shí)與函數(shù)主題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了豐富的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何研究函數(shù)及研究函數(shù)的哪些性質(zhì)有了進(jìn)一步的體會(huì)，這些為本節(jié)課繼續(xù)研究函數(shù)模型的應(yīng)用做了鋪墊.

3.教學(xué)重難點(diǎn)分析

函數(shù)模型及其應(yīng)用是高中課程中數(shù)學(xué)建模的第一課，為后續(xù)的學(xué)習(xí)起到了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)地位作用.數(shù)學(xué)抽象建立函數(shù)模型既是本節(jié)課的重點(diǎn)也是本節(jié)課的難點(diǎn).

（二）編制教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）經(jīng)過(guò)探究余額寶年收益問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，深化理解應(yīng)用題的解題過(guò)程與方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

（2）通過(guò)利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決大量的實(shí)際生活問(wèn)題，提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

三、課堂實(shí)錄

（一）問(wèn)題情境，引入課題

師：聽(tīng)說(shuō)余額寶的年化收益率高達(dá)4%（已取近似值），而且也相對(duì)安全.某人有一萬(wàn)元存入余額寶中漲利息，多少年之后此人的錢(qián)能夠翻一番？大家試試看.

生1：設(shè)總錢(qián)數(shù)為y萬(wàn)元，年數(shù)為x年，它們的關(guān)系是y=1.04x，x∈N*.令1.04x=2，解得所以需要18年，才能使錢(qián)翻一番.

師：其實(shí)這種題型就是我們之前學(xué)過(guò)的哪種題型？

生2：應(yīng)用題.

師：這道題通過(guò)我們剛剛學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)就可以解決，進(jìn)而幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題，這是今天我們要一起研究的《函數(shù)模型及其應(yīng)用》.（板書(shū)）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際生活中的問(wèn)題，提高學(xué)生深入了解的欲望，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.把學(xué)生的認(rèn)知水平提升到另一個(gè)更高的水平，讓學(xué)生真正做到學(xué)以致用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

（二）層層推進(jìn)，深入探究

師：談到函數(shù)模型，我們以前學(xué)過(guò)哪些函數(shù)模型？

生3：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，還有我們剛剛學(xué)過(guò)的分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù).

師：建立函數(shù)模型對(duì)于我們剛剛解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題至關(guān)重要，它也是解決應(yīng)用題特別有難度的一個(gè)環(huán)節(jié)，那么我們首先就來(lái)攻克這個(gè)難點(diǎn).大家請(qǐng)看例1（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第98頁(yè)例1）.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)答案？

生4：解：由題意可知：

師：請(qǐng)一位學(xué)生點(diǎn)評(píng)生4的解答.

生5：他注意到自變量的實(shí)際意義，也看到單位的不同，最終統(tǒng)一單位.

師：以后我們?cè)谧鰬?yīng)用題時(shí)，一定注意：自變量要有實(shí)際意義及單位要統(tǒng)一.（板書(shū)）

師：我們已經(jīng)初步解決建立函數(shù)模型這一難點(diǎn)，那么接下來(lái)，我們嘗試?yán)煤瘮?shù)模型來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，大家請(qǐng)看例2（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第100頁(yè)練習(xí)2）.

（學(xué)生上黑板板演）

師：生6已經(jīng)寫(xiě)完，我們一起來(lái)看看.如果這道題目一共10分，你會(huì)給他幾分？

生7：給3分.沒(méi)有寫(xiě)“解”扣1分；s1、s2和t沒(méi)有給出定義扣1分；在分段函數(shù)中，s2是有問(wèn)題的，定義域?yàn)椋?，16］，生6缺了［0，3］和［13，16］這兩段，扣5分；

師：嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要條件，以后我們不僅要好好審題，細(xì)節(jié)同樣要注意.現(xiàn)在我們一起把它補(bǔ)充完整.（將答案補(bǔ)全）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)具體的實(shí)際生活問(wèn)題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解.例1是讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，利用函數(shù)關(guān)系來(lái)表達(dá)生活中的變量依存關(guān)系，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).例2是一道行程問(wèn)題，畫(huà)線(xiàn)段圖能有效幫助學(xué)生審清題意，同時(shí)自變量選擇的是慢車(chē)行駛時(shí)間，所以快車(chē)關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式中的［13，16］這一段容易被學(xué)生忽略掉，這需要學(xué)生認(rèn)真審題，仔細(xì)分析數(shù)據(jù)，在這個(gè)過(guò)程中，可以進(jìn)一步提升學(xué)生直觀想象及邏輯推理等核心素養(yǎng).

（三）總結(jié)歸納，建構(gòu)概念

師：剛剛我們一起解決了兩道實(shí)際應(yīng)用題，你是否能總結(jié)一下做應(yīng)用題的一般流程？小組討論.

生8：先讀題，再建立函數(shù)關(guān)系，解一下，寫(xiě)上答案.

師：總結(jié)到位，先審題，再建模，接下來(lái)解模，最后得到結(jié)論.

強(qiáng)調(diào)：（1）審題是前提；

（2）建模是關(guān)鍵，我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型有：方程、不等式、函數(shù)等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面幾個(gè)具體實(shí)例，讓學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般解題思路，完善數(shù)學(xué)知識(shí)框架，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的起點(diǎn).在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，設(shè)計(jì)出合理的問(wèn)題串，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.

（四）及時(shí)練習(xí)，鞏固提高

練習(xí).（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū)（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第100頁(yè)練習(xí)題第1題和第3題）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)進(jìn)一步動(dòng)手操作，體會(huì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，從而更加深刻地理解函數(shù)模型及其應(yīng)用，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（五）課堂小結(jié)，深化延伸

師：通過(guò)幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題的研究，我們發(fā)現(xiàn)通常按實(shí)際問(wèn)題→建立數(shù)學(xué)模型→得到數(shù)學(xué)結(jié)果→解決實(shí)際問(wèn)題的程序解決實(shí)際問(wèn)題，其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖：筆者通過(guò)對(duì)本節(jié)課的總結(jié)，讓學(xué)生不僅從知識(shí)層面上進(jìn)行總結(jié)，還對(duì)獲取知識(shí)的過(guò)程進(jìn)一步回顧與反思，使學(xué)生的思維能力得以提升.

四、兩點(diǎn)思考

本節(jié)課通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例的研究，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程，使數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)真正成為可以落實(shí)的教學(xué)目標(biāo).關(guān)于以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者有以下兩點(diǎn)思考.

（一）加強(qiáng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).教師用好教材不等于教教材，要學(xué)會(huì)整合.對(duì)于新課尤其是抽象應(yīng)用拓展類(lèi)的課堂，要根據(jù)情況創(chuàng)設(shè)合適的情境，將數(shù)學(xué)問(wèn)題融入一個(gè)學(xué)生感興趣或比較熟悉的場(chǎng)景中，然后發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).在本案例的問(wèn)題情境環(huán)節(jié)中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)余額寶收益的情境，激發(fā)學(xué)生求知欲，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).在整個(gè)高中的數(shù)學(xué)課程中，通過(guò)大量的實(shí)際問(wèn)題，建立一些基本數(shù)學(xué)模型，包括線(xiàn)性模型、二次曲線(xiàn)模型、指數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、參變數(shù)模型等.通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活問(wèn)題，讓學(xué)生有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活”，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)新能力.

（二）啟發(fā)引導(dǎo)，提高學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”）.本節(jié)課從學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題方面，筆者認(rèn)為是比較成功的.在“創(chuàng)設(shè)情境，引入課題”環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生幫助解決存款問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程，都由學(xué)生自己完成.學(xué)生在不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中將問(wèn)題解決.其實(shí)，這也是波利亞解題四步驟的體現(xiàn)與詮釋.在一定意義下，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，提出問(wèn)題的前提往往是用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注問(wèn)題的分析、解決，更要關(guān)注問(wèn)題的源頭，即關(guān)注問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出.要解決一個(gè)自己不會(huì)做的問(wèn)題，或者比較陌生的問(wèn)題時(shí)，實(shí)際上處于“老虎吃天從何下口”的困難境地.要解決面前的問(wèn)題，首先要主動(dòng)提出問(wèn)題，弄清條件是什么，問(wèn)題是什么，厘清問(wèn)題后，利用相關(guān)的知識(shí)和方法，將已知與所求建立聯(lián)系，分析并解決問(wèn)題.培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成提出問(wèn)題、思考問(wèn)題的習(xí)慣，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性.

高中數(shù)學(xué)課堂不能局限于一兩道數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，而要深入挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的育人價(jià)值，樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的意識(shí).在教學(xué)實(shí)踐中，我們要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.