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        “數(shù)形結(jié)合”巧定二次函數(shù)表達式

        2019-12-26 05:48:30文孫德萍
        初中生世界 2019年47期
        關(guān)鍵詞:原點表達式交點

        文孫德萍

        (作者單位:江蘇省南京市六合區(qū)勵志學校)

        蘇科版《數(shù)學》教材九年級下冊第21、22頁有三個例題:

        已知二次函數(shù)y=ax2的圖像經(jīng)過點(-2,8),求a的值。

        已知二次函數(shù)y=ax2+c的圖像經(jīng)過點(-2,8)和(-1,5),求a、c的值。

        已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(-3,6)、(-2,-1)和(0,-3),求這個二次函數(shù)的表達式。

        【解析】上面三題把函數(shù)與方程相結(jié)合,通過把點的坐標代入表達式,建立方程或方程組,從而求出二次函數(shù)的表達式。這三個例題的解法類似,在課本中都有,這里就不再列解。表達式是函數(shù)的根本所在,所以很多函數(shù)問題都是從求表達式開始的。那么如何快速準確地求出二次函數(shù)的表達式呢?下面通過這樣幾類情況進行簡述。

        一、觀察題目特征,巧設(shè)函數(shù)表達式

        例1已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(-3,0)、(1,0)和(0,-3),求這個二次函數(shù)的表達式。

        【解析】解法一:可設(shè)二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c,由圖像經(jīng)過點(-3,0)、(1,0)和(0,-3)列方程組求解。顯然此方法較復雜,計算繁瑣。解法二:根據(jù)圖像經(jīng)過點(-3,0)、(1,0)可以看出二次函數(shù)的對稱軸是直線x=-1,所以可設(shè)二次函數(shù)表達式為y=a(x+1)2+k,再把點(1,0)和(0,-3)代入計算。解法三:根據(jù)圖像經(jīng)過點(-3,0)、(1,0)不難看出,這兩個點是二次函數(shù)的圖像與x軸的交點,所以可設(shè)表達式為y=a(x+3)(x-1),再把點(0,-3)代入可得a=1,所以這個二次函數(shù)的表達式為 y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3。

        【總結(jié)】二次函數(shù)的表達式通常有一般式、頂點式和交點式三種。已知圖像上三個點的坐標或三組對應(yīng)值時,通常選擇一般式;已知圖像的頂點坐標或?qū)ΨQ軸和最值時,通常選擇頂點式;已知圖像與x軸的兩個交點坐標時,通常選擇交點式。三種表達式并沒有哪個特別重要,但是在不同的條件下,如果能合理選擇,便可使問題的解決變得更為方便。

        二、利用幾何變換,巧定函數(shù)表達式

        例2(2019·徐州)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點P(2,2),頂點為O(0,0),將該圖像向右平移,當它再次經(jīng)過點P時,所得拋物線的函數(shù)表達式為_____。

        【解析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移。由圖像的頂點為O(0,0),可設(shè)表達式為y=ax2,把點(2,2)代入,得2=4a,所以,得原二次函數(shù)的表達式為。設(shè)將該圖像向右平移m個單位,則表達式為,代入(2,2),解得m1=0(舍去),m2=4,所以所得拋物線的函數(shù)表達式為

        例3已知二次函數(shù)的圖像在x軸上截得的線段AB長為4,函數(shù)圖像的頂點坐標為P(3,-2)。

        (1)求這個二次函數(shù)的表達式;

        (2)一個新的二次函數(shù)的圖像與(1)中拋物線關(guān)于y軸對稱,求新的二次函數(shù)表達式;

        (3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與(1)中拋物線關(guān)于原點對稱,求a,b,c的值。

        【解析】(1)由拋物線的頂點坐標可得拋物線的對稱軸為直線x=3,利用拋物線的對稱性可得A點和B點坐標分別為(1,0),(5,0),則可設(shè)交點式y(tǒng)=a(x-1)(x-5),然后把P點坐標代入求出a=,從而得到拋物線解析式為

        (2)圖像關(guān)于y軸對稱,也就是圖像上的點關(guān)于y軸對稱,并且開口方向和大小都一樣,所以a相同,利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征,求出點P(3,-2)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-3,-2),利用頂點式確定新的二次函數(shù)表達式為

        (3)利用關(guān)于原點對稱的坐標特征,求出點P(3,-2)關(guān)于原點對稱的點的坐標為(-3,2),然后利用頂點式寫出新拋物線解析式為,再化為一般式y(tǒng),則可得到

        三、給定關(guān)系式,再求函數(shù)表達式

        例4(2019·安徽)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為(1,2),另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點。

        (1)求k,a,c的值;

        (2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B,C兩點,點O為坐標原點,記W=OA2+BC2,求W關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求W的最小值。

        【解析】(1)由交點為(1,2),代入y=kx+4,可求得k,由y=ax2+c可知,二次函數(shù)的頂點在y軸上,即x=0,則可求得頂點的坐標,從而可求c值,最后可求a的值。

        (2)由(1)得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4,由直線BC經(jīng)過點A(0,m)且垂直于y軸,所以B、C兩點的縱坐標均為m,令y=m,得2x2+m-4=0,可求x的值,即可得BC的長,從而列出W關(guān)于m的關(guān)系式,進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最小值。

        解:(1)由題意得,k+4=2,解得k=-2,

        又∵二次函數(shù)y=ax2+c的頂點坐標為(0,c),

        ∴當x=0時,y=4,

        ∴二次函數(shù)頂點坐標為(0,4),

        ∴c=4,把(1,2)代入二次函數(shù)表達式得a+c=2,解得a=-2。

        (2)由(1)得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4,令y=m,得2x2+m-4=0,解得

        ∴當m=1時,W取得最小值7。

        我們?nèi)绻_定二次函數(shù)的表達式,應(yīng)先根據(jù)題目所給條件,靈活選用二次函數(shù)表達式的不同形式,再抓住表達式與圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合,最終運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

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