文
(作者單位:江蘇省南京市天景山中學(xué))
“二次函數(shù)”是各地中考考查的核心知識(shí)。如何在有限的考試時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確、快速地解題,是大家關(guān)注的焦點(diǎn)。下面結(jié)合幾個(gè)例子和同學(xué)們一起分享。
例1 (2019·紹興)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=(x+5)(x-3)經(jīng)變換后得到拋物線y=(x+3)(x-5),則這個(gè)變換可以是( )。
A.向左平移2個(gè)單位
B.向右平移2個(gè)單位
C.向左平移8個(gè)單位
D.向右平移8個(gè)單位
【分析】方法1:可以將該二次函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化找出變換規(guī)律。方法2:由題給出的兩個(gè)表達(dá)式,都是“交點(diǎn)式”,即變換前后與x軸交點(diǎn)分別為:變換前(-5,0)、(3,0),變換后(-3,0)、(5,0),顯然這種解法較為簡便。
【答案】B。
例2(2019·福建)若二次函數(shù)y=+bx+c的圖像經(jīng)過A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D( 2 ,y2)、E(2,y3),則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( )。
A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1
【分析】由點(diǎn)A(m,n)、C(3-m,n)的對(duì)稱性,可求函數(shù)的對(duì)稱軸為x注意二次項(xiàng)系數(shù)為 ||a這個(gè)重要條件,可知該拋物線開口向上,可不必代入求值,由B(0,與對(duì)稱軸的距離,即可快速判斷。
【答案】D。
例3 (2019·武漢)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)、B(4,0)兩點(diǎn),則關(guān)于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是_______。
【分析】從一元二次方程a(x-1)2+c=bbx出發(fā),可化為a(x-1)2+b(x-1)+c=0。因A、B兩點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn),即令y=0代入得:ax2+bx+c=0。對(duì)比可發(fā)現(xiàn),(x-1)是一個(gè)整體,可得x-1=-3,x-1=4。
【答案】x1=-2,x2=5。
例4 (2019·內(nèi)江)若x、y、z為實(shí)數(shù),且則代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值是_______。
【分析】從條件入手,發(fā)現(xiàn)此方程組解不出來。但從問題出發(fā),發(fā)現(xiàn)求代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值問題,可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題,將代數(shù)式化為用同一個(gè)字母表示的形式就可以構(gòu)造二次函數(shù),解題思路得以打通。
【答案】26。
例5 (2019·濰坊)如圖1,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的周長最小時(shí),S△PAB= ______________。
圖1
【分析】因交點(diǎn)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求,得AB=3 2。再從未知出發(fā)分析,要求△PAB的周長最小值,即可轉(zhuǎn)化為求PA+PB的最小值,根據(jù)“將軍飲馬”模型,P點(diǎn)應(yīng)是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′與點(diǎn)B的連線與y軸的交點(diǎn)(如圖2),因此點(diǎn)P坐標(biāo)可求出為再根據(jù)y=x+1的圖像與x軸的夾角為45°這一特性,可過P作AB邊上的高,求出即可,本題迎刃而解。
圖2
【答案】
【點(diǎn)評(píng)】本題不僅考查了二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了兩點(diǎn)間的距離計(jì)算、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(最短路徑問題)。解決此類“小綜合題”的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)掘“線索”,結(jié)合圖形,正確計(jì)算。
考試是有時(shí)間限制的,對(duì)于二次函數(shù)考點(diǎn)中出現(xiàn)的選擇、填空這一類中檔題,除能正確解題外,同學(xué)們還應(yīng)追求更靈活、快速的解決方法,這樣可以給解決后面的難題留下更多的時(shí)間。認(rèn)真審題,在已知和未知中充分挖掘特殊的信息,找到解題的“關(guān)鍵因素”是考試成功的前提。