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        挖掘“特殊”信息 “秒殺”中考小題

        2019-12-26 05:48:32
        初中生世界 2019年47期
        關鍵詞:特殊代數(shù)式一元二次方程

        (作者單位:江蘇省南京市天景山中學)

        “二次函數(shù)”是各地中考考查的核心知識。如何在有限的考試時間內(nèi)準確、快速地解題,是大家關注的焦點。下面結合幾個例子和同學們一起分享。

        一、二次函數(shù)圖像的平移

        例1 (2019·紹興)在平面直角坐標系中,拋物線y=(x+5)(x-3)經(jīng)變換后得到拋物線y=(x+3)(x-5),則這個變換可以是( )。

        A.向左平移2個單位

        B.向右平移2個單位

        C.向左平移8個單位

        D.向右平移8個單位

        【分析】方法1:可以將該二次函數(shù)的表達式化為頂點式,根據(jù)頂點坐標的變化找出變換規(guī)律。方法2:由題給出的兩個表達式,都是“交點式”,即變換前后與x軸交點分別為:變換前(-5,0)、(3,0),變換后(-3,0)、(5,0),顯然這種解法較為簡便。

        【答案】B。

        二、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征

        例2(2019·福建)若二次函數(shù)y=+bx+c的圖像經(jīng)過A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D( 2 ,y2)、E(2,y3),則y1、y2、y3的大小關系是( )。

        A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2

        C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1

        【分析】由點A(m,n)、C(3-m,n)的對稱性,可求函數(shù)的對稱軸為x注意二次項系數(shù)為 ||a這個重要條件,可知該拋物線開口向上,可不必代入求值,由B(0,與對稱軸的距離,即可快速判斷。

        【答案】D。

        三、二次函數(shù)與一元二次方程

        例3 (2019·武漢)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(4,0)兩點,則關于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是_______。

        【分析】從一元二次方程a(x-1)2+c=bbx出發(fā),可化為a(x-1)2+b(x-1)+c=0。因A、B兩點是拋物線與x軸的交點,即令y=0代入得:ax2+bx+c=0。對比可發(fā)現(xiàn),(x-1)是一個整體,可得x-1=-3,x-1=4。

        【答案】x1=-2,x2=5。

        四、二次函數(shù)的最值

        例4 (2019·內(nèi)江)若x、y、z為實數(shù),且則代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值是_______。

        【分析】從條件入手,發(fā)現(xiàn)此方程組解不出來。但從問題出發(fā),發(fā)現(xiàn)求代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值問題,可轉化為求二次函數(shù)的最值問題,將代數(shù)式化為用同一個字母表示的形式就可以構造二次函數(shù),解題思路得以打通。

        【答案】26。

        五、二次函數(shù)的綜合運用

        例5 (2019·濰坊)如圖1,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A、B兩點,點P是y軸上的一個動點,當△PAB的周長最小時,S△PAB= ______________。

        圖1

        【分析】因交點A、B兩點坐標可求,得AB=3 2。再從未知出發(fā)分析,要求△PAB的周長最小值,即可轉化為求PA+PB的最小值,根據(jù)“將軍飲馬”模型,P點應是點A關于y軸的對稱點A′與點B的連線與y軸的交點(如圖2),因此點P坐標可求出為再根據(jù)y=x+1的圖像與x軸的夾角為45°這一特性,可過P作AB邊上的高,求出即可,本題迎刃而解。

        圖2

        【答案】

        【點評】本題不僅考查了二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了兩點間的距離計算、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱(最短路徑問題)。解決此類“小綜合題”的關鍵是明確題意,發(fā)掘“線索”,結合圖形,正確計算。

        考試是有時間限制的,對于二次函數(shù)考點中出現(xiàn)的選擇、填空這一類中檔題,除能正確解題外,同學們還應追求更靈活、快速的解決方法,這樣可以給解決后面的難題留下更多的時間。認真審題,在已知和未知中充分挖掘特殊的信息,找到解題的“關鍵因素”是考試成功的前提。

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