文夏乾冬
(作者單位:江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校)
我們知道,函數(shù)有三種表示形式:表達(dá)式、表格、圖像。很多同學(xué)在解決相關(guān)給出表格類的二次函數(shù)問題時(shí),往往會(huì)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)表達(dá)式,或者畫出圖像求解,反而忽視了表格的優(yōu)越性。下面我們舉例如何利用表格的特點(diǎn)解決“表格中的二次函數(shù)”問題。
表格中自變量間距相同,保證了連續(xù)點(diǎn)的對(duì)稱性。可以根據(jù)表格中y的相同一組或多組值,找出頂點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)對(duì)稱性,找到其他關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。
例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
則當(dāng)x=5時(shí),y的值為_______。
【分析】根據(jù)表格的對(duì)稱性得出函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2,找出函數(shù)圖像上的點(diǎn)(5,y)和點(diǎn)(-1,10)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,即可得出答案。
【解答】根據(jù)表格得出函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2,所以函數(shù)圖像上的點(diǎn)(5,y)和點(diǎn)(-1,10)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,即當(dāng)x=5時(shí),y=10,也可以根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格:
故答案為:10。
例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
_____x_____y…__…___-4__3___-3__-2__-2__-5__-1___-6__0___-5__……_
則方程ax2+bx+c=0(a≠0)的正數(shù)解x1的取值范圍是( )。
A.0<x1<1 B.1<x1<2
C.2<x1<3 D.3<x1<4
【分析】求方程ax2+bx+c=0的解,也就是當(dāng)y=0時(shí)x的值,在表格中很容易看出y=0介于3與-2之間,那么對(duì)應(yīng)的x的值在-4與-3之間,也就是負(fù)數(shù)解的范圍。根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的對(duì)稱性,可以找出頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-6),從而找出正數(shù)解的范圍。
【解答】根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格:
____x____y…_…__-4_3__-3_-2_-2_-5_-1__-6_0__1__-5_-2__2__3__……
在表格中很容易看出y=0介于-2與3之間,那么對(duì)應(yīng)的x的正的值在1與2之間,也就是正數(shù)解的范圍是1<x1<2,故選:B。
【點(diǎn)評(píng)】此題還可以利用一般式或頂點(diǎn)式先求出二次函數(shù)的解析式:y=x2+2x-5,然后解方程:x2+2x-5=0,求出方程的解:x1= 6-1,x2=-6-1,然后判斷出 6-1在1與2之間,從而得到答案B。對(duì)比兩種解法,我們可以看出利用表格特點(diǎn)解題的簡(jiǎn)便與快捷。
表格中自變量間距不同,破壞了連續(xù)點(diǎn)的對(duì)稱性,我們可以通過補(bǔ)充遺漏的自變量的值,使表格中自變量間距相同,利用表格的對(duì)稱關(guān)系,最大限度完善x和y的對(duì)應(yīng)值。
例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x y……-3 7-2 0 0 1 3-8-9-5 5 7……
則當(dāng)y≤0時(shí),x的取值范圍是___。
【分析】本題中可以發(fā)現(xiàn)自變量間距不同,可以補(bǔ)充遺漏的自變量的值,使表格中自變量間距相同。
x_y_…_…_-3_7__-2_0_____-1__0__-8_-____9 1_2__3-5___4_ 5_7_……
然后再根據(jù)表格的對(duì)稱性補(bǔ)全表格,從而得到答案。
【解答】補(bǔ)全表格如下:
x_y_…_…_-3_7__-2_0_-1_-5_-8_-9_-_____8-5 0__1__2__3_4_0_5_7_……
從而得到:當(dāng)y≤0時(shí),x的取值范圍是-2≤x≤4。
例4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
_______x________y…___…___0____2____1____4____3____2___4___-2___…_…_
則下列判斷中正確的是( )。
A.拋物線開口向上
B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸
C.當(dāng)x=-1時(shí),y>0
D.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的負(fù)根在0與-1之間
【分析】自變量間距不同,補(bǔ)充遺漏的自變量的值,補(bǔ)全表格,然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)解決問題。
【解答】補(bǔ)全表格如下:
____x____y…__…__-1__-2__0___2___1___4___2___4___3___2__4__-2_……
從表中可以看出:當(dāng)自變量x的值增大時(shí),y的值先變大后變小,可以發(fā)現(xiàn)拋物線開口向下,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)x=0時(shí),y=2,得到拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,2),在y軸正半軸,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)x=-1時(shí),y=-2<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;y=0時(shí)介于-2與2之間,那么對(duì)應(yīng)的x的負(fù)值在-1與0之間,所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)的負(fù)根在-1與0之間,D選項(xiàng)正確。故選:D。
【點(diǎn)評(píng)】本題可以通過求函數(shù)關(guān)系式來解決,但過程涉及多個(gè)運(yùn)算(代入求值、解方程組、解一元二次方程等),也可以通過畫圖像來解決,但由于點(diǎn)較少,很難準(zhǔn)確畫出,給準(zhǔn)確結(jié)論的得出帶來一些不確定因素,導(dǎo)致解題的效率和準(zhǔn)確率大大降低。