宋聰艷

內(nèi)容地位分析

本節(jié)內(nèi)容選自北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·八年級(jí)下冊(cè)》第六章第3節(jié)三角形的中位線。在此之前學(xué)習(xí)的全等三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定是本節(jié)課的基礎(chǔ)。三角形中位線是繼三角形的角平分線、中線、高線后的第四種重要線段。三角形的中位線定理為證明線段的平行和線段的倍分關(guān)系提供了新的方法和依據(jù)，也為后續(xù)研究直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課“用平行四邊形研究三角形問(wèn)題”（后續(xù)用矩形研究直角三角形問(wèn)題），與之前的“用三角形研究四邊形問(wèn)題”形成方法相呼應(yīng)，積累幾何問(wèn)題研究方法相互轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)。為此，在教學(xué)中要重視滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本課的定位是探索并證明三角形的中位線定理。

學(xué)情分析

認(rèn)知水平：在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生多次經(jīng)歷了“探索—猜測(cè)—分析—證明”的過(guò)程，積累了一定的研究幾何圖形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。

班情分析：本班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，具備了一定的動(dòng)手操作、猜想驗(yàn)證、推理證明的能力，但知識(shí)方法的遷移能力不夠強(qiáng)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)也相對(duì)不強(qiáng)。

因此，本節(jié)課著眼于基礎(chǔ)，注重能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生采用自主探究、合作學(xué)習(xí)的方式，先動(dòng)手操作獲得體驗(yàn)，再借助三角形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行探索和證明，注重知識(shí)的遷移，同時(shí)重點(diǎn)滲透轉(zhuǎn)化的思想方法。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：理解三角形的中位線概念，掌握三角形的中位線定理。

數(shù)學(xué)思考：通過(guò)學(xué)生經(jīng)歷三角形的中位線定理的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力;通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)幾何證明思路的教學(xué)過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力;通過(guò)學(xué)生規(guī)范地表述三角形的中位線定理的證明的教學(xué)與評(píng)價(jià)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生演繹推理能力。

問(wèn)題解決：能證明三角形的中位線定理，能應(yīng)用三角形的中位線定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。

教學(xué)重點(diǎn)

掌握三角形的中位線定理。

教學(xué)難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)三角形的中位線定理，發(fā)現(xiàn)證明三角形的中位線定理的輔助線。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、設(shè)置情境，動(dòng)手思考

1.做一做

能將一張三角形紙片剪成面積相等的兩部分嗎？能剪成面積相等的四部分嗎？有哪些方法？

2.議一議

能將一張三角形紙片剪成全等的四個(gè)三角形嗎？先與同伴交流，再動(dòng)手操作。

【設(shè)計(jì)意圖】教科書直接要求將一張三角形紙片剪成四個(gè)全等的三角形，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常不容易。為了幫助學(xué)生找到解決該問(wèn)題的方法，于是設(shè)計(jì)了做一做的活動(dòng)作為鋪墊。

二、嘗試引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)特征

1.學(xué)生交流“議一議”的內(nèi)容。

2.在學(xué)生交流后，出示小明是這樣做的：

如圖1，在△ABC的紙片中，取各邊的中點(diǎn)D、E、F，分別沿DE、EF、DF剪開(kāi)，得到了四個(gè)三角形。

【設(shè)計(jì)意圖】安排了做一做，學(xué)生也可能無(wú)法解決議一議。為此，設(shè)計(jì)小明的做法作為學(xué)生效仿嘗試。

3.試一試：按照小明的做法，得到的四個(gè)三角形全等嗎？你是怎么判斷的？

4.想一想：線段DE、EF、DF有什么共同的特征？

5.歸納：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

【設(shè)計(jì)意圖】從試一試中，得到四個(gè)全等的三角形。學(xué)生會(huì)產(chǎn)生想知道為什么的欲望，引發(fā)對(duì)三條線段特征的關(guān)注，從而歸納得到三角形中位線的定義。

三、引申操作，做好鋪墊

1.議一議

能將一張三角形紙片剪拼成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形嗎？想一想，能從上述動(dòng)手操作中得到什么啟發(fā)？

2.做一做

按如下小明的操作做一做：

（1）剪一個(gè)三角形紙片，記為△ABC;

（2）分別取AB、AC中點(diǎn)D、E，連接DE;

（3）沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形DBCG，如圖2所示。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)設(shè)計(jì)是為分析三角形的中位線定理的證明思路作準(zhǔn)備的。

四、探索猜想，分析證明

1.議一議

將一張三角形紙片剪成全等的四個(gè)三角形，并驗(yàn)證全等的活動(dòng)中，你發(fā)現(xiàn)了什么？與同伴交流。

教師引導(dǎo)：

提示1.三個(gè)三角形全等時(shí)，請(qǐng)觀察三條中位線分別與什么對(duì)應(yīng)？由此，你能得出什么結(jié)論？

提示2.觀察圖1，你能猜想中位線DE與邊BC的位置有什么關(guān)系？

2.想一想

三角形的中位線有哪些特征？

3.證一證

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

已知：如圖3，DE是△ABC的中位線。

求證：DE∥BC，DE=■BC

分析：1.這個(gè)問(wèn)題的證明結(jié)論有什么特征？

2.怎樣才能實(shí)現(xiàn)證明兩個(gè)結(jié)論？

3.上述活動(dòng)中，“將一張三角形紙片剪拼成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形”能給你什么啟發(fā)？與同伴交流。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析證明思路，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、提升推理能力的有效途徑。第3問(wèn)正是之前剪拼活動(dòng)的延續(xù)。

學(xué)生自主完成證明，并板演后，教師組織學(xué)生進(jìn)行講評(píng)，并寫出規(guī)范的證明過(guò)程。

證明：如圖4，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF。

∵DE是△ABC的中位線，

∴AE=CE，AD=BD。

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE。

∴∠A=∠ECF，AD=CF。

∴CF∥AB，BD=CF。

∴四邊形DBCF是平行四邊形。

∴DF∥BC，DF=BC。

∵DE=EF，

∴DE∥BC，DE=■BC。

4.歸納

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)動(dòng)手體驗(yàn)、分析特征、猜想結(jié)論、分析證明、歸納形成定理，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的合情推理和演繹推理能力?？紤]到教學(xué)時(shí)間的因素，定理證明的多種方法不在課內(nèi)進(jìn)行。

五、應(yīng)用提升，解決問(wèn)題

練一練

1.根據(jù)圖中的條件，填空。

（1）如圖（a），點(diǎn)D、E分別為AB和AC的中點(diǎn)，DE=5，則BC= ? ?。

（2）如圖（b），點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC中點(diǎn)，AC=8，∠C=70°，則DF= ? ?，∠EDF= ? ?。

（3）如圖（c），點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC中點(diǎn)，若△DEF的周長(zhǎng)為10cm，則△ABC的周長(zhǎng)為 ? ?;若△ABC的面積等于20cm，則△DEF的面積為 ? ?。

2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為8cm，10cm，12cm，求三角形的三條中位線的長(zhǎng)？

變式：如圖5，A1、B1、C1分別為△ABC的三邊中點(diǎn)，若△ABC的周長(zhǎng)為a，則△A1B1C1的周長(zhǎng)為 ? ?;A2、B2、C2分別為△A1B1C1的各邊中點(diǎn)，A3、B3、C3分別為△A2B2C2的各邊中點(diǎn)，…，An、Bn、Cn分別為△An-1Bn-1Cn-1的各邊中點(diǎn)，則AnBnCn的周長(zhǎng)為 ? ?.

【設(shè)計(jì)意圖】簡(jiǎn)單的應(yīng)用是為了幫助學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)的知識(shí)。

范例教學(xué)

例1 如圖6，任意畫一個(gè)四邊形ABCD，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形EFGH，問(wèn)四邊形EFGH的形狀有什么特征？并給出證明。

已知：如圖6，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

分析：1.你能證明你的結(jié)論嗎？

2.你是怎樣想到要連接AC的？

解答（略，見(jiàn)課本）

【設(shè)計(jì)意圖】在四邊形的邊上有中點(diǎn)時(shí)，連接對(duì)角線，構(gòu)成三角形，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題。先鼓勵(lì)學(xué)生猜測(cè)新四邊形的形狀，再思考如何證明。引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，再利用三角形中位線定理以及平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明，體會(huì)通過(guò)添加輔助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化思想。

聯(lián)系生活實(shí)際

3.如圖7，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下，小明通過(guò)下面的方法估測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)O，然后步測(cè)出AO和BO的中點(diǎn)C、D，并測(cè)出CD的長(zhǎng)，由此他知道了A、B兩點(diǎn)的距離。你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？

六、引導(dǎo)總結(jié)，布置作業(yè)

議一議

1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？

2.我們是怎樣發(fā)現(xiàn)三角形的中位線定理的？

3.我們是怎樣分析找到證明三角形的中位線定理的思路？

4.對(duì)三角形中位線定理證明，你還有別的證法嗎？

布置作業(yè)

必做題：課本P152習(xí)題6.6 第1、2、3題。

選做題：

1.請(qǐng)你想出兩種三角形的中位線定理的不同證法，并寫出證明過(guò)程。

2.請(qǐng)你找出生活中使用三角形的中位線的例子，并以此為背景編成一道題。