魏 維，郭文勇，吳新躍，吳啟豪

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

齒輪-軸承傳動(dòng)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于汽車、航空、航天以及船舶等領(lǐng)域，其運(yùn)行狀態(tài)對(duì)所在系統(tǒng)有重要的影響。在高速重載的工況下，齒輪-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)相較于齒輪-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)定性，且由于滑動(dòng)軸承具有較大的剛度和阻尼，有利于減小振動(dòng)和噪聲等級(jí)[1]，因此隨著對(duì)系統(tǒng)性能要求的不斷提高，齒輪-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究也受到越來(lái)越多的重視。

在理論研究方面，目前已建立了眾多的齒輪模型。這些模型從單自由度到多自由度，考慮了內(nèi)、外部激勵(lì)以及多種非線性因素，例如時(shí)變嚙合力、偏心、制造誤差、齒側(cè)間隙等。Kahraman等[2-4]研究了單對(duì)直齒輪的非線性特性，同時(shí)建立了多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并考慮了齒側(cè)間隙對(duì)模型的作用，探究了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)影響。Velex等[5-6]探究了嚙合齒輪中摩擦力的作用，解析了摩擦和瞬態(tài)沖擊與齒輪參數(shù)的相關(guān)聯(lián)系，提出用攝動(dòng)法描述包含時(shí)變齒輪嚙合、彎曲-扭轉(zhuǎn)-橫向振動(dòng)的三維齒輪嚙合動(dòng)力學(xué)模型。王慶等[7]利用集中參數(shù)法建立了斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的模型，考慮了傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度的影響，分析了系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)特性。隨著齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的深入，考慮滑動(dòng)軸承特性對(duì)系統(tǒng)的影響顯得越來(lái)越有必要。Baguet等[8]考慮了軸承間隙，建立了齒輪-軸-軸承系統(tǒng)的模型，分析了耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)特性。張將等[9]建立了考慮軸承間隙的齒輪系統(tǒng)模型，綜合分析了軸承間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。Liu等[10]研究了直齒輪系統(tǒng)中齒側(cè)間隙與軸承間隙相互作用的非線性特性，分析結(jié)果表明軸承間隙使得系統(tǒng)具有了自適應(yīng)特性。總體而言，對(duì)齒輪系統(tǒng)的研究已較為全面，綜合考慮了多種因素對(duì)系統(tǒng)的影響。

Sternlicht[11]提出將軸承的剛度和阻尼作為軸承的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。在以往的研究中通常將滑動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)參數(shù)視為定值，但在實(shí)際的齒輪-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)中軸承支撐力、軸承阻尼和剛度是時(shí)變的，都會(huì)隨著軸心位置、軸承間隙以及齒輪轉(zhuǎn)速的變化而變化[12-13]，且這種變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生怎樣的影響以往的文獻(xiàn)也少涉及。

為了分析時(shí)變軸承動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響，本文建立了齒輪-滑動(dòng)軸承耦合動(dòng)力學(xué)模型，提出了考慮滑動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)參數(shù)的齒輪動(dòng)態(tài)特性計(jì)算方法，綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變齒側(cè)間隙等因素，分析了軸承間隙、齒側(cè)間隙、齒輪轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響規(guī)律，為實(shí)際中分析齒輪-軸承系統(tǒng)提供重要的理論依據(jù)。

1 分析模型

1.1 齒輪-滑動(dòng)軸承耦合模型

圖1為考慮滑動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)特性的齒輪-軸承系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型。假設(shè)：齒輪軸為短剛性軸，不考慮其彎曲和扭轉(zhuǎn)；齒輪軸兩端的軸承具有相同的參數(shù)和動(dòng)力學(xué)特性；軸承為剛性支撐。本模型中不考慮齒面摩擦以及偏心對(duì)系統(tǒng)的影響。

圖1 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)圖1中齒輪的齒數(shù)分別為z1和z2，基圓半徑為rb1和rb2，Ob1和Ob2分別為主動(dòng)輪和被動(dòng)輪軸承的軸心，O1和O2是兩齒輪軸的形心和質(zhì)心，齒輪中心與軸承中心的偏心距分別為eb1和eb2。由假設(shè)條件可以得出系統(tǒng)具有6個(gè)自由度，設(shè)廣義位移為{x1,y1,θ1,x2,y2,θ2}，其中x1、x2為兩齒輪的橫向位移，y1、y2為兩齒輪的縱向位移，θ1和θ2為齒輪1、2的扭轉(zhuǎn)位移。kbx1、kby1、kbx2、kby2分別是主動(dòng)輪和被動(dòng)輪軸承的支撐剛度，cbx1、cby1、cbx2、cby2是軸承的支撐阻尼，F(xiàn)bx1、Fby1、Fbx2、Fby2是軸承的支撐力，上述參數(shù)為軸承的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，與齒輪嚙合運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要對(duì)軸承動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行求解。

1.2 滑動(dòng)軸承油膜力及動(dòng)態(tài)參數(shù)計(jì)算

圖2中動(dòng)壓滑動(dòng)軸承示意圖，圖中Ob為軸承中心，Oj(x,y)為軸頸中心。R為軸瓦半徑，r為軸頸半徑，e為偏心距，h為計(jì)算點(diǎn)A的油膜厚度。根據(jù)幾何關(guān)系推導(dǎo)，可得油膜厚度h的表達(dá)式為

h=C+xcosθ+ysinθ

(1)

式中：C=R-r為軸承間隙。

圖2 動(dòng)壓滑動(dòng)軸承示意圖

采用文獻(xiàn)[14]中軸承潤(rùn)滑模型，不可壓縮(ρ不變)、層流狀態(tài)下(不考慮湍流影響)、黏度不隨壓力變化的非定常Reynolds方程為

(2)

式中:θ為圓周角坐標(biāo),z為軸向坐標(biāo)，ω0為軸的轉(zhuǎn)速，η為潤(rùn)滑油黏度。同時(shí)有

(3)

采用有限差分法對(duì)雷諾方程進(jìn)行求解可得軸承油膜壓力分布。通過(guò)對(duì)所得油膜壓力積分可求得油膜合力，軸承的油膜合力即為軸承對(duì)齒輪系統(tǒng)的支撐力，是軸承承載能力的體現(xiàn)。對(duì)油膜壓力沿x和y方向積分可得油膜分力Fx、Fy：

(4)

(5)

當(dāng)軸心在平衡位置作微小振動(dòng)時(shí)，可將軸承的油膜簡(jiǎn)化為彈簧和阻尼的組合，根據(jù)文獻(xiàn)[15]采用壓力擾動(dòng)法，得到平衡位置處軸承剛度和阻尼的計(jì)算公式為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(10)中所得的擾動(dòng)壓力值代入式(6)～(9)中，經(jīng)積分可得到軸承的剛度和阻尼值。通過(guò)以上計(jì)算過(guò)程可知，軸承的剛度以及阻尼與軸承的軸心位置有關(guān)，當(dāng)軸承位置隨時(shí)間變化時(shí)軸承的剛度與阻尼也隨之發(fā)生變化。

1.3 動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙及動(dòng)態(tài)嚙合力

隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)以及軸承間隙的變化，齒輪的中心坐標(biāo)隨著時(shí)間發(fā)生變化進(jìn)而引起嚙合中心距以及嚙合角的變化，進(jìn)而使得齒側(cè)間隙也處于動(dòng)態(tài)變化中，動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙可表示為

b(t)=2b0+2a0cosα0(invα′(t)-invα0)

(11)

式(11)中b0為初始齒側(cè)間隙，α=tanα-α，α′(t)=arccos(a0cosα0/a′(t))，a0、α0為初始安裝中心距和壓力角，a′、α′為齒輪運(yùn)行過(guò)程中的中心距和壓力角。其中動(dòng)態(tài)中心距可表示為

(12)

根據(jù)齒側(cè)間隙的分段特性，動(dòng)態(tài)間隙的非線性函數(shù)可用以下公式表示

f(x,t)=

(13)

齒輪系統(tǒng)受到激勵(lì)力的作用，在平衡位置做微小振動(dòng)，將振動(dòng)狀態(tài)的x方向的相對(duì)位移以及y方向的相對(duì)位移轉(zhuǎn)換到嚙合線上，如圖3所示。

圖3 齒輪嚙合線相對(duì)位移

圖3中x方向到嚙合線的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(x1-x2)sinα，用線段ab表示，y方向到嚙合線的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(y1-y2)cosα，用線段cd表示。綜合考慮齒輪扭轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)換到嚙合線上的線位移，以及齒輪的靜態(tài)傳動(dòng)誤差e(t)，由動(dòng)態(tài)激勵(lì)引起的齒輪動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差可表示為：

δ(t)=rb1θ1-rb2θ2+(x1-x2)sinα+

(y1-y2)cosα-e(t)

(14)

通常靜態(tài)傳動(dòng)誤差隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)而呈現(xiàn)周期變化規(guī)律，可認(rèn)為其是含有周期項(xiàng)的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，為了便于分析，用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)e(t)進(jìn)行標(biāo)示：

(15)

式中:em為傳動(dòng)誤差均值，ei為諧波項(xiàng)的幅值，ωh為嚙合頻率，φe=φi+π為ei對(duì)應(yīng)的相位角。考慮到計(jì)算的簡(jiǎn)便性，通常只考慮靜態(tài)傳遞誤差的一次諧波。

直齒輪的嚙合剛度隨著嚙合位置和嚙合輪齒對(duì)數(shù)的變化而變化，呈現(xiàn)周期性變化的特點(diǎn)，本文利用傅里葉級(jí)數(shù)表示齒輪的時(shí)變嚙合剛度，其基頻為嚙合頻率

(16)

式中:k0=εks，ε為齒輪嚙合重合度，且有m<ε

(17)

式中:ζ為嚙合相對(duì)阻尼比。綜合上述分析可以得到齒輪嚙合線上的動(dòng)態(tài)嚙合力為

(18)

1.4 系統(tǒng)微分方程

根據(jù)圖1的模型，對(duì)齒輪系統(tǒng)應(yīng)用拉格朗日方程，得到考慮動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙的單級(jí)圓柱直齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

(19)

(20)

式中:I1、I2為齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，T1為輸入力矩，T2為負(fù)載力矩。

2 齒輪-軸承系統(tǒng)耦合求解方法

滑動(dòng)軸承與齒輪間存在著相互耦合的作用。一方面，齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是軸承的外部激勵(lì)，齒輪軸心的動(dòng)態(tài)變化影響著軸承油膜力、剛度和阻尼的大小；另一方面，軸承油膜力、剛度以及阻尼又影響著齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力的變化。由于考慮了軸承與齒輪之間的耦合作用，傳統(tǒng)的計(jì)算方法已無(wú)法滿足求解的需要，為此本文提出了一種適應(yīng)于求解齒輪-滑動(dòng)軸承耦合系統(tǒng)求解的計(jì)算方法。

耦合系統(tǒng)求解流程如圖4所示。首先設(shè)定系統(tǒng)的初始參數(shù)，假設(shè)在初始齒輪軸心坐標(biāo)(x1(0),y1(0))和(x2(0),y2(0))處軸承處于靜平衡狀態(tài)，考慮載荷平衡條件對(duì)軸承的雷諾方程進(jìn)行求解，進(jìn)而根據(jù)式(4)～(10)求得軸承的剛度(kbx1(0)、kby1(0)、kbx2(0)、kby2(0))、阻尼(cbx1(0)、cby1(0)、cbx2(0)、cby2(0))以及油膜力(Fbx1(0)、Fby1(0)、Fbx2(0)、Fby2(0))。然后根據(jù)初始坐標(biāo)求解齒側(cè)間隙b(0)以及初始動(dòng)態(tài)嚙合力Fm(0)，將以上計(jì)算結(jié)果代入齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程中進(jìn)行求解，得到下一時(shí)刻的齒輪軸心坐標(biāo)(x1(1),y1(1))和(x2(1),y2(1))。重復(fù)上述步驟直到數(shù)值仿真計(jì)算時(shí)間ts結(jié)束。

圖4 齒輪-軸承耦合系統(tǒng)求解流程圖

3 數(shù)值仿真

齒輪-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)在船舶動(dòng)力傳動(dòng)中有著重要的應(yīng)用，其性能的好壞直接決定了船舶動(dòng)力系統(tǒng)的工作性能，因此文本在齒輪-滑動(dòng)軸承數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真，以研究軸承間隙、齒側(cè)間隙、轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。本文采用5階定步長(zhǎng)Runge-Kutta算法對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行求解。

為了確保建模與計(jì)算方法的通用性，取文獻(xiàn)[10]中的齒輪、軸承參數(shù)如表1，表2所示。

表1 齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 軸承間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響

研究軸承間隙大小對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。取初始齒側(cè)間隙b0=10 μm，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻為60 Hz(3 600 r/min)，分別計(jì)算當(dāng)承間隙為Cr=39 μm、49 μm和59 μm時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性，數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示。

主動(dòng)輪y向振動(dòng)加速度曲線如圖5(a)所示，由圖中可以看出，隨著齒側(cè)間隙的增加，齒輪振動(dòng)加速幅值明顯減小，且當(dāng)軸承間隙為59 μm時(shí)振動(dòng)加速度變化更加平穩(wěn)，無(wú)沖擊出現(xiàn)，說(shuō)明增加齒輪軸承的間隙能夠起到降低振動(dòng)加速度的作用，增加系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性。

(a) 主動(dòng)輪y向振動(dòng)加速度

(b) 時(shí)變嚙合力

(c) 軸承y向時(shí)變剛度

(d) 軸承y向油膜力

圖5(b)中顯示了不同軸承間隙下嚙合力的變化情況，由圖可以看出在滑動(dòng)軸承支撐的情況下齒輪嚙合平穩(wěn)，并且隨著軸承間隙的變化嚙合力的變化不大，同時(shí)嚙合力隨時(shí)間正負(fù)交替變化，說(shuō)明齒輪嚙合時(shí)出現(xiàn)了雙邊接觸。圖5(c)和圖5(d)顯示了軸承剛度以及油膜力的變化情況，由圖中曲線可知軸承的剛度和油膜力在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)不是固定不變的，而是隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)呈現(xiàn)周期變化的規(guī)律，且軸承剛度和軸承油膜力均隨著軸承間隙的增加而減小。

3.2 齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響

(a) 主動(dòng)輪y向振動(dòng)加速度

(b) 時(shí)變嚙合力

(c) 軸承y向時(shí)變剛度

(d) 軸承y向油膜力

3.3 轉(zhuǎn)頻對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響

研究齒輪轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。取初始齒側(cè)間隙b0=10 μm，軸承間隙為Cr=39 μm，分別計(jì)算當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為40 Hz(2 400 r/min)、70 Hz(4 200 r/min)和100 Hz(6 000 r/min)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性，數(shù)值仿真結(jié)果如圖7所示。

4 總 結(jié)

本文建立了齒輪-滑動(dòng)軸承耦合動(dòng)力學(xué)模型，提出了考慮滑動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)參數(shù)的齒輪動(dòng)態(tài)特性計(jì)算方法，綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變齒側(cè)間隙等因素，分析了軸承間隙、齒側(cè)間隙、齒輪轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。通過(guò)對(duì)數(shù)值仿真結(jié)果的分析可以得到以下結(jié)論：滑動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)參數(shù)具有時(shí)變特性，且這種變化有助于改善齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使得齒輪嚙合得更加平穩(wěn)；在一定范圍內(nèi)增加軸承間隙以及齒側(cè)間隙能夠減小齒輪的徑向振動(dòng)和嚙合力幅值；隨著轉(zhuǎn)頻的增加，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)幅值減小，運(yùn)行狀態(tài)趨于穩(wěn)定。

(a) 主動(dòng)輪y向振動(dòng)加速度

(b) 時(shí)變嚙合力

(c) 軸承y向時(shí)變剛度

(d) 軸承y向油膜力