袁金龍，陳海波，王 昆，操小龍

(1.中國科學(xué)院 材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，合肥 230027；2.北京機(jī)電工程研究所，北京 100074)

復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、重量輕、抗疲勞等特點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域。飛行器在飛行過程中承受氣動(dòng)熱、寬頻噪聲、振動(dòng)等復(fù)雜惡劣環(huán)境，這些環(huán)境因素對(duì)其性能和可靠性有著重要的影響。而針對(duì)構(gòu)件高頻域的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，有限元和邊界元需要用很小的網(wǎng)格尺寸來描述結(jié)構(gòu)特征長(zhǎng)度，使得數(shù)值分析的計(jì)算量和存儲(chǔ)量變得非常巨大[1]，甚至不能實(shí)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)能量分析方法將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為不同的模態(tài)群，并從統(tǒng)計(jì)意義上把大系統(tǒng)分解為若干個(gè)便于分析的獨(dú)立子系統(tǒng)，對(duì)共振模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行平均，從而得到光滑準(zhǔn)確的能量值[2]。

統(tǒng)計(jì)能量分析方法的預(yù)示精度在很大程度上取決于統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)的準(zhǔn)確性。對(duì)于三明治板這類夾芯層合板結(jié)構(gòu)的研究，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了很多工作。 Renji等[3]推導(dǎo)了考慮芯層橫向剪切剛度影響的夾層板四階振動(dòng)控制方程，并由控制方程在波數(shù)空間積分得到了正交各向異性復(fù)合材料夾層板的模態(tài)密度公式，最后通過點(diǎn)導(dǎo)納方法測(cè)得的模態(tài)密度試驗(yàn)值對(duì)理論公式進(jìn)行了驗(yàn)證。Zhou等[4]由夾層板六階振動(dòng)控制方程推導(dǎo)了模態(tài)密度的計(jì)算公式，計(jì)算了蜂窩夾層板的傳聲損失。然而該研究只針對(duì)各向同性面板的夾層板，忽略了芯層面內(nèi)剛度對(duì)夾層板模態(tài)密度的影響。Han等[5]考慮面板彎曲剛度和芯層面內(nèi)剛度, 提出了一種改進(jìn)的經(jīng)典夾層板理論,能更準(zhǔn)確地計(jì)算三明治板的模態(tài)密度。

對(duì)于一般的層合板結(jié)構(gòu)，三明治板理論不再適用，這時(shí)需要采用層合板理論或數(shù)值計(jì)算方法。經(jīng)典層合板理論(CLPT)是基于Kirchhoff薄板假設(shè),認(rèn)為板變形后的中面法線依然垂直于板中面，適用于薄板結(jié)構(gòu)低頻分析[6]；一階剪切板理論(FSDT)考慮橫向剪切和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，認(rèn)為板變形后其中面法線仍為直線但不與中面垂直，適用于更高頻率的分析[7]；而更高階的剪切板理論控制方程復(fù)雜，波數(shù)求解困難。Chronopoulos等[8]利用波有限元方法計(jì)算了正交各向異性復(fù)合材料層合板的頻散特性，并利用波數(shù)和群速度數(shù)值求解了層合板的模態(tài)密度，但是計(jì)算量巨大。

譜元法(SFEM)是一種典型的半解析方法，是在有限元方法的基礎(chǔ)上提出的，它綜合了有限元方法處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題的靈活性以及收斂速度快和計(jì)算精度高的特點(diǎn)，對(duì)結(jié)構(gòu)模擬波傳播特性十分有效，是提取色散曲線的一種重要方法。譜元法假設(shè)平面簡(jiǎn)諧波沿著波導(dǎo)軸方向傳播，并基于有限元方法對(duì)波導(dǎo)截面內(nèi)的位移場(chǎng)進(jìn)行離散，利用類似有限元的方法進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣的組裝，從而獲得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的波數(shù)特征值方程。Zak等[9]將裂紋近似為剛度線性變化的彈簧，采用二維譜元法研究了含裂紋的各向同性板中的彈性波傳播特性，并進(jìn)而提出了一種損傷識(shí)別的方法。Peng等[10]采用三維譜元法模擬彈性波在各向同性板中的傳播特性，并與采用二維譜元法的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過控制加載方式得到了蘭姆波的不同模態(tài)。Kudela 等[11]基于Mindlin 板理論采用二維譜單元法研究了彈性波在復(fù)合材料層合板中的傳播，并研究了鋪層角以及纖維體積含量對(duì)層合板彈性波傳播特性的影響。Datta等[12]采用譜元法研究了彈性波在對(duì)稱交錯(cuò)層疊層合板結(jié)構(gòu)的傳播特性。Shorter[13]采用一維線性譜單元對(duì)線彈性各向同性層合板進(jìn)行波導(dǎo)分析,推導(dǎo)了層合板總內(nèi)損耗因子的計(jì)算公式。徐超等[14]推導(dǎo)了一種任意形狀的時(shí)域譜單元，研究了高頻導(dǎo)波在二維功能梯度材料結(jié)構(gòu)中的傳播特性。

與傳統(tǒng)的有限元方法相比，譜元方法只需要對(duì)波導(dǎo)截面位移場(chǎng)進(jìn)行離散，降低了模型的自由度，從而極大地提高了計(jì)算效率。而且由于在波的傳播方向采用精確解，從而避免了有限元離散時(shí)產(chǎn)生的數(shù)值誤差，進(jìn)一步提高了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。但將該法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)能量參數(shù)獲取的研究還未見報(bào)道。本文采用二次譜單元對(duì)一般層合板厚度方向進(jìn)行離散，建立波數(shù)的特征根方程，并在波數(shù)求解時(shí)采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)對(duì)其對(duì)應(yīng)的模態(tài)進(jìn)行分類，進(jìn)而計(jì)算一般層合板的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)。通過對(duì)薄板、三明治夾芯板以及厚板的數(shù)值模擬分析，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，這對(duì)一般層合板的統(tǒng)計(jì)能量分析具有工程指導(dǎo)意義。

1 譜元法(SFEM)

1.1 單元位移場(chǎng)

平面波在平板中傳播時(shí)，高頻段波傳播對(duì)板面內(nèi)尺寸如長(zhǎng)、寬不敏感，因此在厚度方向可采用一維單元離散,由波的傳播特性，單元位移場(chǎng)可表示為：

(1)

式中:ω為圓頻率，k為波數(shù)，φ為方位角，u(z)、v(z)和w(z)為厚度方向z坐標(biāo)處波傳播的振幅。長(zhǎng)度為L(zhǎng)i的單元中，位移振幅通過一維形函數(shù)插值可表示為：

(2)

圖1 一維網(wǎng)格

p=u,v,w

(3)

N(z)為單元的形函數(shù)，文獻(xiàn)[13]采用的是二節(jié)點(diǎn)單元，為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度和效率，本文采用三節(jié)點(diǎn)二次單元：

(4)

1.2 單元質(zhì)量矩陣與剛度矩陣

單元的應(yīng)變矩陣為：

(5)

其中：

(6)

將式(1)和式(2)代入式(5)中得

(7)

其中：

B1=LzN,z,B2=cos(φ)LxN+cos(φ)LyN

(8)

N,z為形函數(shù)矩陣對(duì)坐標(biāo)z的偏導(dǎo)，單元內(nèi)的應(yīng)力為：

(9)

式中:C為模量矩陣，S為柔量矩陣，對(duì)于正交各向異性材料的獨(dú)立彈性常數(shù)為9個(gè)，即三個(gè)拉壓彈性模量、三個(gè)剪切模量和三個(gè)主泊松比：

在層合板坐標(biāo)系下，模量矩陣為：

Cx-y=T(θ)-1CRT(θ)R-1

(10)

式中：m=cos(θ)，n=sin(θ)，θ為材料主軸方向與參考方向的夾角。層合板動(dòng)能為：

(11)

層合板勢(shì)能為：

(12)

H代表共軛轉(zhuǎn)置。將式(7)代入式(12)可得：

U=

(13)

由哈密頓變分原理可得

(14)

其中：

將所有單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣組裝起來即可獲得總體的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：

[K1(φ)+K2(φ)k+K3(φ)k2-ω2M]q0=0

(15)

2 統(tǒng)計(jì)能量分析

2.1 模態(tài)密度求解

當(dāng)方位角和頻率給定時(shí)，方程式(15)就變成k的二次特征根問題，二次特征根問題又可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成下列線性特征值問題[13]：

(16)

其中：

q1=kq0;C2=K3;

C1=K2;C0=K1-ω2M

(17)

特征值的實(shí)部和虛部的符號(hào)代表給定波的傳播方向，特征向量代表給定頻率和方位角的橫截面波的形狀。在低頻段，振動(dòng)波主要為彎曲波、剪切波和拉伸波，當(dāng)頻率繼續(xù)升高時(shí)將出現(xiàn)高階振動(dòng)波，因此需要對(duì)波的傳播類型進(jìn)行分類。層合板理論和三明治板理論都是通過求解高次方程來獲得波數(shù)，存在波數(shù)分類困難的問題。譜元法在求解特征值的同時(shí)得到了特征向量，從而可用它來對(duì)波數(shù)進(jìn)行分類。文獻(xiàn)[8]采用特征向量余弦相似度的平方進(jìn)行波數(shù)分類。余弦相似度指通過計(jì)算兩個(gè)向量的夾角余弦值來評(píng)估它們的相似度，它適用于數(shù)據(jù)稀疏的情況，但易受向量平移的影響。而皮爾遜相關(guān)系數(shù)是利用兩個(gè)變量之間的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的商來衡量?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)性，相比于余弦相似度，它對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了中心化，具有平移不變性和尺度不變性的特點(diǎn)，且不受維度缺失的影響[15]。

根據(jù)模態(tài)相似原則，本文采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值來進(jìn)行振型分類：

(18)

式中:Qm和Qn為相鄰方位角或者相鄰頻率點(diǎn)的特征向量，E表示取均值。對(duì)振型相似的模態(tài)，P的絕對(duì)值接近1；在實(shí)際分類時(shí)，先取較大值，再取較小值，直到篩選出最相似的模態(tài)。利用方程(16)和(18)即可獲得各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的波數(shù)。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)能量分析方法中模態(tài)密度的定義，在波數(shù)空間中，圓頻率ω下的模態(tài)數(shù)N(ω)可由圓頻率ω曲線包含的面積獲得：

(19)

式中:a和b為矩形板的長(zhǎng)和寬。由統(tǒng)計(jì)能量法模態(tài)密度的定義有：

(20)

2.2 結(jié)構(gòu)與聲腔的耦合

耦合損耗因子是子系統(tǒng)間耦合作用大小的一種度量。結(jié)構(gòu)與聲腔相互作用時(shí)結(jié)構(gòu)的損耗因子ηrad與輻射阻抗Rrad有關(guān)：

(21)

式中:Ms為板結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量,對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板的輻射阻抗可由下式獲得[15]:

(22)

式中:As為板結(jié)構(gòu)的面積，fc為板結(jié)構(gòu)的臨界頻率，c為空氣中聲音的傳播速度，ρa(bǔ)為空氣密度。P為板邊緣總長(zhǎng)度。

2.3 內(nèi)損耗因子

子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性與系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和阻尼有關(guān)，阻尼在頻響曲線共振區(qū)起主導(dǎo)作用，因此阻尼特性對(duì)研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和聲傳遞特性具有重要意義。在統(tǒng)計(jì)能量分析方法中，一般用內(nèi)損耗因子來表示系統(tǒng)的阻尼損耗特性。內(nèi)損因子可定義為：

(23)

式中:Pdiss為時(shí)間平均的功率耗散。總功率損耗因子可以由各層的應(yīng)變能獲得：

(24)

式中:n是層合板的總層數(shù)，將式(24)代入(23)得：

(25)

式中:Ki是層合板第i層的組裝剛度，即第i層對(duì)總體剛度矩陣的貢獻(xiàn)量?？紤]到高頻振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)能與勢(shì)能的互等關(guān)系，將第k階傳播波的振型向量代入式(5)，該階波的內(nèi)損耗因子可表示為：

(26)

式中:Pk是第k階傳播波的特征向量。由式(26)可知，總內(nèi)損耗因子與各層的勢(shì)能有關(guān)，單層的勢(shì)能越大，其對(duì)總內(nèi)損耗因子的貢獻(xiàn)越大。

2.4 傳聲損失

(27)

圖2 傳聲模型

其中

(28)

式中：Vi表示聲源室和接收室的體積，ηi為內(nèi)損耗因子，聲場(chǎng)的內(nèi)損耗因子可以由混響時(shí)間T3獲得，ni為模態(tài)密度，聲場(chǎng)的模態(tài)密度可由下式獲得：

(29)

式中:Ai為聲場(chǎng)的總表面積，Si聲場(chǎng)的邊緣的總長(zhǎng)度。

3 數(shù)值算例

3.1 各向同性薄板

對(duì)于厚度為h的各向同性薄板，其彎曲、剪切和拉伸的波數(shù)理論值可由下式給出：

(30)

以厚度為1 mm的均質(zhì)鋁板A為研究對(duì)象，鋁板的密度為2 700 kg/m3,彈性模量為71 GPa，泊松比為0.329 6。圖3為采用不同譜單元SFEM計(jì)算結(jié)果與式(30)理論值相比的誤差。由圖3可知，二次單元只需一個(gè)單元就能獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果，而線性單元用了4個(gè)還未達(dá)到相應(yīng)的精度，由此可見二次單元比線性單元的效率更高。圖4為分別采用式(30)與采用二次單元的SFEM方法的波數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，雖然SFEM只用了1個(gè)單元，二者幾乎一致。本文后面的算例均采用二次單元計(jì)算。由圖5可知，對(duì)于各向同性材料，波數(shù)的分布與方位角無關(guān)。

圖3 板A彎曲波數(shù)SFEM與理論值誤差(方位角為0°)

圖4 板A波數(shù)(方位角為0°)

圖5 板A波數(shù)與方位角的關(guān)系(SFEM)

3.2 正交各向異性薄板

正交各向異性薄板B為碳-碳(Carbon)復(fù)合材料板，材料參數(shù)如表1所示。由圖6可知，當(dāng)厚度比較小時(shí)，SFEM的波數(shù)計(jì)算結(jié)果與層合板理論CLPT和FSDT幾乎一致。對(duì)于正交各向異性材料，波數(shù)的分布與方位角有關(guān)，如圖7所示，此時(shí)板B在靠近x軸時(shí)波數(shù)較大。

表1 材料力學(xué)參數(shù)

圖6 板B波數(shù)(方位角為0°)

圖7 板B波數(shù)與方位角的關(guān)系(SFEM)

至此，通過各向同性板和正交各向異性板的波數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了SFEM計(jì)算波數(shù)的有效性。

3.4 三明治板

三明治板是一類特殊的層合板結(jié)構(gòu)，一般由兩塊較薄、模量較大的面板和輕質(zhì)、模量較小的厚夾芯層構(gòu)成。以文獻(xiàn)[4]中的蜂窩板C為研究對(duì)象，板C為夾芯層為6.35 mm的蜂窩板結(jié)構(gòu)，面板和夾芯材料的力學(xué)性質(zhì)，如表1所示。

采用SFEM分析板C時(shí)，面板劃分1個(gè)單元，夾芯層劃分5個(gè)單元，其他參數(shù)與文獻(xiàn)[4]一致。計(jì)算出波數(shù)后，模態(tài)密度可由式(20)計(jì)算。如圖8所示，在較低頻段,SFEM與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]的三明治板理論計(jì)算結(jié)果差距較小，都比實(shí)驗(yàn)值略??；在較高頻段，SFEM計(jì)算結(jié)果相比于文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]與實(shí)驗(yàn)值吻合更好。由SFEM獲得的臨界頻率為1 680 Hz，通過式(22)計(jì)算輻射阻抗如圖9所示，相比于文獻(xiàn)[4]中的數(shù)值解，由SFEM計(jì)算的輻射阻抗與實(shí)驗(yàn)值一致性更好。如圖10所示，由SFEM計(jì)算的傳聲損失在低頻段和高頻段與實(shí)驗(yàn)值都比較接近，在臨界頻率處二者有一些偏差，總體結(jié)果要比文獻(xiàn)[4]中的好。通過三明治板的模態(tài)密、輻射效率和傳聲損失的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提SFEM計(jì)算SEA參數(shù)的準(zhǔn)確性。

圖8 板C的模態(tài)密度

圖9 板C的輻射阻抗

圖10 板C的傳聲損失

3.3 一般層合板

層合板D、E和F為五層厚度相同的層合板結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)和寬均為1 m，每層的材料均為Carbon，鋪層角度為[0/90/0/90/0]。單層的厚度分別為0.1 mm、0.5 mm和1 mm。分別采用CLPT、FSDT和SFEM計(jì)算層合板的模態(tài)密度，如圖11～13所示，CLPT和FSDT相對(duì)于SFEM的偏差如圖14所示。CLPT隨著厚度和頻率升高，模態(tài)密度計(jì)算偏差越大，F(xiàn)SDT在厚度小時(shí)與SFEM吻合得較好，當(dāng)層合板厚度變大時(shí)，偏差增大。CLPT、FSDT和SFEM的計(jì)算時(shí)間對(duì)比如表2所示，F(xiàn)SDT的計(jì)算時(shí)間比CLPT略大，而SFEM的計(jì)算時(shí)間比CLPT多9倍左右。影響SFEM計(jì)算效率的主要因素是總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的維度以及波形分類引起的額外計(jì)算量，較細(xì)的單元?jiǎng)澐謺?huì)增加矩陣的維度但可以提高計(jì)算精度，因此與普通有限元一樣，實(shí)際計(jì)算中要尋求符合計(jì)算精度的較稀疏網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。另外，采用SFEM計(jì)算SEA參數(shù)的原理與層合板理論計(jì)算SEA參數(shù)是一樣的，都是基于波數(shù)的方法，因此其計(jì)算時(shí)間在求解過程中并不會(huì)頻率升高顯著增加。下一步我們將對(duì)如何提高SFEM的計(jì)算效率做專題研究。

圖11 板D的模態(tài)密度

圖12 板E的模態(tài)密度

圖13 板F的模態(tài)密度

圖14 層合板理論相對(duì)于SFEM的偏差

表2 計(jì)算時(shí)間對(duì)比

三明治理論雖然也能較為準(zhǔn)確的計(jì)算模態(tài)密度，但是它僅適用于特殊夾芯結(jié)構(gòu)；層合板理論在厚度和頻率增大時(shí)，計(jì)算偏差會(huì)變大；三明治板理論和層合板理論都是求解高次方程，難于進(jìn)行模態(tài)分類，而SFEM在求解特征值問題時(shí)能利用皮爾遜相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)確地進(jìn)行模態(tài)分類，適用于一般層合板結(jié)構(gòu)的分析，并且對(duì)網(wǎng)格要求低，計(jì)算量小，精確度高。對(duì)于厚板，還可以適當(dāng)增加單元數(shù)目來提高SFEM計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.4 汽車玻璃層合板

板G是一種典型汽車玻璃(Glass)層合板，由兩塊厚度為4 mm的玻璃板和0.75 mm厚的PVB材料組成，其如圖15所示[13]。

圖15 板G結(jié)構(gòu)示意圖

Glass的材料為各向同性材料，楊氏模量為62 GPa，泊松比為0.24，密度為2 300 kg/m3；PVB為黏彈性材料，泊松比為0.499，其剪切模量與頻率有關(guān)，其關(guān)系如圖2所示，PVB材料的內(nèi)損耗因子也是與頻率有關(guān)，其關(guān)系如圖17所示，Glass的內(nèi)損耗因子取0[13]。

圖16 PVB材料剪切模量

板G的三層各劃分為一個(gè)單元，利用SFEM計(jì)算獲得各模態(tài)的波數(shù)和特征向量，根據(jù)式(26)獲得板G的總內(nèi)損耗因子如圖18所示，基于SFEM的總內(nèi)損耗因子計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[13]和VA one軟件的結(jié)果幾乎是一致的，驗(yàn)證了SFEM計(jì)算總內(nèi)損耗因子的準(zhǔn)確性。彎曲模態(tài)的內(nèi)損耗因子隨頻率的升高先增大后減小，量級(jí)為10-1左右；而剪切模態(tài)和拉伸模態(tài)的損耗因子持續(xù)增大，量級(jí)為10-5～10-4左右。黏彈性層PVB對(duì)彎曲模態(tài)損耗因子影響較大，而對(duì)剪切模態(tài)和拉伸模態(tài)的損耗因子影響較小。

圖17 PVB材料內(nèi)損耗因子

圖18 板G內(nèi)損耗因子

4 總 結(jié)

本文基于二次譜單元建立層合板的特征方程，在波數(shù)求解時(shí)，采用了皮爾遜相關(guān)系數(shù)來衡量模態(tài)的相似度，根據(jù)相似度準(zhǔn)確地進(jìn)行波數(shù)分類，進(jìn)而計(jì)算層合板的統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)。通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了SFEM方法的通用性與有效性。本文的SFEM在處理復(fù)雜鋪層、任意厚度和材料分布的層合平板方面，比傳統(tǒng)層合板理論精度更高、適用范圍更廣，且其計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)有限元方法。但要解決曲板、加筋板等復(fù)雜層合板結(jié)構(gòu)的建模問題，需要發(fā)展高維的譜單元。本文基于SFEM的SEA參數(shù)計(jì)算方法對(duì)飛行器層合板結(jié)構(gòu)的高頻建模有較重要的工程實(shí)際意義。