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        品形數(shù)之美悟數(shù)形之妙
        ——《數(shù)與形》教學(xué)設(shè)計與反思

        2019-11-29 01:28:34袁凌云
        關(guān)鍵詞:數(shù)與形加數(shù)奇數(shù)

        屈 婷 袁凌云

        【教學(xué)內(nèi)容】

        人教版六年級上冊第107頁例1。

        【教學(xué)過程】

        一、數(shù)與形,各展其長

        1.男生女生大PK:第一組題展示給男生,第二組展示給女生,展示后分別計算答題時間定輸贏。

        第二組:如下圖,甲數(shù)和乙數(shù)相比,( )大。

        師:同樣的題目,為什么女生用時這么少?

        小結(jié):雖然問題相同,但給出圖形的題目一眼就能看出結(jié)果。

        2.第二輪PK:

        (1)這個角是( )角。

        (2)一個角的度數(shù)是 89°,這個角是( )角。

        師:這次給女生的題目是數(shù),給男生的是圖形,為什么男生又輸了?

        小結(jié):給出的圖形需要測量,給出的角的度數(shù)有數(shù)據(jù),方便判斷角的類型。

        師:看來圖形和數(shù)據(jù)都有優(yōu)點,也有缺點。華羅庚說過:數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休。數(shù)形結(jié)合到底有哪些好處呢?今天這節(jié)課我們就來研究。

        【設(shè)計意圖:在小學(xué)階段,很多數(shù)學(xué)知識都是在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上逐步抽象概括的,數(shù)形結(jié)合的思想一直伴隨在學(xué)生的身邊,只是沒向?qū)W生特別點明。數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識的兩種不同表征形式,沒有高低之分、優(yōu)劣之說。如何讓學(xué)生體會數(shù)抽象、形直觀的特點?筆者為學(xué)生提供了兩個例子,一是為了喚醒學(xué)生對數(shù)與形的認(rèn)識,感受數(shù)與形的一路相伴。二是便于讓學(xué)生初步體會到數(shù)與形各有優(yōu)勢:有時數(shù)可以助形,利用數(shù)的精確能夠準(zhǔn)確量化形的特征;有時形可以幫數(shù),借助形的直觀可以降低數(shù)量關(guān)系的抽象程度?!?/p>

        二、圖與式,相輔相成

        師:如果用一個□表示1,1+3可以怎樣畫圖?1、3分別在圖中的哪里?怎樣讓別人一眼看出1、3在圖中的哪個位置?(用不同顏色加以區(qū)分)

        師:一共有多少個小正方形?你是怎么知道的?

        板書:1+3 2×2 (4個)

        小結(jié):用加法和乘法都可以計算小正方形的個數(shù)。

        師:1+3+5可以怎樣畫?畫出的圖形哪種便于計算?為什么?

        小結(jié):畫成長方形或不規(guī)則圖形要一個一個地數(shù),畫成正方形更容易用3×3計算結(jié)果。

        板書:1+3+5 3×3 (9個)

        師:同一個正方形,為什么既可以寫成兩個數(shù)相乘的形式,又可以寫成幾個數(shù)連加的形式?這些等式,我們是借助什么得到的?

        【設(shè)計意圖:要實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,首先要完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。“從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加的算式對應(yīng)的圖不只一種,為什么要研究拼成正方形的形?”這是學(xué)生的疑惑之處。因此筆者首先出示“1+3”的算式,讓學(xué)生構(gòu)造形,體會形雖然有多種,但數(shù)字和圖卻是一一對應(yīng)的。接著讓學(xué)生畫出“1+3+5”對應(yīng)的形,從“多樣化的形”到“呈正方形的形”,旨在讓學(xué)生體會“形”有繁簡之分,正方形方格具有明顯的圖形特征,便于用乘法計算出“1+3+5”的結(jié)果。最后,讓學(xué)生感悟到同樣的圖形換個角度看,可以產(chǎn)生不同的算法,用兩種不同的方式計算同一個幾何量,就可以得到一個等式。這樣就將數(shù)與形進行了溝通與轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生體會到數(shù)形之間的密切聯(lián)系。】

        三、想與畫,虛實相生

        師:按照這樣的規(guī)律,如果再增加一個加數(shù),你認(rèn)為是多少?(加7)先想一想,這個算式等于哪兩個數(shù)相乘,它所對應(yīng)的正方形邊長是多少?再畫一畫,驗證你的猜想是否正確。

        師:為什么1+3+5+7還可以寫成4×4相乘?除了用圖形來解釋,這兩個算式之間是否也存在內(nèi)在聯(lián)系?1+3+5+7這個算式中是否也藏著4?你能找到嗎?4在正方形圖中是什么意思?

        師:結(jié)合前面的算式和圖看一看,是否也存在這樣的規(guī)律?這些加數(shù)隨便是幾都可以嗎?剛才說增加加數(shù)的時候,你們怎么異口同聲說要加7?3+5+7可以寫成3×3嗎?

        師:像 1、4、9、16 這些數(shù)都可以用一個實心的正方形來表示,這些數(shù)是一些和形狀有關(guān)的數(shù),數(shù)學(xué)家把它叫做正方形數(shù)。1是不是平方數(shù)?符合這個規(guī)律嗎?

        師:邊長是6的正方形可以轉(zhuǎn)化成哪些算式?如果分割成從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加,加數(shù)可能是哪幾個?

        【設(shè)計意圖:對于此類問題,不管是數(shù)還是形,都有規(guī)律可循。規(guī)律探尋雖然不是本節(jié)課的主旋律,但發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程能逼著學(xué)生把數(shù)與形統(tǒng)一起來觀察與思考。在這一環(huán)節(jié)中,筆者讓學(xué)生先猜想“1+3+5之后接下來該加哪個數(shù)”,想象之后再畫圖,讓學(xué)生在頭腦中先定格圖形,再通過畫圖幫助學(xué)生確定想象的圖形是否正確,為推算“從1開始的連續(xù)奇數(shù)連加的結(jié)果與平方數(shù)之間的關(guān)系”打下根基;接著,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式左邊加數(shù)的個數(shù)、等式右邊的相同因數(shù)與正方形邊長的對應(yīng)關(guān)系;最后,把學(xué)生的目光聚焦到加數(shù)的特點上,明確只有從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加才符合這個規(guī)律。在這一過程中,學(xué)生利用想象形成的表象,聯(lián)系畫圖過程回想,自發(fā)將數(shù)與圖聯(lián)系起來思考,在整體上把握數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系,將數(shù)與形結(jié)合起來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。】

        【教學(xué)思考】

        一、圖式互譯,數(shù)形轉(zhuǎn)換,架設(shè)思維通道

        在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中數(shù)是數(shù),形是形,難以統(tǒng)一。將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題,從形中尋找計算方法,通過數(shù)形的轉(zhuǎn)換,能讓學(xué)生體會到數(shù)與形都是表征問題的方式,由此打通形象思維與抽象思維之間的數(shù)學(xué)通道。因此,筆者從式引入,給出算式讓學(xué)生用圖形來表征,以形表數(shù),這樣就將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題。當(dāng)學(xué)生用直觀的圖形表征算式之后,讓學(xué)生指出這些連續(xù)奇數(shù)分別在圖中的什么位置,數(shù)形對照,算式與圖形一一對應(yīng),培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)與形對應(yīng)的能力。如果說“由數(shù)想形”是順向思維的話,那么“見形思數(shù)”就是逆向思維。當(dāng)學(xué)生尋找到等式與正方形方格圖的規(guī)律之后,筆者引導(dǎo)學(xué)生思考“邊長是6的正方形方格圖可以轉(zhuǎn)化成哪些算式?如果分割成從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加,可能是哪幾個”,讓學(xué)生在頭腦中對正方形方格進行分拆與計算,與“式”建立聯(lián)系,經(jīng)歷從圖形到算式的回流,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。

        二、內(nèi)聯(lián)溝通,數(shù)形結(jié)合,搭建思維橋梁

        圖形直觀、形象的特點,決定了化數(shù)為形能夠達到以簡馭繁的目的。因此,筆者以直觀的正方形方格為載體,引導(dǎo)學(xué)生將算式與圖形結(jié)合起來觀察、思考,以形解數(shù),尋找加法算式的簡便算法。等式的左右兩邊,落實到圖形中,都是對小正方形個數(shù)(或大正方面積)的計算。對一個圖形,從不同的角度研究它、計算它,能得到一個等式。“從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加可以用同數(shù)相乘來計算,奇數(shù)的個數(shù)、形態(tài)與相乘的因數(shù)有怎樣的關(guān)系,又與正方形的邊長有怎樣的聯(lián)系?”這幾個問題讓學(xué)生在反觀數(shù)與形的關(guān)系進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中,漸漸體會到:規(guī)律如果沒有直觀圖形作思考的載體,很難被發(fā)現(xiàn)和理解;只通過圖形,不借助算式也難以建立正方形數(shù)與算式之間的聯(lián)系。形之于數(shù)解釋現(xiàn)象的作用逐步發(fā)揮出來,數(shù)之于形發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價值慢慢被彰顯,形數(shù)的特點深深印在學(xué)生的腦海中。

        三、抽絲剝繭,數(shù)形互助,打通思維血脈

        就數(shù)學(xué)本質(zhì)而言,“從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加”可以利用等差數(shù)列求和公式“(首項+末項)×項數(shù)÷2”來計算。由于這個數(shù)列的特殊性,(首項+末項)÷2得到的結(jié)果正好與項數(shù)(奇數(shù)的個數(shù))相等,而奇數(shù)的個數(shù)正好等于正方形的邊長,因此可以寫成同數(shù)相乘的形式。小學(xué)生沒有學(xué)過數(shù)列,難以領(lǐng)略到其中的數(shù)學(xué)本質(zhì),但等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征與構(gòu)成正方形“L”形的結(jié)構(gòu)特征是有內(nèi)在聯(lián)系的。如何通過數(shù)形結(jié)合的方法讓學(xué)生逐步體悟正方形數(shù)的魅力?當(dāng)學(xué)生探究出規(guī)律后,我再次引領(lǐng)學(xué)生把算式與圖聯(lián)系起來思考,深究現(xiàn)象背后的道理,讓學(xué)生進一步感悟到數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與形的結(jié)構(gòu)特征高度一致,感悟數(shù)形之間的密切聯(lián)系。

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