胡彩云

【教學內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊第108、109頁。

【教學過程】

板塊一、分類：釘子與圖形

師：同學們，玩過釘子板嗎？今天我們學習的是釘子板上的多邊形，看來，研究的多邊形要和釘子有關系呢。

師：一年級時我們就學過了分一分，明白分類可以按照不同的標準。（出示在釘子板上圍好的多邊形）它們可以怎么分類呢？四人小組里討論一下。

生：可以根據(jù)多邊形的名稱、軸對稱圖形、規(guī)則與不規(guī)則的圖形、多邊形邊上的釘子數(shù)和內(nèi)部的釘子數(shù)這些標準來分……

小結：同學們真愛動腦筋，想出了這么多的分類方法。我們先選取你們其中的一種標準，就按釘子板上多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)來分類，抓住這樣的要點來分類，對于我們探索活動或許會有幫助呢！

【設計意圖：此板塊中讓學生將多邊形分類，分類的標準不一樣，方法就有很多，旨在打開學生的思路。分類后，又將視角直接指向根據(jù)“圖形內(nèi)部的釘子數(shù)”去分類，激發(fā)學生探索其中奧秘的興趣?！?/p>

板塊二、尋找：釘子與面積

選取內(nèi)部釘子數(shù)是2的這類多邊形來研究。

1.尋找規(guī)律。

師：（出示4個內(nèi)部釘子數(shù)是2的多邊形）這些釘子板上的多邊形內(nèi)部都有2個釘子，它們有什么不同呢？

生：邊上的釘子數(shù)不同、面積不同、周長也不同。

師：多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)之間有沒有關系？又有怎樣的關系？

總結：釘子板上多邊形的面積可以用算一算的方法，也可以用數(shù)一數(shù)的方法。

師：觀察表格中的數(shù)據(jù)，面積數(shù)和邊上的釘子數(shù)之間有沒有關系呢？又有怎樣的關系呢？把你的想法和小組內(nèi)的同學交流一下。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)面積數(shù)減去1，再乘2，正好是多邊形邊上的釘子數(shù)。

生：我們小組通過研究發(fā)現(xiàn)，當多邊形的內(nèi)部有兩個釘子，多邊形的面積數(shù)等于它邊上的釘子數(shù)除以2加1。

總結：釘子數(shù)與面積數(shù)之間的關系。用S表示面積，用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，S=n÷2+1。

2.推理驗證。

（1）教師舉例。

師：我們再找?guī)讉€例子來觀察，多邊形的面積數(shù)和釘子數(shù)符合這樣的關系嗎？

（2）學生自己舉例子。

師：內(nèi)部釘子數(shù)是2的多邊形的例子舉得完嗎？能不能找到一個反例，證明這個規(guī)律不存在呢？同學們動手找一找，每人在點子圖上畫一個多邊形，看看它的面積符合這樣的規(guī)律嗎？

【設計意圖：教材是把“內(nèi)部釘子數(shù)是1”的多邊形作為例子開始研究的，我們慎重思考后，挖掘了教材的內(nèi)涵，選擇從“內(nèi)部釘子數(shù)是2”的出發(fā)，思考有三：第一，這個規(guī)律比“內(nèi)部釘子數(shù)是1”的稍難一些，教師引導、學生集思廣益，更具有探討價值。第二，內(nèi)部釘子數(shù)是2的規(guī)律是S=n÷2+1，別小看了這個小尾巴“1”，它的規(guī)律形式更容易借鑒、歸納、推廣。第三，我們的課堂只有40分鐘，選擇的事例要具有典型性、普適性和推廣性。】

板塊三、驗證：釘子與發(fā)現(xiàn)

小組合作，開展探究活動。

師：內(nèi)部釘子數(shù)不是2的多邊形，它的面積數(shù)和邊上的釘子數(shù)又具有怎樣的關系呢？我們先來了解活動的要求。

看：觀察多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是幾個。

數(shù)：數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)，算面積，并記錄。

想：組長匯總數(shù)據(jù)，全組共同探索、尋找規(guī)律。

小組合作，學生分組活動。匯報。

總結：釘子板上圍出的多邊形的面積不僅和多邊形邊上的釘子數(shù)有關，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關。

引導學生歸納，總結規(guī)律。

師：內(nèi)部的釘子數(shù)是8，規(guī)律是什么？內(nèi)部的釘子數(shù)是100呢？一個一個地寫，寫得完嗎？

師：當內(nèi)部的釘子數(shù)是a時，面積數(shù)和邊上的釘子數(shù)關系是什么呢？

生：當內(nèi)部的釘子數(shù)是a時，我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：S=n÷2+（a-1）。

師：如果圖形的內(nèi)部沒有釘子，面積數(shù)和邊上的釘子數(shù)還符合這樣的規(guī)律嗎？你打算怎樣驗證呢？

師：每人畫一個多邊形，內(nèi)部沒有釘子，數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)和面積數(shù)，看看符合規(guī)律嗎？

總結：多邊形邊上的釘子數(shù)除以2加內(nèi)部的釘子數(shù)減1的差，就是這個多邊形的面積。這么復雜的關系我們用一個含有字母的式子清晰地表達出來了。

師：同學們看看這幅圖，它的面積你能很快地告訴我們嗎？

生：S=10÷2+（6-1）=10，它的面積是10平方厘米。

【設計意圖：此板塊我們做了三點嘗試：一是準備已經(jīng)畫好了多邊形的作業(yè)紙，把時間集中于探究規(guī)律的活動中。二是小組間探究內(nèi)部釘子數(shù)不同的多邊形的規(guī)律，交流展示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，提高了課堂探究的效率。三是學生通過不完全歸納法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學生的探究不局限在知識層面，而是活動經(jīng)驗的積累、推廣和應用，數(shù)學思想方法的滲透，學生在此過程中獲得了多方面的提高?！?/p>

板塊四、再猜：釘子與其他

師：剛剛我們研究的都是面積數(shù)和釘子數(shù)之間的關系，難道釘子數(shù)僅僅和面積數(shù)有關系嗎？如果不止這些，還有什么呢？和小組里的同學交流一下你的想法。

生：我覺得釘子數(shù)可能與邊數(shù)有關系。

生：我覺得釘子數(shù)可能與周長有關系。

生：我覺得當釘子數(shù)一定時，多邊形面積最大是多少，最小是多少，會不會有規(guī)律呢……

小結：提出問題往往比解決問題更重要。再猜，為我們打開了思維的天窗。

【設計意圖：跳出釘子數(shù)與面積的局限，留給學生足夠的思考空間，觸發(fā)學生用智慧去創(chuàng)新?！?/p>

【教學思考】

這節(jié)課以前怎么教

很多教師在設計《釘子板上的多邊形》這節(jié)課時，往往都是直接出示點子圖，提出猜想：釘子板上多邊形的面積和什么有關系？進而提出問題：釘子板上多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)以及內(nèi)部的釘子數(shù)存在怎樣的關系？接著從最簡單的“內(nèi)部釘子數(shù)是1”的多邊形開始研究，用S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，得到S=n÷2的規(guī)律；然后出示不符合此規(guī)律的多邊形，明確釘子板上多邊形的面積還和內(nèi)部的釘子數(shù)有關系。先同桌合作，探究內(nèi)部釘子數(shù)是2的規(guī)律；再采取小組合作模式，每人畫一個內(nèi)部釘子數(shù)是3或是4的規(guī)律；最后，用含有字母的式子表示規(guī)律。

按照這樣的模式上課，會存在以下弊端：一是教師引導痕跡過重，學生探究活動比較被動。二是先探究內(nèi)部釘子數(shù)是1，接著探究內(nèi)部釘子數(shù)是2，再到其他，這樣瑣碎且重復的環(huán)節(jié)設計造成課堂模式的單一和時間的緊張。三是對于學生數(shù)學思想方法的指導和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)有所欠缺。

智慧數(shù)學課堂的思考

“智慧數(shù)學”的課堂，我們把教學內(nèi)容分為四個板塊，板塊一：“分類：釘子與圖形”，通過問題迅速聚焦研究的角度，激發(fā)學生探索奧秘的興趣。板塊二：“尋找：釘子與面積”，直接從內(nèi)部釘子數(shù)是2的開始研究，小組合作探究內(nèi)部釘子數(shù)是 1、3、4、5 的情況，調(diào)整了研究的順序，整合了課堂探究的環(huán)節(jié)，充足的合作時間保障了學生活動經(jīng)驗的累積。板塊三：“驗證：釘子與發(fā)現(xiàn)”，憑借推理，學生發(fā)現(xiàn)、歸納、總結了規(guī)律，掌握了不完全歸納法在探究規(guī)律時的運用。板塊四：“再猜：釘子與其他”跳出了釘子數(shù)與面積的局限，開闊了學生的思路，促進學生的思維發(fā)展。