姜源 申永軍 溫少芳

摘要： 基于平均法研究了分?jǐn)?shù)階van der Pol振子3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。得到了系統(tǒng)的一階近似解析解，提出了超、亞諧聯(lián)合共振時(shí)等效線性阻尼和等效線性剛度的概念。建立了聯(lián)合共振定常解幅頻曲線的解析表達(dá)式，又結(jié)合變分方程進(jìn)行線性化處理，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階van der Pol振子在聯(lián)合共振時(shí)的周期解穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則。通過與單一諧波下超諧共振、亞諧共振的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在不同基本參數(shù)下該系統(tǒng)可分別表現(xiàn)出單諧波超諧共振、單諧波亞諧共振以及兩者共存時(shí)的特征現(xiàn)象。研究表明，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)通過等效線性阻尼和等效線性剛度的形式對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值、共振頻率、定常解穩(wěn)定性、周期解數(shù)量、共振區(qū)域、曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及跳躍現(xiàn)象等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性均產(chǎn)生重要影響。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); van der Pol振子; 聯(lián)合共振; 分?jǐn)?shù)階微分; 平均法

中圖分類號(hào)： O322; O241.8 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2019）05-0863-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.015

引 言

早在1695年，分?jǐn)?shù)階微積分作為一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)分支由德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz和法國(guó)數(shù)學(xué)家Hopital在一次探討半階導(dǎo)數(shù)的通信中被首次提出。分?jǐn)?shù)階微積分幾乎與經(jīng)典微積分同時(shí)出現(xiàn)，距今已有300多年的歷史，但是由于技術(shù)的局限性，其相關(guān)應(yīng)用在當(dāng)時(shí)并未受到過多關(guān)注。進(jìn)入20世紀(jì)以后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的研究及應(yīng)用重返研究人員關(guān)注的舞臺(tái)，大量科研成果脫穎而出，其中包括黏彈性系統(tǒng)[1-2]、混沌動(dòng)力學(xué)[3-4]、非哈密頓系統(tǒng)[5-6]、量子力學(xué)[7]、熱動(dòng)力學(xué)[8-9]等。在工程問題中，其應(yīng)用領(lǐng)域主要分為兩類：一類是在控制系統(tǒng)中引入分?jǐn)?shù)階反饋控制從而改善系統(tǒng)的魯棒性和控制效果，如無(wú)人機(jī)滑模姿態(tài)的控制[10]、永磁同步電動(dòng)機(jī)的雙閉環(huán)控制[11]、速度反饋的PID控制[12]、集成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制[13]等領(lǐng)域。另一類是用來模擬含記憶特性工程材料的真實(shí)本構(gòu)關(guān)系，如隔振器件的建模（油氣懸架的建模[14]、空氣懸架的建模[15]、磁流變阻尼器的建模[16]等）、單相逆變器的建模[17]、非定常蠕變本構(gòu)模型的研究[18]、黏彈性材料變形研究[19]等領(lǐng)域。

目前，分?jǐn)?shù)階微積分在動(dòng)力系統(tǒng)中的研究包含定性分析、數(shù)值計(jì)算和解析研究，其中具有代表性的導(dǎo)數(shù)定義形式又可分為以下三種：Riemann-Liouville型、Grünwald-Letnikov型和Caputo型定義。近幾年，有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分理論知識(shí)的研究成果頗為豐碩，例如申永軍、楊紹普等[20-24]通過平均法對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的線性和非線性單自由度振子進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究，并提出等效線性阻尼和等效線性剛度概念，分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響規(guī)律;李常品等[25-27]在分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)理論方面進(jìn)行了大量研究，提出了一些高效數(shù)值算法;Atanackovic等[28]研究了分?jǐn)?shù)階歐拉-拉格朗日方程;王學(xué)彬等[29] 通過Riemann-Liouville型和Caputo型兩種常見的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，研究了如何利用拉普拉斯變換方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程;陳明杰[30]研究了一種嶄新的信號(hào)分析工具即分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，并用經(jīng)典的傅里葉變換觀點(diǎn)對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行了充分的解釋等等。

1927年，荷蘭電子工程師van der Pol為了描述電子電路中三極管的振蕩效應(yīng)，首次推導(dǎo)出了著名的van der Pol方程。此后，在物理學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)學(xué)、甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)中，van der Pol方程已經(jīng)成為描述振蕩過程的一種基礎(chǔ)模型。在非線性動(dòng)力學(xué)中，van der Pol方程由于具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為而極具代表性。近幾年來，有關(guān)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在非線性系統(tǒng)中的研究受到諸多學(xué)者的青睞。例如分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的超諧共振[31]、分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的亞諧共振[32]、寬帶噪聲激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing振子的可靠性分析[33]、分?jǐn)?shù)階van der Pol振子網(wǎng)絡(luò)的混沌同步[34]等等。但是，在相關(guān)文獻(xiàn)中絕大多數(shù)的研究?jī)H局限于單一諧波激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的響應(yīng)規(guī)律，較少涉及到多頻激勵(lì)。在實(shí)際工程中，多頻激勵(lì)的發(fā)生并不少見。因此，多頻激勵(lì)下非線性系統(tǒng)具有更加豐富的現(xiàn)象，尤其是聯(lián)合共振較為突出。如Nayfeh等的專著[35]中以整數(shù)階Duffing振子聯(lián)合共振為例，簡(jiǎn)單介紹了其中復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。在分?jǐn)?shù)階Duffing振子的聯(lián)合共振[36]中，其非線性現(xiàn)象更加豐富。本文對(duì)一類分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振進(jìn)行了研究，采取平均法得到了系統(tǒng)的定常解及穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則，并與單一諧波下的超諧共振、亞諧共振進(jìn)行了對(duì)比，分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值、共振頻率、定常解穩(wěn)定性、周期解數(shù)量、共振區(qū)域、曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及跳躍現(xiàn)象等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3.2 整數(shù)階van der Pol振子聯(lián)合共振幅頻特性曲線 ?選取一組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5，k=15，α1=45， F1=20，F(xiàn)2=180，K1=0和p=0.4，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。此時(shí)，該系統(tǒng)為傳統(tǒng)整數(shù)階van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振。根據(jù)式（31），可以得到整數(shù)階van der Pol振子聯(lián)合共振下的幅頻曲線如圖2所示。分析圖2可知，在一定激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，該系統(tǒng)可以出現(xiàn)多至7個(gè)解共存的特征現(xiàn)象。再根據(jù)式（38），對(duì)定常解穩(wěn)定性條件分析判斷，其解的特征存在4種可能性：a） 1個(gè)非平凡的穩(wěn)定解;b） 3個(gè)非平凡解，其中一個(gè)是不穩(wěn)定的;c） 5個(gè)非平凡解，其中2個(gè)是不穩(wěn)定的;d） 7個(gè)非平凡解，其中3個(gè)是不穩(wěn)定的。可見，聯(lián)合共振系統(tǒng)豐富的多解性體現(xiàn)出單一諧波下超諧共振與亞諧共振的雙重特征，這與傳統(tǒng)整數(shù)階Duffing振子聯(lián)合共振時(shí)的幅頻曲線特征近似[35]。

3.3 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)聯(lián)合共振穩(wěn)定性參數(shù)的影響 ?由于在一定激勵(lì)頻率范圍內(nèi)存在著幾個(gè)定常解共存的現(xiàn)象，需要對(duì)解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，尤其是穩(wěn)定性條件參數(shù)R。設(shè)置一組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5，k=15，F(xiàn)1=20，F(xiàn)2=180，和α1=46對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。根據(jù)式（38），可以得到分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)聯(lián)合共振穩(wěn)定性參數(shù)的影響規(guī)律，如圖3所示?？芍?，當(dāng)R>0時(shí)，該系統(tǒng)存在著穩(wěn)定的周期解如圖3中實(shí)線部分所示;反之，當(dāng)R<0時(shí)，圓圈標(biāo)記線為系統(tǒng)不穩(wěn)定的周期解。其中圖3（a）為K1=0.5，階次p從0逐漸增大到1時(shí)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性參數(shù)的影響?？梢钥闯鲈谝欢?lì)頻率范圍下，隨著階次p的逐漸增大，該系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)依次呈7，5，3遞減的趨勢(shì)，最后保持2個(gè)穩(wěn)定解、1個(gè)非穩(wěn)定解。當(dāng)0 ? ?

3.4 分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響

考慮到響應(yīng)幅值能夠反映穩(wěn)定周期解能量的大小，下面研究分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)聯(lián)合共振幅頻特性曲線的影響。設(shè)置第1組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5， k=45， F1=47， F2=2 和α1=2對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。根據(jù)式（31）可以得到該系統(tǒng)的幅頻曲線如圖4所示。圖4（a）為p=0.5，系數(shù)K1依次取0（傳統(tǒng)整數(shù)階），0.5，1和1.5時(shí)的幅頻特性曲線圖。可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階系數(shù)K1的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈現(xiàn)向高頻方向移動(dòng)的趨勢(shì)且發(fā)生變形，并且系統(tǒng)的振幅衰減，共振頻率增大，周期解的個(gè)數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)且穩(wěn)定，共振區(qū)面積及多值性發(fā)生顯著變化。圖4（b）為K1=1，階次p依次取0，0.1，0.2和0.3時(shí)的幅頻曲線。可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階階次p的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈現(xiàn)向低振幅方向移動(dòng)的趨勢(shì)，并且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變，系統(tǒng)的振幅衰減，解的多值性及跳躍現(xiàn)象消失，周期解的個(gè)數(shù)降為一個(gè)并且穩(wěn)定，共振區(qū)面積發(fā)生顯著變化。顯然，在系統(tǒng)發(fā)生3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振的情況下，當(dāng)高次諧波項(xiàng)幅值F1高于低次諧波項(xiàng)幅值F2數(shù)倍時(shí)，該系統(tǒng)出現(xiàn)與分?jǐn)?shù)階van der Pol振子超諧共振時(shí)的相似情況，表現(xiàn)出3次超諧共振[31]特性。

設(shè)置第2組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5， k=15， F1=2， F2=40 和α1=15對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。根據(jù)式（31）可以得到該系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如圖5所示。圖5（a）為p=0.5，系數(shù)K1依次取0，1，3和5時(shí)的幅頻曲線?？梢钥闯鲭S著分?jǐn)?shù)階系數(shù)K1的逐漸增大，圖中“卵形”幅頻曲線呈現(xiàn)向高頻方向移動(dòng)的趨勢(shì)且發(fā)生縮減，并且系統(tǒng)的振幅衰減，共振頻率增大，共振區(qū)面積減小，周期解的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性并未發(fā)生顯著變化。當(dāng)系數(shù)K1持續(xù)增大到某一范圍時(shí)，“卵形”幅頻曲線逐漸縮減，最終在特殊位置縮聚成一點(diǎn)。圖5（b）為K1=0.5，階次p依次取0，0.4，0.7和1時(shí)的幅頻特性曲線圖?？梢钥闯?，隨著分?jǐn)?shù)階階次p的逐漸增大，圖中“卵形”幅頻曲線呈向低頻方向移動(dòng)的趨勢(shì)，并且系統(tǒng)的振幅衰減，共振區(qū)面積、解的多值性及跳躍現(xiàn)象等并未發(fā)生顯著變化。因此，當(dāng)高次諧波項(xiàng)幅值F1低于低次諧波項(xiàng)幅值F2數(shù)倍時(shí)，該系統(tǒng)出現(xiàn)與分?jǐn)?shù)階van der Pol振子亞諧共振時(shí)的相似情況，表現(xiàn)出3次亞諧共振[32]特性。

設(shè)置第3組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5， k=15， F1=20， F2=120和α1=35對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，研究不同分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)多解情況下幅頻曲線的影響，結(jié)果如圖6所示。圖中左側(cè)為p=0.5，系數(shù)K1依次取3，5和7時(shí)的幅頻曲線?？梢钥闯觯S著分?jǐn)?shù)階系數(shù)K1的逐漸增大，共振區(qū)內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，而整體輪廓并未發(fā)生顯著變化。該系統(tǒng)3個(gè)解的發(fā)生區(qū)域向高頻方向移動(dòng)且逐漸縮減，5個(gè)解、7個(gè)解的發(fā)生區(qū)域向高頻方向移動(dòng)并逐漸擴(kuò)大?？梢姺?jǐn)?shù)階系數(shù)K1在小范圍變化時(shí)，對(duì)聯(lián)合共振系統(tǒng)的幅頻曲線影響并不明顯。當(dāng)系數(shù)K1持續(xù)增大到某一范圍時(shí)，該系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)與上述曲線類似現(xiàn)象，其最大幅值衰減，共振頻率增大，周期解數(shù)目減少，跳躍現(xiàn)象消失等。圖中右側(cè)為K1=5，階次p依次取0.5，0.75和1時(shí)的幅頻曲線?？梢钥闯鲭S著分?jǐn)?shù)階階次p的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈向低振幅方向移動(dòng)的趨勢(shì)且內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著變形。由于等效線性阻尼的增大導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定解幅值開始衰減，內(nèi)部不穩(wěn)定解幅值開始增長(zhǎng)，共振頻率減小，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)解的多值性及跳躍現(xiàn)象也有很大影響。隨著p的逐漸增大，對(duì)多解現(xiàn)象的發(fā)生將起到抑制作用。當(dāng)p增大到一定程度時(shí)，系統(tǒng)的7個(gè)平凡解現(xiàn)象隨之消失，系統(tǒng)發(fā)生共振區(qū)面積不斷縮減，振幅多值現(xiàn)象隨之減少，跳躍現(xiàn)象逐漸消失。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)含一類分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振進(jìn)行了研究，采用平均法得到系統(tǒng)的一階近似解析解，并建立了聯(lián)合共振定常解幅頻曲線的解析表達(dá)式與周期響應(yīng)的穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則。通過聯(lián)合共振等效線性剛度和等效線性阻尼的概念分析了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻曲線及周期解穩(wěn)定性的影響，并與單一諧波下的超諧共振、亞諧共振進(jìn)行了對(duì)比。仿真結(jié)果顯示，在不同的基本參數(shù)下，該系統(tǒng)可分別表現(xiàn)出單諧波超諧共振、單諧波亞諧共振以及兩者共同存在時(shí)的特征現(xiàn)象。除此之外，分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值、共振頻率、定常解穩(wěn)定性、周期解數(shù)量、共振區(qū)域、曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及跳躍現(xiàn)象等都有重要影響。

參考文獻(xiàn)：

[1] Shimizu N， Zhang W. Fractional calculus approach to dynamic problems of viscoelastic materials[J]. JSME International Journal Series C Mechanical Systems， 1999， 42（4）：825-837.

[15] 吳光強(qiáng)， 黃煥軍， 葉光湖. 基于分?jǐn)?shù)階微積分的汽車空氣懸架半主動(dòng)控制[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)， 2014， 45（7）：19-25.

Wu Guangqiang， Huang Huanjun， Ye Guanghu. Semi-active control of automotive air suspension based on fractional calculus[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery， 2014， 45（7）：19-25.

[16] 陳丙三， 曾壽金， 江吉彬. 磁流變阻尼器的分?jǐn)?shù)階模型及其減振系統(tǒng)分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造， 2012， 20（7）：219-221.

Chen Bingsan， Zeng Shoujin， Jiang Jibin. Fractional calculus modeling of the megnetorheological damper and the analysis of its damping system[J]. Machinery Design and Manufacture， 2012， 20（7）：219-221.

[17] 馬冬冬， 王志強(qiáng)， 王進(jìn)君. 單相逆變器分?jǐn)?shù)階建模及分析[J]. 電測(cè)與儀表， 2017， 54（6）：106-112.

Ma Dongdong， Wang Zhiqiang， Wang Jinjun. Fractional order modeling and analysis of single phase inverter[J]. Electrical Measurement & Instrumentation， 2017， 54（6）：106-112.

[18] 何志磊， 朱珍德， 朱明禮. 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非定常蠕變本構(gòu)模型研究[J]. 巖土力學(xué)， 2016， 37（3）： 737-744.

He Zhilei， Zhu Zhende， Zhu Mingli. An unsteady creep constitutive model based on fractional order derivatives[J]. Rock and Soil Mechanics， 2016， 37（3）： 737-744.

[19] 段曉夢(mèng)， 殷德順， 安麗媛. 基于分?jǐn)?shù)階微積分的黏彈性材料變形研究[J]. 中國(guó)科學(xué)： 物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)， 2013， 43（8）： 971-977.

Duan Xiaomeng， Yin Deshun， An Liyuan. The deformation study in viscoelastic materials based on fractional order calculus[J]. Scientia Sinica Physica， Mechanica & Astronomica， 2013， 43（8）：971-977.

[20] 申永軍， 楊紹普， 邢海軍. 含分?jǐn)?shù)階微分的線性單自由度振子的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2012， 61（11）：158-163.

Shen Yongjun， Yang Shaopu， Xing Haijun. Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivative[J]. Acta Phys. Sin.， 2012， 61（11）：158-163.

[21] 申永軍， 楊紹普， 邢海軍. 含分?jǐn)?shù)階微分的線性單自由度振子的動(dòng)力學(xué)分析（Ⅱ）[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2012， 61（15）：55-63.

Shen Yongjun， Yang Shaopu， Xing Haijun. Dynamical analysis of linear SDOF oscillator with fractional-order derivative（II）[J]. Acta Phys. Sin.， 2012， 61（15）：55-63.

[22] 韋 鵬， 申永軍， 楊紹普. 分?jǐn)?shù)階Duffing振子的亞諧共振[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2014， 27（6）：811-818.

Wei Peng， Shen Yongjun， Yang Shaopu. Sub-harmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative[J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（6）：811-818.

[23] 顧曉輝， 楊紹普， 申永軍，等. 分?jǐn)?shù)階Duffing振子的組合共振[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2017， 30（1）：28-32.

Gu Xiaohui， Yang Shaopu， Shen Yongjun， et al. Combination resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative[J]. Journal of Vibration Engineering， 2017， 30（1）：28-32.

[24] 申永軍， 楊紹普， 邢海軍. 分?jǐn)?shù)階Duffng振子的超諧共振[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2012， 44（4）：762-768.

Shen Yongjun， Yang Shaopu， Xing Haijun. Super-harmonic resonance of fractional-order Duffing oscillator[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2012， 44（4）：762-768.

[25] 曹建雄， 丁恒飛， 李常品. 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的隱差分格式[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 27（1）：61-74.

Cao Jianxiong， Ding Hengfei， Li Changpin. Implicit difference schemes for fractional diffusion equations[J]. Communcation on Applied Mathematics and Computation， 2013， 27（1）：61-74.

[26] 曾凡海， 李常品. 時(shí)間分?jǐn)?shù)階亞擴(kuò)散方程的高階差分方法[J]. 計(jì)算物理， 2013， 30（4）：491-500.

Zeng Fanhai， Li Changpin. High-order finite difference methods for time-fractional subdiffusion equation[J]. Chinese Journal of Computational Physics， 2013， 30（4）： 491-500.

[27] Li Changpin， Zhao Zhengang. Asymptotical stability analysis of linear fractional differential systems[J]. Journal of Shanghai University （English Edition）， 2009， 13（3）：197-206.

[28] Atanackovic T M， Konjik S， Pilipovic S. Variational problems with fractional derivatives： Euler-Lagrange equations[J]. Journal of Physics A Mathematical & Theoretical， 2011， 41（9）：1937-1940.

[29] 王學(xué)彬. 拉普拉斯變換方法解分?jǐn)?shù)階微分方程[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2016， 41（7）：7-12.

Wang Xuebin. On Laplace transform method for solving fractional differential equations[J]. Journal of Southwest China Normal University（Natural Science Edition）， 2016， 41（7）：7-12.

[30] 陳明杰. 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的數(shù)值實(shí)現(xiàn)[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2003， 26（5）：129-132.

Chen Mingjie. A numerical algorithms of fractional fourier transform[J]. Journal of Chongqing University （Natural Science Edition）， 2003， 26（5）： 129-132.

[31] 韋 鵬， 申永軍， 楊紹普. 分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的超諧共振[J].物理學(xué)報(bào)， 2014， 63（1）：47-58.

Wei Peng， Shen Yongjun， Yang Shaopu. Super-harmonic resonance of fractional-order van der Pol oscillator[J]. Acta Phys. Sin.， 2014， 63（1）：47-58.

[32] Shen Y， Wei P， Sui C. Subharmonic resonance of van der Pol oscillator with fractional-order derivative[J]. Mathematical Problems in Engineering， 2014， （1）： 688-706.

[33] 陳林聰， 李海鋒， 梅 真，等. 寬帶噪聲激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的van der Pol-Duffing振子的可靠性[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 49（1）：45-51.

Chen Lincong， Li Haifeng， Mei Zhen， et al. Relability of van der Pol-Duffing oscillator with fractional derivative under wide-band noise excitations[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 2014， 49（1）：45-51.

[34] 毛北行， 王東曉. 分?jǐn)?shù)階van der Pol振子網(wǎng)絡(luò)的混沌同步[J]. 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2016， 50（2）：202-205.

Mao Beixing， Wang Dongxiao. Chaos synchronization of fractional order van der Pol oscillators network systems[J]. Journal of Central China Normal University， 2016， 50（2）：202-205.

[35] Nayfeh A H， Mook D T. Nonlinear Oscillations[M]. John Wiley & Sons， 1979.

[36] 姜 源， 申永軍， 溫少芳，等. 分?jǐn)?shù)階達(dá)芬振子的超諧與亞諧聯(lián)合共振[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 49（5）：1008-1019.

Jiang Yuan， Shen Yongjun， Wen Shaofang， et al. Super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonances of fractional-order Duffing oscillator[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2017， 49（5）：1008-1019.

Abstract： Based on the averaging method， the dynamical characteristics of third-order super-harmonic and one-third order sub-harmonic simultaneous resonance of a van der Pol oscillator with a fractional-order differential term are analytically studied. The first-order approximate analytical solution is obtained， and the definitions of the equivalent linear damping coefficient and the equivalent linear stiffness efficient for super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonance are presented. The analytical amplitude-frequency equation for steady-state solution of the simultaneous resonance is established. Combined with the variational equation for linearization， the criteria for the periodic solution stability of the van der Pol oscillator under simultaneous resonance are derived. Through the comparison with super-harmonic resonance and sub-harmonic resonance under single harmonic excitation， it is found that the system can exhibit characteristic phenomenon of single harmonic super-harmonic resonance， single harmonic sub-harmonic resonance and both existence of these two resonances under different system parameters. The results show that the system parameters in fractional-order differential term have important influence on the response amplitude， the resonance frequency， the stability of stationary solution， the number of periodic solutions， the resonance region， topological structure of the amplitude-frequency curve， jumping phenomena and other complex dynamic characteristics through the equivalent linear damping and equivalent linear stiffness.

Key words： nonlinear vibration; van der Pol oscillator; simultaneous resonance; fractional-order derivative; averaging method

作者簡(jiǎn)介： 姜 源（1992-），男，研究生。電話： 15032270856; E-mail： 416560053@qq.com

通訊作者： 申永軍（1973-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。電話： （0311）87936710; E-mail： shenyongjun@126.com