■北京八十中雄安校區(qū) 王立彬

極坐標(biāo)和參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修課程的內(nèi)容，在全國(guó)高考卷中是二選一的題目。準(zhǔn)確地理解極坐標(biāo)和參數(shù)方程的意義，對(duì)于解決這種類型的考題有很大的幫助。下面我們通過(guò)例題來(lái)分析，如何把握極坐標(biāo)和參數(shù)方程的意義。

例1 在直角坐標(biāo)系x O y中，曲線C1：(為參數(shù)，)，其中 ，tt≠00≤α＜π在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2 sinθ，C3：ρ=2c o sθ。

(1)求C2與C3的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|A B|的最大值。

分析：由于曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α過(guò)極點(diǎn)，所以解決|A B|的最大值問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程來(lái)解決，這樣可以將長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)最值問(wèn)題。

解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2y=0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2x=0，聯(lián)立解得所以C2與C3的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和

(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π。因?yàn)锳的極坐標(biāo)為(2 sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2c o sα，α)，所以|A B|=|2 sinα—2c o sα|=，當(dāng)π時(shí)，|A B|取得最大值，最大值為4。

通過(guò)上述例子，我們看到應(yīng)用極坐標(biāo)方法解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題是十分有效和簡(jiǎn)練的，并且題中涉及求弦長(zhǎng)最大值問(wèn)題，用極坐標(biāo)方法解決更方便優(yōu)越。雖然A，B兩點(diǎn)是直線與兩條曲線的交點(diǎn)，但不能應(yīng)用普通方程中的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解決。當(dāng)然，我們要注意直接應(yīng)用極坐標(biāo)ρ的長(zhǎng)度來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要直線過(guò)極點(diǎn)。

例2 已知曲線，直線l：

(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；

(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為3 0°的直線，交l于點(diǎn)A，求|P A|的最大值與最小值。

分析：將圓錐曲線的普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，非常方便求解距離的最值問(wèn)題。當(dāng)我們看到求解距離問(wèn)題時(shí)，首先要想到將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，最后用三角函數(shù)方法解決問(wèn)題。

解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))；直線l的普通方程為2x+y—6=0。

(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2 c o sθ，3 sinθ)到l的距離為

無(wú)論是學(xué)習(xí)普通方程，還是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，都是為了探索不同的方法去解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果我們能夠理解并掌握每種方程的特點(diǎn)，并應(yīng)用方程所具有的優(yōu)點(diǎn)解決適合的問(wèn)題，就達(dá)到了學(xué)習(xí)新知識(shí)的目的。