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        極坐標和參數(shù)方程的突破方法

        2019-11-27 19:02:14河南省西華縣一高數(shù)學組李五銀李松林
        關(guān)鍵詞:極坐標傾斜角直角坐標

        ■河南省西華縣一高數(shù)學組 李五銀 李松林

        高考對極坐標和參數(shù)方程的考查主要有:(1)極坐標方程與普通方程的互化;(2)參數(shù)方程與普通方程的互化;(3)直線(普通方程或參數(shù)方程)與圓、橢圓或拋物線的位置關(guān)系問題。對于直線參數(shù)方程的應(yīng)用,已知直線l經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為l上任意一點,則直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))。t

        (1)若M1,M2是直線l上的兩個點,對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

        (2)若線段M1M2的中點為M3,點M1,M2,M3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t3,則t3=

        (3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0,y0),則t1+t2=0,t1t2<0。

        注意:在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時,要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備該幾何含義。

        一、根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義,以及韋達定理t1+t2=—得到弦長為|t—t|來解決12

        例1 在直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρsin2θ=2ac o sθ(a>0),過點P(—2,—4)的 直 線l的 參 數(shù) 方 程 為(t為參數(shù)),l與C分別交于點M,N。

        (1)寫出C的直角坐標方程和l的普通方程;

        (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值。

        解析:(1)曲線C的直角坐標方程為y2=2a x(a>0);直線l的普通方程為x—y—2=0。

        (2)將直線l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,可得t2—2(4+a)t+8(4+a)=0。 ①

        由題意知Δ=8a(4+a)>0,又a>0,所以4+a>0。

        設(shè)點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1,t2恰為方程①的根。易知|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1—t2|,由題設(shè)得(t1—t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2—4t1t2=|t1t2|。

        又由①得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,則有(4+a)2—5(4+a)=0,解得a=1或a=—4。因為a>0,所以a=1。

        方法總結(jié):(1)解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時,要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式,主要是通過互化解決圓、圓錐曲線上與動點有關(guān)的問題,如最值、范圍等。(2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義,有如下常用結(jié)論:過定點M0的直線與圓錐曲線相交,交點為M1,M2,所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2。則:①弦長l=|t1—t2|;②弦M1M2的中點?t1+t2=0;③|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|。

        二、弦的中點問題

        例2 在平面直角坐標系x O y中,傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρc o s2θ—4 sinθ=0。

        (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;

        (2)已知點P(1,0),若點M的極坐標為,直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段A B的中點為Q,求|P Q|的值。

        解析:(1)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),所以直線l的普通方程為y=t a nα·(x—1)。由ρc o s2θ—4 sinθ=0得ρ2c o s2θ—4ρsinθ=0,即x2—4y=0。所以曲線C的直角坐標方程為x2=4y。

        (2)因為點M的極坐標為,所以點M的直角坐標為(0,1),所以t a nα=—1,直線l的傾斜角,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。代入x2=4y,得

        設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2。因為Q為線段A B的中點,所以點Q對應(yīng)的參數(shù)值為又點P(1,0),則

        方法總結(jié):已知直線l經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為l上任意一點,則 直 線l的 參 數(shù) 方 程 為(為參數(shù))。 線段t①M1M2的中點為M3,點M1,M2,M3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t3,則②若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0,y0),則t1+t2=0,t1t2<0。

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