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        幾種常見的有關(guān)圓的最值問題

        2019-11-16 02:46:00文石愛英
        初中生世界 2019年39期
        關(guān)鍵詞:垂徑對稱點(diǎn)勾股定理

        文石愛英

        (作者單位:山東省東營市勝利第六中學(xué))

        有關(guān)圓的最值問題,在中考中常常以選擇、填空的形式出現(xiàn),這類試題“小而精”,但涉及的知識面廣,綜合性強(qiáng)。很多同學(xué)對解決這類問題常會感到束手無策。本文以常見的幾種類型入手,帶大家一起感悟解決這類問題的思路和方法。

        一、利用垂線段最短求最值

        例1 (2019·嘉興)如圖1,在⊙O中,弦AB=1,點(diǎn)C在AB上移動,連接OC,過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于D點(diǎn),則CD的最大值為_______。

        圖1

        【分析】首先連接OD,因為OC⊥CD,根據(jù)勾股定理得CD2=OD2-OC2,因為OD是定值,所以當(dāng)OC最小時,CD取到最大值。

        解:連接OD,∴OC⊥CD,

        根據(jù)勾股定理,有CD2=OD2-OC2,

        ∵OD是定值,

        ∴當(dāng)OC最小時,CD最大,此時D與B重合,

        【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理以及勾股定理,難度適中。掌握輔助線的作法,得到當(dāng)OC⊥AB時,OC最短是關(guān)鍵。

        二、利用對稱求最值

        例2 如圖的直徑是AB上一動點(diǎn),則CM+DM的最小值是cm。

        圖2

        【分析】如圖3,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′,連接C′D與AB相交于點(diǎn)M,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,點(diǎn)M為CM+DM最小時的位置,根據(jù)垂徑定理可得然后求出C′D為直徑,從而得解。

        解:作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′,連接C′D,與AB相交于點(diǎn)M,如圖3,此時,點(diǎn)M為CM+DM最小時的位置,由垂徑定理得

        圖3

        ∴C′D為直徑,

        ∴CM+DM的最小值是8cm。

        【點(diǎn)評】本題考查了用軸對稱確定最短路線問題、垂徑定理,熟記定理并作出圖形,判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵。

        三、利用坐標(biāo)求最值

        例3 如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動,且始終滿足∠BPC=90°,則a的最大值是___。

        圖4

        【分析】首先得到AB=AC=a,根據(jù)條件可知PA=AB=AC=a,求出⊙D上的點(diǎn)P到點(diǎn)A的最大距離即可解決問題。

        解:∵A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

        ∴AB=1-(1-a)=a,CA=a+1-1=a,

        ∴AB=AC,連接PA。

        ∵∠BPC=90°,

        ∴PA=AB=AC=a,

        如圖4,延長AD交⊙D于P′,此時AP′最大,

        ∵A(1,0),D(4,4),

        ∴AD=5,

        ∴AP′=5+1=6,

        ∴a的最大值為6。

        故填6。

        【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了與圓有關(guān)的位置關(guān)系,抓住“過圓心與某點(diǎn)連接的直線的交點(diǎn)構(gòu)成極值”是解決問題的關(guān)鍵。

        四、構(gòu)造相似三角形求極值

        例4 問題提出:如圖5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半徑為2,P為圓上一動點(diǎn),連接AP、BP,求AP+的最小值。

        圖5

        嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路。

        如圖6,連接CP,在CB上取點(diǎn)D,使CD=1,

        又∵∠PCD=∠BCP,

        ∴△PCD∽△BCP,

        圖6

        圖7

        【分析】嘗試解決:連接AD,AP+最短為

        圖8

        拓展延伸:延長OA到點(diǎn)E,使CE=6,連接PE、OP,可證△OAP∽△OPE,得到 EP=2PA,得到 2PA+PB=EP+PB,當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時,得到EP+PB最小值。

        圖9

        解:

        又∵∠PCD=∠ACP,

        ∴△PCD∽△ACP,

        ∴EP=2PA,

        ∴2PA+PB=EP+PB,

        【點(diǎn)評】本題是一道綜合題,重點(diǎn)考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、極值的確定,還考查了同學(xué)們的閱讀理解能力,解本題的關(guān)鍵是根據(jù)材料構(gòu)造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE,這也是解決本題的難點(diǎn)。

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