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        現(xiàn)出中考“圓”形
        ——以2019年中考題為例

        2019-11-16 02:46:04文陳曉麗
        初中生世界 2019年39期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)

        文陳曉麗

        (作者單位:江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué))

        各地中考中關(guān)于圓的考查,一般是圍繞圓的基本概念與性質(zhì)、與圓有關(guān)的角、直線與圓的位置關(guān)系、扇形及圓錐的相關(guān)問題,常以計(jì)算或證明形式出現(xiàn)。下面結(jié)合2019年一些中考題來看一看。

        考點(diǎn)一:與圓相關(guān)的推理

        例1 (2019·安徽)如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若⊙O的半徑為2,則CD的長為 ____。

        圖1

        圖2

        【分析】連接OA、OC,根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=,然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長。

        解:連接OA、OC,如圖2,

        ∵∠COA=2∠CBA=90°,

        ∴在Rt△AOC中,

        ∵CD⊥AB,

        ∴在Rt△ACD中,

        【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù),根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵。

        例2 (2019·嘉興)如圖3,在⊙O中,弦AB=1,點(diǎn)C在AB上移動,連接OC,過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D,則CD的最大值為 ___ 。

        圖3

        圖4

        【分析】連接OD,如圖4,利用勾股定理得到CD,利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時,OC最小,根據(jù)勾股定理求出OC,代入求出CD即可。

        解:連接OD,如圖4,

        ∵CD⊥OC,∴∠OCD=90°,

        當(dāng)OC的值最小時,CD的值最大,

        而只有當(dāng)OC⊥AB時,OC最小,

        【點(diǎn)評】本題考查了垂線段最短、勾股定理和垂徑定理等知識點(diǎn),能求出點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵。

        考點(diǎn)二:與圓相關(guān)的計(jì)算

        例3 (2019·寧波)如圖5,矩形紙片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面,則AB的長為( )。

        圖5

        A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

        【分析】先設(shè)AB=x,根據(jù)扇形的弧長計(jì)算公式算出弧AF的長,根據(jù)該弧長等于直徑為(6-x)的圓的周長,列出方程,求解即可。

        解:設(shè)AB=x,由題意,

        故答案為:B。

        【點(diǎn)評】對于圓錐問題,首先要理解側(cè)面展開的扇形弧長等于底面圓周長,然后利用公式進(jìn)行計(jì)算。

        例4 (2019·四川南充改編)如圖6,在半徑為6的⊙O中,點(diǎn)A、B、C都在⊙O上,四邊形OABC是平行四邊形,則圖中陰影部分的面積為 。

        圖6

        【分析】連接OB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC,推出△AOB是等邊三角形,得到∠AOB=60°,利用扇形的面積公式即可得到結(jié)論。

        “不過,這些玉器受老人的福澤,日久通靈,已然有了神性。本應(yīng)散在宅院各處,結(jié)果又被放在一起,靈性相互沖突,生了異變。好在被封在箱子里,多年來也相安無事。結(jié)果壞就壞在這個小伙子身上了,半年前他也不知道為什么打開了箱子的封條,才引出他們一村的騷動。這些玉器只想著護(hù)主,不知不覺奪了旁人的福氣?!?/p>

        圖7

        解:連接OB,如圖7,

        ∵四邊形OABC是平行四邊形,

        ∴AB=OC,∴AB=OA=OB,

        ∴△AOB是等邊三角形,

        ∴∠AOB=60°,

        ∵OC∥AB,∴S△AOB=S△ABC,

        ∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOB

        【點(diǎn)評】本題考查的是扇形面積的計(jì)算,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△AOB的面積,從而將不規(guī)則圖形(陰影部分)的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(扇形AOB)的面積。掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵。

        考點(diǎn)三:圓的綜合運(yùn)用

        例5 (2019·衢州)如圖8,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E。

        圖8

        (1)求證:DE是⊙O的切線。

        【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和等量代換得∠1=∠B,由垂直定義和三角形內(nèi)角和定理得∠2+∠B=90°,等量代換得∠2+∠1=90°,由平角定義得∠ODE=90°,從而可得證。

        (2)連接AD,由圓周角定理得∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中,由直角三角形性質(zhì)得BD=CD=2 3,在Rt△ADC中,由直角三角形性質(zhì)得OA=OC=2,再由弧長公式計(jì)算即可求得答案。

        (1)證明:如圖9,連接OD。

        圖9

        ∵OC=OD,AB=AC,

        ∴∠1=∠C,∠C=∠B,∴∠1=∠B,

        ∵DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°,

        ∴∠2+∠1=90°,∴∠ODE=90°,

        ∴DE為⊙O的切線。

        (2)解:連接AD,

        ∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADC=90°。

        ∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD,

        ∴∠AOD=60°。

        【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定,有兩種方法:①過半徑外端,且垂直于半徑;②圓心到直線的距離等于半徑。問題(1)用的就是第①種方法。問題(2)中要求弧長,須知弧所對圓心角和所在圓的半徑這兩個條件,證得∠AOD=60°是解題的關(guān)鍵。

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