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        直線與圓重要的位置關(guān)系
        ——相切

        2019-11-16 02:46:02文封霞霖
        初中生世界 2019年39期
        關(guān)鍵詞:圓周角等腰三角圓心

        文封霞霖

        (作者單位:江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué))

        直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交,其中相切是中考的高頻考點(diǎn)。我們對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的研究,反映了圖形的位置關(guān)系與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系:由圖形的位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系,由數(shù)量關(guān)系判定圖形的位置關(guān)系。這里的數(shù)形結(jié)合,既是重要的知識(shí)內(nèi)容,又是重要的思想方法。

        一、切線與函數(shù)

        例1 (2019·菏澤)如圖1,直線y=-3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P,當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是____。

        圖1

        【分析】考點(diǎn):一次函數(shù)、切線性質(zhì)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,要考慮多解。對(duì)圓心位置分類討論,圓心在A點(diǎn)左側(cè)和右側(cè),直線都會(huì)與圓相切。根據(jù)相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑,結(jié)合相似或者三角函數(shù),找到圓心P的位置。

        解:∵直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,

        ∴令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,

        ∴A(-4,0),B(0,-3),

        ∴OA=4,OB=3,∴AB=5。

        設(shè)⊙P與直線AB相切于D,連接PD,如圖2,P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)為P1,在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)為P2。

        圖2

        則PD⊥AB,PD=1,

        ∵∠ADP=∠AOB=90°,

        ∠PAD=∠BAO,

        ∴△APD∽△ABO,

        ∴OP=OA+AP或OA-AP,

        【點(diǎn)評(píng)】這道題目中有圓,但要做到心中無(wú)圓。如果抓住切線的本質(zhì),⊙P1和⊙P2不畫(huà)出來(lái)亦可。我們要抓住的關(guān)鍵是直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于半徑。另外,利用相似求AP的這部分,用三角函數(shù)也可以解決。

        二、切線與角度

        例2 (2019·天津)已知PA,PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B,∠APB=80°,C為⊙O上一點(diǎn)。

        圖3

        (Ⅰ)如圖3-①,求∠ACB的大??;

        (Ⅱ)如圖3-②,AE為⊙O的直徑,AE與BC相交于點(diǎn)D,若AB=AD,求∠EAC的大小。

        【分析】考點(diǎn):切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)。掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵。(Ⅰ)連接OA、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算;(Ⅱ)連接CE,根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可。

        解:(Ⅰ)如圖4,連接OA,OB。

        圖4

        ∵PA,PB是⊙O的切線,

        ∴OA⊥PA,OB⊥PB,

        即∠OAP=∠OBP=90°。

        ∵∠APB=80°,

        ∴在四邊形OAPB中,∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°。

        ∴∠ACB=50°。

        (Ⅱ)如圖5,連接CE。

        圖5

        ∵AE為⊙O的直徑,∴∠ACE=90°。由(Ⅰ)知,∠ACB=50°,

        ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°,

        ∴∠BAE=∠BCE=40°。

        ∵在△ABD中,AB=AD,

        又∠ADB是△ADC的一個(gè)外角,有∠EAC=∠ADB-∠ACB,

        ∴∠EAC=20°。

        【點(diǎn)評(píng)】在圓中求角度,通??紤]“由角找弧,再由弧找角”,熟練地轉(zhuǎn)化圓周角和圓心角。在第(Ⅱ)題中,求∠BAE的度數(shù),也可以連接OB,利用等腰三角形的性質(zhì)求解。

        三、切線與特殊三角形

        例3 (2019·鹽城)如圖6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AB,垂足為E。

        圖6

        (2)求證:NE與⊙O相切。

        【分析】考點(diǎn):切線、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形“三線合一”、中位線性質(zhì)。本題需要添加輔助線,構(gòu)造過(guò)切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角。

        (1)解:連接ON、DN,

        圖7

        ∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線,

        ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,∴BC=8。

        ∵CD為直徑,∴∠CND=90°。

        ∵在△BCD中,

        BD=CD,∠CND=90°,

        (2)證明:∵O,N為CD,BC的中點(diǎn),

        ∴ON∥BD,∴∠ONE+∠DEN=180°,

        ∵∠DEN=90°,

        ∴∠ONE=90°,即ON⊥NE,

        又∵ON為半徑,

        ∴NE與⊙O相切。

        【點(diǎn)評(píng)】本題以圓的切線為主線,綜合考查了特殊三角形的性質(zhì)。三角形是幾何的根本,特殊三角形的性質(zhì)也是中考必考知識(shí)點(diǎn)。

        四、切線與三角函數(shù)

        例4 (2019·濟(jì)寧)如圖8,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),D是?的中點(diǎn),E為OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠CAE=2∠C,AC與BD交于點(diǎn)H,與OE交于點(diǎn)F。

        圖8

        (1)求證:AE是⊙O的切線;

        【分析】(1)根據(jù)“三線合一”得到OE⊥AC,求得∠AFE=90°,再轉(zhuǎn)化為∠EAO=90°;

        (2)根據(jù)等弧對(duì)等角、相等的角三角函數(shù)相等,將已知條件一步步轉(zhuǎn)化為結(jié)論。

        (1)證明:連接OC,如圖9。

        圖9

        ∴∠AOD=∠COD,

        又∵OA=OC,

        ∴OE⊥AC,

        ∴∠AFE=90°,

        ∴∠E+∠EAF=90°,

        ∵∠AOE=2∠ACD,∠CAE=2∠ACD,

        ∴∠CAE=∠AOE,

        ∴∠E+∠AOE=90°,

        ∴∠EAO=90°,

        又∵OA為半徑,

        ∴AE是⊙O的切線。

        (2)解:連接AD,

        ∵AB為直徑,

        ∴∠ADB=90°。

        ∴∠DAH=∠ACD,

        ∴在Rt△ADH中,

        ∵DH=9,∴AD=12。

        ∵∠B=∠ACD,

        ∴BD=16,

        ∴在Rt△ADB中,AB=20。

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、圓周角定理,轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵。

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