李永聲

[摘 ? 要]數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，對于發(fā)展其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有十分重要的意義.

[關(guān)鍵詞]思維能力;數(shù)學(xué)建模能力;核心素養(yǎng);變量關(guān)系

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0030-02

數(shù)學(xué)建模指的是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題.在核心素養(yǎng)的導(dǎo)向下如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是廣大教師應(yīng)當(dāng)深入探討與實踐的重要課題.下面筆者根據(jù)自身的教學(xué)實踐經(jīng)驗，圍繞四個維度展開簡單的論述.

一、分析變量關(guān)系，厘清數(shù)據(jù)

模型的假設(shè)和變量關(guān)系之間的確定對于數(shù)學(xué)建模來說是最為關(guān)鍵、最為重要的一步.如果變量關(guān)系理解錯誤，那么后續(xù)數(shù)學(xué)建模的過程都會變得沒有意義.因而筆者認為，教師應(yīng)當(dāng)注重加強對學(xué)生分析變量關(guān)系的訓(xùn)練，引導(dǎo)他們厘清數(shù)據(jù)，然后根據(jù)變量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，提高他們的數(shù)學(xué)建模能力.

比如，我在教學(xué)《一元一次不等式》時，組織學(xué)生對不等式模型進行探究與學(xué)習(xí)，引導(dǎo)他們通過訓(xùn)練感受數(shù)量間的不等關(guān)系.在課堂上，我向?qū)W生提出問題：某體育用品商城采購員要到廠家批發(fā)購買籃球和排球，共100個，要求付款額不得超過11815元，已知籃球的批發(fā)價為130元，商場零售價為160元，排球的批發(fā)價為100元，商場零售價為120元.（1）請問該采購員最多可以采購多少個籃球？（2）若該商城能夠把100個球全部賣出，且所獲得的利潤不低于2580元，那么請問采購員要采購多少個籃球，可以盈利多少？隨后學(xué)生開始分析題目中的數(shù)量關(guān)系，并構(gòu)建不等式模型.例如，對于第（1）問，可以設(shè)籃球個數(shù)為x，那么130x+100（100-x）≤11815，解得x≤60.5.因為x要取正整數(shù)，所以最多可以采購60個籃球.

通過訓(xùn)練，學(xué)生能夠?qū)?shù)據(jù)進行分析，將實際問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的不等式問題，建立不等式模型，然后利用不等式的性質(zhì)加以解決.

二、繪制圖像表格，直觀解讀

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過利用這一思想，學(xué)生可以“以形助數(shù)”、于“形”中覓“數(shù)”.根據(jù)圖形去尋求幾何關(guān)系，尋找解決問題的途徑.我認為，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用圖像、表格等去闡述數(shù)學(xué)問題中的數(shù)據(jù)關(guān)系，從而厘清思路、激活思維，對數(shù)量關(guān)系進行解讀與剖析，提高數(shù)學(xué)建模的效率.

比如，教學(xué)《反比例函數(shù)》時，我引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾種常見的反比例函數(shù)的幾何模型，然后提出問題：在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像與反比例函數(shù)y=k2/x的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，則△AOB的面積是 .為了解決這一問題，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，繪制了如圖1所示的圖像，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，再利用圖像中的幾何關(guān)系求解出△AOB的面積.緊接著，我對該問題進行變式.變式一：在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像與反比例函數(shù)y=k2/x的圖像交于A（1，4）、B（3，m）兩點，則△AOB的面積是.變式二：已知直線y=1/2x與雙曲線y=k/x（k>0）交于A、B兩點，且A的橫坐標(biāo)為4，求k的值.學(xué)生抽象出求解這類反比例函數(shù)問題的幾何模型，如圖2所示，若反比例函數(shù)y=k/x（k≠0，x>0）上任意兩點P、C，過P作PA垂直與x軸于點A，過C作CD垂直x軸于點D，則證明△OPC的面積=梯形PADC的面積.

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”我通過引導(dǎo)學(xué)生利用圖形去探求數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，有效提高了他們的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、尋找隱性規(guī)律，多元整合

很多數(shù)學(xué)問題，學(xué)生可以根據(jù)題目直接梳理出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進而建立數(shù)學(xué)模型.然而有些時候，題目中的變量關(guān)系可能并不明確，這時候就需要學(xué)生去尋找題目中蘊含的隱性規(guī)律，并進行多元整合.因此，教師在對學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練過程中，應(yīng)當(dāng)增加問題的難度，使他們學(xué)會根據(jù)已經(jīng)掌握的數(shù)據(jù)與線索來深度探究其中的隱性規(guī)律，然后進行整合建模.

比如，教學(xué)《一次函數(shù)》時，為了提高學(xué)生應(yīng)用一次函數(shù)模型解決問題的能力，我提出問題：張老師從家里提著一個籃子打算去菜市場買10斤雞蛋，已知籃子的重量為0.5斤，當(dāng)菜市場的攤主將放好了10斤雞蛋的籃子遞給張老師時，他發(fā)現(xiàn)這次比以往買10斤雞蛋的個數(shù)少很多，他再次讓攤主稱重，共稱得10.55斤，但張老師卻說這只有9斤的雞蛋，要求攤主返還他1斤雞蛋的錢.大家知道張老師是怎么知道攤主少稱了大約1斤的雞蛋呢？隨后我開始引導(dǎo)學(xué)生探索題目中的隱含規(guī)律.設(shè)雞蛋的實際重量為x，秤顯示的重量設(shè)為y.若攤主沒有作弊，則y=x;若攤主作弊，無非是想讓y的值大于x.假設(shè)攤主為了讓y>x，在秤盤底下加了吸鐵石，此時的數(shù)量關(guān)系應(yīng)為y=x+a.例如a為5兩，那么稱出來5斤的東西實際上是4斤5兩，但是攤主事先并不知道顧客會買多少重量的東西.如果只買1斤的話，缺斤少兩很容易被發(fā)現(xiàn)，因此可以推測攤主調(diào)整了他的秤，使得y與x的數(shù)量關(guān)系為y=kx（k>1）.由此可以建立一次函數(shù)模型：k（x+0.5）=10.55.又因為10=kx，兩式聯(lián)立可以得到k=1.1，x=9.09，也就是說攤主少了張老師大約1斤的雞蛋.

我通過設(shè)計題目，引導(dǎo)學(xué)生去探究其中的隱含規(guī)律，進一步幫助他們強化課堂所學(xué)知識，提高了他們思維的靈活度，取得了很好的教學(xué)效果.

四、結(jié)合現(xiàn)實生活，學(xué)以致用

數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活.新課標(biāo)明確提出了“教學(xué)生活化”的要求.由此可見，廣大教師要注重結(jié)合現(xiàn)實生活設(shè)計題目，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，使他們在學(xué)習(xí)過程中，能夠在實際的生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學(xué)模型并求解，提升他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，使他們做到學(xué)以致用.

比如，教學(xué)《等可能條件下的概率》時，我引導(dǎo)學(xué)生體會并學(xué)習(xí)描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生知道了等可能條件下概率的計算方法：P（A）=m/n.其中m代表事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示一次試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).為了提高學(xué)生應(yīng)用這一數(shù)學(xué)模型求解實際問題的能力，我聯(lián)系現(xiàn)實生活，設(shè)計了如下練習(xí)題：為舉辦畢業(yè)聯(lián)歡會，小利設(shè)計了一個游戲，游戲者分別轉(zhuǎn)動如圖3所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)兩次轉(zhuǎn)盤的指針?biāo)傅淖帜赶嗤瑫r，他就獲得了一次指定一位到會者為大家表演節(jié)目的機會，那么這種機會獲得的可能性到底有多大呢？請大家嘗試?yán)盟鶎W(xué)概率知識計算參與一次游戲獲得這種指定機會的概率.學(xué)生首先用列表的方法表示出了所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型，求解得到了概率為1/6.

我結(jié)合實際生活，設(shè)計有關(guān)數(shù)學(xué)建模的練習(xí)題目，使學(xué)生認識到生活中的概率問題，體會到概率模型在生活中的應(yīng)用與價值，拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，有效激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

總而言之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，有助于使他們在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的經(jīng)驗，使之學(xué)習(xí)“有用的數(shù)學(xué)”，實現(xiàn)新課標(biāo)的教育主張，提高課堂教學(xué)的效果與質(zhì)量.廣大教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)重視和培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的能力，善于設(shè)計多元的數(shù)學(xué)建?；顒优c探究活動，不斷發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅）